Представление спина

В математике , то спиновые представления являются частными проективные представления этих ортогональных или специальных ортогональных групп в произвольной размерности и подписи (то есть, в том числе неопределенных ортогональных групп ). Точнее, они представление этих спиновых групп , которые являются двойными покрытиями из специальных ортогональных групп. Обычно их изучают над действительными или комплексными числами , но их можно определить и над другими полями .

Элементы спинового представления называются спинорами . Они играют важную роль в физическом описании фермионов, таких как электрон .

Спиновые представления могут быть построены несколькими способами, но обычно конструкция включает (возможно, только неявно) выбор максимального изотропного подпространства в векторном представлении группы. Для вещественных чисел это обычно требует комплексизации векторного представления. По этой причине удобно сначала определить представления спина над комплексными числами, а затем получить реальные представления , введя реальные структуры .

Свойства спиновых представлений тонким образом зависят от размерности и сигнатуры ортогональной группы. В частности, спиновые представления часто допускают инвариантные билинейные формы , которые можно использовать для вложения спиновых групп в классические группы Ли . В малых размерностях эти вложения сюръективны и определяют особые изоморфизмы между спиновыми группами и более знакомыми группами Ли; это проясняет свойства спиноров в этих измерениях.

Настройка [ править ]

Пусть V быть конечномерен вещественное или комплексное векторное пространство с невырожденной квадратичной формой Q . (Действительные или комплексные) линейные отображения, сохраняющие Q, образуют ортогональную группу O ( V , Q ) . Компонент единицы группы называется специальной ортогональной группой SO ( V , Q ) . (Для Vреальный с неопределенной квадратичной формой, эта терминология не является стандартной:. специальная ортогональной группа, как правило , определяется как подгруппа с двумя компонентами в данном случае) до группы изоморфизма , SO ( V , Q ) имеет единственное связное двойное покрытие , спиновая группа Spin ( V , Q ) . Таким образом, существует групповой гомоморфизм h : Spin ( V , Q ) → SO ( V , Q ) , ядро которого имеет два элемента, обозначенных {1, −1} , где 1является элементом идентичности . Таким образом, элементы группы g и −g группы Spin ( V , Q ) эквивалентны после гомоморфизма в SO ( V , Q ) ; то есть h ( g ) = h ( −g ) для любого g из Spin ( V , Q ) .

Все группы O ( V , Q ), SO ( V , Q ) и Spin ( V , Q ) являются группами Ли , и для фиксированных ( V , Q ) они имеют одну и ту же алгебру Ли , поэтому ( V , Q ) . Если V вещественно, то V - вещественное векторное подпространство своей комплексификации V _C = V ⊗ _R C , а квадратичная форма Qестественно продолжается до квадратичной формы Q _C на V _C . Это включает SO ( V , Q ) как подгруппу в SO ( V _C , Q _C ) , и, следовательно, мы можем реализовать Spin ( V , Q ) как подгруппу в Spin ( V _C , Q _C ) . Кроме того, so ( V _C , Q _C ) является комплексификацией so ( V, Q ) .

В комплексном случае, квадратичные формы определяются однозначно с точностью до изоморфизма размерности п из V . Конкретно, мы можем считать V = C ⁿ и

${\ displaystyle Q (z_ {1}, \ ldots, z_ {n}) = z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2} + \ cdots + z_ {n} ^ {2}.}$

Соответствующие группы Ли обозначаются O ( n , C ), SO ( n , C ), Spin ( n , C ), а их алгебра Ли - so ( n , C ) .

В реальном случае квадратичные формы определяются с точностью до изоморфизма парой неотрицательных целых чисел ( p , q ), где n = p + q - размерность V , а p - q - сигнатура . Конкретно, мы можем считать V = R ⁿ и

${\ displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {p} ^ {2} - ( x_ {p + 1} ^ {2} + \ cdots + x_ {p + q} ^ {2}).}$

Соответствующие группы Ли и алгебра Ли обозначаются O ( p , q ), SO ( p , q ), Spin ( p , q ) и, следовательно, ( p , q ) . Мы пишем R ^{p , q} вместо R ^n, чтобы подпись была явной.

Спин представления, в некотором смысле, простейшие представления о Spin ( п , С ) и Spin ( р , д ) , которые не поступают из представлений SO ( п , С ) и SO ( р , д ) . Следовательно, спиновое представление - это вещественное или комплексное векторное пространство S вместе с гомоморфизмом групп ρ из Spin ( n , C ) или Spin ( p , q )в общую линейную группу GL ( S ) такую, что элемент −1 не входит в ядро ρ .

Если S является таким представлением, то, согласно связи между группами Ли и алгебрами Ли, оно индуцирует представление алгебры Ли , т. Е. Гомоморфизм алгебры Ли из so ( n , C ) или so ( p , q ) в алгебру Ли GL ( S ) из эндоморфизмов из S с коллекторным кронштейном .

Спиновые представления можно анализировать согласно следующей стратегии: если S - вещественное спиновое представление Spin ( p , q ) , то его комплексификация является комплексным спиновым представлением Spin ( p , q ) ; как представление so ( p , q ) , поэтому оно расширяется до комплексного представления so ( n , C ) . Действуя в обратном порядке, мы сначала строим комплексные спиновые представления Spin ( n , C )и so ( n , C ) , затем ограничьте их комплексными спиновыми представлениями so ( p , q ) и Spin ( p , q ) , а затем, наконец, проанализируйте возможные сокращения до реальных спиновых представлений.

Представления сложных спинов [ править ]

Пусть V = C ⁿ со стандартной квадратичной формой Q, так что

${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (V, Q) = {\ mathfrak {so}} (n, \ mathbb {C}).}$

Симметричная билинейная форма на V , связанный с Q по поляризации обозначается ⟨.,.⟩ .

Изотропные подпространства и корневые системы [ править ]

Стандартное построение спиновых представлений so ( n , C ) начинается с выбора пары ( W , W ^∗ ) максимальных вполне изотропных (относительно Q ) подпространств в V с W ∩ W ^∗ = 0 . Сделаем такой выбор. Если n = 2 m или n = 2 m + 1 , то W и W ^∗ имеют размерность m . Если п= 2 m , то V = W ⊕ W ^∗ , а если n = 2 m + 1 , то V = W ⊕ U ⊕ W ^∗ , где U - одномерное ортогональное дополнение к W ⊕ W ^∗ . Билинейная форма ⟨.,.⟩, Ассоциированная с Q, индуцирует спаривание между W и W ^∗ , которое должно быть невырожденным, поскольку W и W ^∗являются вполне изотропными подпространствами и Q невырождено. Следовательно, W и W ^∗ - двойственные векторные пространства .

Более конкретно, пусть ₁ , ... _м базис для W . Тогда существует единственный базис α ₁ , ... α _m в W ^∗ такой, что

${\ displaystyle \ langle \ alpha _ {i}, a_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}.}$

Если A - матрица размера m × m , то A индуцирует эндоморфизм W относительно этого базиса, а транспонированная матрица A ^T индуцирует преобразование W ^∗ с

${\ displaystyle \ langle Aw, w ^ {*} \ rangle = \ langle w, A ^ {\ mathrm {T}} w ^ {*} \ rangle}$

для всех w в W и w ^∗ в W ^∗ . Отсюда следует, что эндоморфизм ρ _A группы V , равный A на W , - A ^T на W ^∗ и нулю на U (если n нечетное), является косым,

${\ displaystyle \ langle \ rho _ {A} u, v \ rangle = - \ langle u, \ rho _ {A} v \ rangle}$

для всех u , v в V и, следовательно, (см. классическую группу ) элемент so ( n , C ) ⊂ End ( V ) .

Используя диагональные матрицы в этой конструкции определ ет подалгебра Картана ч из так ( п , С ) : ранг из так ( п , С ) является м , а диагональ п × п матриц определить м - мерное абелева подалгебра.

Пусть ε ₁ , ... ε _м быть основой ч ^* , что для диагональной матрицы A , ε _к ( ρ _A ) является к - й диагональный элемент из A . Ясно, что это основа для h ^∗ . Поскольку билинейная форма отождествляет so ( n , C ) с , явно,${\ Displaystyle \ клин ^ {2} V}$

${\displaystyle x\wedge y\mapsto \varphi _{x\wedge y},\quad \varphi _{x\wedge y}(v)=2(\langle y,v\rangle x-\langle x,v\rangle y),\quad x\wedge y\in \wedge ^{2}V,\quad x,y,v\in V,\quad \varphi _{x\wedge y}\in {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),}$^[1]

теперь легко построить корневую систему, связанную с h . В корневых пространствах (одновременно для подпространств действия ч ) натянуты на следующие элементах:

${\displaystyle a_{i}\wedge a_{j},\;i\neq j,}$с корнем (одновременное собственное значение)${\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}}$

${\displaystyle a_{i}\wedge \alpha _{j}}$(который находится в h, если i = j ) с корнем${\displaystyle \varepsilon _{i}-\varepsilon _{j}}$

${\displaystyle \alpha _{i}\wedge \alpha _{j},\;i\neq j,}$ с корнем ${\displaystyle -\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j},}$

и, если n нечетно, а u - ненулевой элемент U ,

${\displaystyle a_{i}\wedge u,}$ с корнем ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle \alpha _{i}\wedge u,}$ с корнем ${\displaystyle -\varepsilon _{i}.}$

Таким образом, относительно базиса ε ₁ ,… ε _m корнями являются векторы из h ^∗, которые являются перестановками

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0,\dots ,0)}$

вместе с перестановками

${\displaystyle (\pm 1,0,0,\dots ,0)}$

если n = 2, то m + 1 нечетное.

Система положительных корней задается формулами ε _i + ε _j ( i ≠ j ), ε _i - ε _j ( i < j ) и (для нечетного n ) ε _i . Соответствующие простые корни являются

${\displaystyle \varepsilon _{1}-\varepsilon _{2},\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3},\ldots ,\varepsilon _{m-1}-\varepsilon _{m},\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{m-1}+\varepsilon _{m}&n=2m\\\varepsilon _{m}&n=2m+1.\end{matrix}}\right.}$

Положительные корни - это неотрицательные целые линейные комбинации простых корней.

Представления спинов и их веса [ править ]

Одна конструкция спиновых представлений so ( n , C ) использует внешнюю алгебру (ы)

${\displaystyle S=\wedge ^{\bullet }W}$ и / или ${\displaystyle S'=\wedge ^{\bullet }W^{*}.}$

Существует действие V на S такое, что для любого элемента v = w + w ^∗ в W ⊕ W ^∗ и любого ψ в S действие задается следующим образом:

${\displaystyle v\cdot \psi =2^{\frac {1}{2}}(w\wedge \psi +\iota (w^{*})\psi ),}$

где второй член представляет собой сжатие ( внутреннее умножение ), определенное с помощью билинейной формы, которая объединяет W и W ^∗ . Это действие уважает отношения Клиффорда V ² = Q ( V ) 1 , и так индуцирует гомоморфизм из алгебры Клиффорда Cl _н C из V в End ( S ) . Аналогичное действие может быть определено на S ′ , так что и S, и S ′ являются модулями Клиффорда .

Алгебра Ли so ( n , C ) изоморфна комплексифицированной алгебре Ли spin _n ^C в Cl _n C посредством отображения, индуцированного накрытием Spin ( n ) → SO ( n )

${\displaystyle v\wedge w\mapsto {\tfrac {1}{4}}[v,w].}$

Отсюда следует, что и S, и S ′ являются представлениями so ( n , C ) . Они на самом деле являются эквивалентными представлениями, поэтому мы ориентируемся на S .

Явное описание показывает, что элементы α _i ∧ a _i подалгебры Картана h действуют на S следующим образом:

${\displaystyle (\alpha _{i}\wedge a_{i})\cdot \psi ={\tfrac {1}{4}}(2^{\tfrac {1}{2}})^{2}(\iota (\alpha _{i})(a_{i}\wedge \psi )-a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ))={\tfrac {1}{2}}\psi -a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ).}$

Базисом S служат элементы вида

${\displaystyle a_{i_{1}}\wedge a_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge a_{i_{k}}}$

для 0 ≤ k ≤ m и i ₁ <... < i _k . Эти явно охватывают весовые пространства для действия h : α _i ∧ a _i имеет собственное значение −1/2 на данном базисном векторе, если i = i _j для некоторого j , и имеет собственное значение 1/2 в противном случае.

Отсюда следует , что массы из S всех возможных комбинаций

${\displaystyle {\bigl (}\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\ldots \pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

и каждое весовое пространство одномерно. Элементы S называются спинорами Дирака .

Когда n четно, S не является неприводимым представлением : и являются инвариантными подпространствами. Веса делятся на веса с четным числом знаков минус и веса с нечетным числом знаков минус. И S _+, и S _- являются неприводимыми представлениями размерности 2 ^{m −1} , элементы которых называются спинорами Вейля . Они также известны как представления кирального спина или представления полусинового спина. Что касается положительной корневой системы , выше, старшие веса из S ₊ и S _- это${\displaystyle S_{+}=\wedge ^{\mathrm {even} }W}$${\displaystyle S_{-}=\wedge ^{\mathrm {odd} }W}$

${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$ а также ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

соответственно. Действие Клиффорда отождествляет Cl _n C с End ( S ), а четная подалгебра отождествляется с эндоморфизмами, сохраняющими S ₊ и S _- . Другой Clifford модуль S 'является изоморфной к S в этом случае.

Когда n нечетно, S является неприводимым представлением so ( n , C ) размерности 2 ^m : действие Клиффорда единичного вектора u ∈ U задается формулой

${\displaystyle u\cdot \psi =\left\{{\begin{matrix}\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {even} }W\\-\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {odd} }W\end{matrix}}\right.}$

и так элементов так ( п , С ) вида у ∧ ш или у ∧ ж ^* не сохраняют четные и нечетные части внешней алгебры W . Наивысший вес S равен

${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$

Действие Клиффорда не является точным на S : Cl _n C можно отождествить с End ( S ) ⊕ End ( S ′), где u действует с противоположным знаком на S ′. Точнее, эти два представления связаны четности инволюции альфа из Cl _п C (также известный как основной автоморфизм), который является тождественным на четной подалгебре, и минус идентичность на нечетной части Cl _н С . Другими словами, существует линейный изоморфизм от S к S ′, который идентифицирует действие Aв Cl _n C на S с действием α ( A ) на S ′.

Билинейные формы [ править ]

если λ - вес S , то и - λ . Отсюда следует, что S изоморфно дуальному представлению S ^∗ .

Когда n = 2 m + 1 нечетно, изоморфизм B : S → S ^∗ единственен с точностью до масштаба по лемме Шура , поскольку S неприводим, и он определяет невырожденную инвариантную билинейную форму β на S через

${\displaystyle \beta (\varphi ,\psi )=B(\varphi )(\psi ).}$

Здесь инвариантность означает, что

${\displaystyle \beta (\xi \cdot \varphi ,\psi )+\beta (\varphi ,\xi \cdot \psi )=0}$

для всех ξ в so ( n , C ) и φ , ψ в S - другими словами, действие ξ косо относительно β . На самом деле, верно и другое: S ^∗ является представлением противоположной алгебры Клиффорда, и поэтому, поскольку Cl _n C имеет только два нетривиальных простых модуля S и S ′, связанных инволюцией четности α , существует антиавтоморфизм τ группы Cl _n C такой, что

${\displaystyle \quad \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\beta (\varphi ,\tau (A)\cdot \psi )\qquad (1)}$

для любого А в Cl _н C . Фактически τ - это реверсия (антиавтоморфизм, индуцированный тождеством на V ) для четного m и сопряжение (антиавтоморфизм, индуцированный минусом тождества на V ) для нечетного m . Эти два антиавтоморфизмы связаны четности инволюции альфа , который является автоморфизм , индуцированный минус тождественно на V . Оба удовлетворяют τ ( ξ ) = - ξ для ξ в so ( n , C ).

Когда n = 2 m , ситуация более чувствительно зависит от четности m . При четном m вес λ имеет четное число знаков минус тогда и только тогда, когда - λ ; отсюда следует, что существуют отдельные изоморфизмы B _± : S _± → S _± ^∗ каждого полусинового представления с его двойственным, каждый из которых определяется однозначно с точностью до масштаба. Их можно объединить в изоморфизм B : S → S ^∗ . При нечетном m λ - вес S ₊тогда и только тогда, когда - λ - вес S _- ; таким образом, существует изоморфизм из S ₊ в S _- ^∗ , снова единственный с точностью до масштаба, и его транспонирование обеспечивает изоморфизм из S _- в S ₊ ^∗ . Их снова можно объединить в изоморфизм B : S → S ^∗ .

Для обоих м даже и м нечетным, свобода в выборе B может быть ограничено до общей шкалы, настаивая , что билинейная форма β , соответствующая B удовлетворяет уравнению (1), где τ представляет собой фиксированный антиавтоморфизм (либо реверсии или конъюгации).

Симметрия и тензорный квадрат [ править ]

Свойства симметрии β : S ⊗ S → C могут быть определены с помощью алгебр Клиффорда или теории представлений. Фактически можно сказать гораздо больше: тензорный квадрат S ⊗ S должен разлагаться в прямую сумму k -форм на V для различных k , поскольку его веса - это все элементы в h ^∗ , компоненты которых принадлежат {−1,0,1 }. Теперь эквивариантные линейные отображения S ⊗ S → ∧ ^k V ^∗ биективно соответствуют инвариантным отображениям ∧ ^k V ⊗S ⊗ S → C и ненулевые такие отображения могут быть построены путем включения ∧ ^k V в алгебру Клиффорда. Кроме того, если β ( φ , ψ ) = ε β ( ψ , φ ) и τ имеет знак ε _k на ∧ ^k V, то

${\displaystyle \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\varepsilon \varepsilon _{k}\beta (A\cdot \psi ,\varphi )}$

для А в ∧ ^к V .

Если n = 2 m +1 нечетно, то из леммы Шура следует, что

${\displaystyle S\otimes S\cong \bigoplus _{j=0}^{m}\wedge ^{2j}V^{*}}$

(обе стороны имеют размер 2 ^{2 м} и изображения справа неэквивалентны). Поскольку симметрии управляются инволюцией τ, которая является либо сопряжением, либо реверсией, симметрия компонента ∧ ^2j V ^∗ чередуется с j . Элементарная комбинаторика дает

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}\dim \wedge ^{2j}\mathbb {C} ^{2m+1}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}(\dim \mathrm {S} ^{2}S-\dim \wedge ^{2}S)}$

и знак определяет представления , которые происходят в S ² S , и которые происходят в ∧ ² S . ^[2] В частности

${\displaystyle \beta (\phi ,\psi )=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (\psi ,\phi ),}$ а также

${\displaystyle \beta (v\cdot \phi ,\psi )=(-1)^{m}(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (v\cdot \psi ,\phi )=(-1)^{m}\beta (\phi ,v\cdot \psi )}$

для v ∈ V (который изоморфен ∧ ^{2 m} V ), подтверждая, что τ является обращением для четного m и сопряжением для нечетного m .

Если n = 2 m четно, то анализ более сложен, но результатом является более тонкое разложение: S ² S _± , ∧ ² S _± и S ₊ ⊗ S _- могут быть разложены как прямая сумма k - формы (где при k = m происходит дальнейшее разложение на самодуальную и антисамодуальную m -формы).

Основным результатом является реализация so ( n , C ) как подалгебры классической алгебры Ли на S , в зависимости от n по модулю 8, согласно следующей таблице:

n мод 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Спинорная алгебра	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(S_{+})\oplus {\mathfrak {so}}(S_{-})}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(S)}$	${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(S_{\pm })}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(S)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(S_{+})\oplus {\mathfrak {sp}}(S_{-})}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(S)}$	${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(S_{\pm })}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(S)}$

При n ≤ 6 эти вложения являются изоморфизмами (на sl, а не на gl при n = 6):

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )\qquad (=\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\qquad (={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(5,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(6,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {C} ).}$

Реальные представления [ править ]

Сложные спиновые представления так ( п , С ) дают реальные представления ˙s из так ( р , д ), ограничивая действие к реальным подалгебрам. Однако существуют дополнительные структуры «реальности», которые инвариантны относительно действия реальных алгебр Ли. Они бывают трех типов.

1. Существует инвариантный комплекс антилинейной карты г : S → S с R ² = Id _S . Множество неподвижных точек г тогда вещественное векторное подпространство , S _R из S с S _R ⊗ C = S . Это называется реальной структурой .
2. Существует инвариантный комплекс антилинейной карты J : S → S с J ² = -id _S . Отсюда следует , что тройка я , J и K : = IJ сделать S в кватернионном векторном пространстве S _H . Это называется кватернионной структурой .
3. Существует инвариантное комплексное антилинейное отображение b : S → S ^∗ , которое обратимо. Это определяет псевдогермитову билинейную форму на S и называется эрмитовой структурой .

Тип структуры, инвариантной относительно so ( p , q ), зависит только от сигнатуры p - q по модулю 8 и представлен в следующей таблице.

Здесь R , C и H обозначают действительную, эрмитовую и кватернионную структуры соответственно, а R + R и H + H указывают, что представления половинного спина допускают как действительные, так и кватернионные структуры соответственно.

Описание и таблицы [ править ]

Чтобы завершить описание реального представления, мы должны описать, как эти структуры взаимодействуют с инвариантными билинейными формами. Поскольку n = p + q ≅ p - q mod 2, возможны два случая: размерность и сигнатура четные, а размерность и сигнатура нечетные.

Нечетный случай проще, существует только одно комплексное спиновое представление S , и эрмитовые структуры не встречаются. Помимо тривиального случая п = 1, S всегда четномерно, скажем , тусклый S = 2 N . Вещественные формы so (2 N , C ) - это so ( K , L ) с K + L = 2 N и so ^∗ ( N , H ), а действительные формы sp (2 N , C ) - этозр (2 Н , Р ) и зр ( К , L ) с K + L = N . Наличие действия Клиффорда V на S заставляет K = L в обоих случаях , если только рд = 0, в этом случае KL = 0, который обозначается просто так (2 N ) или зр ( Н ). Следовательно, представления нечетных спинов можно суммировать в следующей таблице.

(†) N четно для n > 3, а для n = 3 это sp (1) .

Чётномерный случай аналогичен. При n > 2 представления комплексных полусиновых спинов четномерны. Мы должны дополнительно иметь дело с эрмитовыми структурами и действительными формами sl (2 N , C ) , которыми являются sl (2 N , R ) , su ( K , L ) с K + L = 2 N и sl ( N , H ) . Полученные представления четного спина резюмируются следующим образом.

(*) Для pq = 0 вместо этого имеем so (2 N ) + so (2 N )

(†) N четно для n > 4, а для pq = 0 (включая n = 4 с N = 1 ) вместо этого sp ( N ) + sp ( N )

Изоморфизмы малой размерности в комплексном случае имеют следующие вещественные формы.

Евклидова подпись	Подпись Минковского	Другие подписи
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2)\cong {\mathfrak {u}}(1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,1)\cong \mathbb {R} }$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {sp}}(1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {sp}}(1)\oplus {\mathfrak {sp}}(1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(5)\cong {\mathfrak {sp}}(2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4,1)\cong {\mathfrak {sp}}(1,1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,2)\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(6)\cong {\mathfrak {su}}(4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(5,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4,2)\cong {\mathfrak {su}}(2,2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,3)\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )}$

Единственные специальные изоморфизмы вещественных алгебр Ли, отсутствующие в этой таблице, - это и${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(3,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}(3,1)}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(4,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {so}}(6,2).}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Брауэр, Ричард ; Вейль, Герман (1935), «Спиноры в n измерениях», Американский журнал математики , Американский журнал математики, Vol. 57, № 2, 57 (2): 425-449, DOI : 10,2307 / 2371218 , JSTOR  2371218.
• Картан, Эли (1966), Теория спиноров , Париж, Герман (переиздано в 1981 году, Dover Publications), ISBN 978-0-486-64070-9 CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Шевалле, Клод (1954), Алгебраическая теория спиноров и алгебр Клиффорда , Columbia University Press (переиздано 1996, Springer), ISBN 978-3-540-57063-9 CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Делинь, Пьер (1999), «Заметки о спинорах», у П. Делиня; П. Этингоф; Д.С. Фрид; LC Jeffrey; Д. Каждан; JW Morgan; Д.Р. Моррисон; Э. Виттен (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков , Провиденс: Американское математическое общество, стр. 99–135. CS1 maint: discouraged parameter (link). См. Также предварительную версию на сайте программы .
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991), Теория представлений. Первый курс , Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике, 129 , Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0-387-97495-4, Руководство по ремонту  1153249.
• Харви, Ф. Риз (1990), Спиноры и калибровки , Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4 CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989), геометрия вращения , Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0.
• Вейль, Герман (1946), Классические группы: их инварианты и представления (2-е изд.), Princeton University Press (переиздано в 1997 г.), ISBN 978-0-691-05756-9 CS1 maint: discouraged parameter (link).