Проективное представление

В области теории представлений в математике , А проективное представление о группе G на векторном пространстве V над полем Р является группа гомоморфизм из G в проективную линейную группу

PGL ( V ) = GL ( V ) / F ^∗ ,

где GL ( V ) - общая линейная группа обратимых линейных преобразований V над F , а F ^∗ - нормальная подгруппа, состоящая из ненулевых скалярных кратных тождественного преобразования (см. Скалярное преобразование ). ^[1]

Говоря более конкретно, проективное представление - это набор операторов , каждый из которых определяется только с точностью до умножения на константу. Они должны удовлетворять свойству гомоморфизма с точностью до константы:${\ Displaystyle \ rho (g), \, g \ in G}$${\ displaystyle \ rho (g)}$

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh)}$

для некоторых констант .${\displaystyle c(g,h)}$

Поскольку каждый из них в любом случае определяется только с точностью до константы, строго говоря, не имеет смысла спрашивать, равны ли константы 1. Тем не менее, можно спросить, можно ли выбрать конкретного представителя каждого семейства операторов в таком способ, которым удовлетворяют свойству гомоморфизма на носу, а не только с точностью до константы. Если такой выбор возможен, мы говорим, что он может быть «депроективизирован» или что может быть «возведен в обычное представление». Эта возможность обсуждается ниже.${\displaystyle \rho (g)}$${\displaystyle c(g,h)}$${\displaystyle \rho (g)}$${\displaystyle \rho (g)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$

Линейные представления и проективные представления [ править ]

Один из способов возникновения проективного представления - это взять линейное групповое представление группы G на V и применить фактор-отображение

${\displaystyle \operatorname {GL} (V,F)\rightarrow \operatorname {PGL} (V,F)}$

что фактор по подгруппе F ^* из скалярных преобразований ( диагональных матриц со всеми диагональными элементами равно). Интерес к алгебре находится в другом направлении: учитывая проективное представление , попробуйте «поднять» его до обычного линейного представления . Общее проективное представление ρ : G → PGL ( V ) не может быть поднято до линейного представления G → GL ( V ) , и препятствие к этому поднятию можно понять с помощью групповых когомологий, как описано ниже.

Тем не менее, один может поднять проективное представление о G до линейного представления другой группы H , который будет представлять собой центральное расширение из G . Группа является подгруппой, определяемой следующим образом:${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$

${\displaystyle H=\{(g,A)\in G\times \mathrm {GL} (V)\mid \pi (A)=\rho (g)\}}$,

где - факторное отображение на . Поскольку является гомоморфизмом, легко проверить, что он действительно является подгруппой группы . Если исходное проективное представление является верным, то изоморфен прообразом в о .${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H}$${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \rho (G)\subset \mathrm {PGL} (V)}$

Мы можем определить гомоморфизм , положив . Ядро :${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$${\displaystyle \phi ((g,A))=g}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \mathrm {ker} (\phi )=\{(e,cI)\mid c\in F^{*}\}}$,

который содержится в центре . Ясно также, что это сюръективно, так что это центральное расширение . Мы также можем определить обычное представление о установке . Обычное представление о является Поднятие проективного представления о в том смысле , что:${\displaystyle H}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma ((g,A))=A}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi (\sigma ((g,A)))=\rho (g)=\rho (\phi ((g,A)))}$.

Если G является совершенной группой существует единое универсальное совершенное центральное расширение из G , которые могут быть использованы.

Групповые когомологии [ править ]

Анализ вопроса о подъеме затрагивает групповые когомологии . В самом деле, если зафиксировать для каждого g в G поднятый элемент L ( g ) при поднятии из PGL ( V ) обратно в GL ( V ) , тогда подъемы удовлетворяют

${\displaystyle L(gh)=c(g,h)L(g)L(h)}$

для некоторого скаляра c ( g , h ) в F ^∗ . Отсюда следует, что 2-коцикл или множитель Шура c удовлетворяет уравнению коцикла

${\displaystyle c(h,k)c(g,hk)=c(g,h)c(gh,k)}$

для всех г , ч , к в G . Это c зависит от выбора подъемника L ; другой выбор подъемной силы L ′ ( g ) = f ( g ) L ( g ) приведет к другому коциклу

${\displaystyle c^{\prime }(g,h)=f(gh)f(g)^{-1}f(h)^{-1}c(g,h)}$

когомологичен c . Таким образом, L определяет единственный класс в H ² ( G , F ^∗ ) . Этот класс может быть нетривиальным. Например, в случае симметрической группы и знакопеременной группы Шур установил, что существует ровно один нетривиальный класс множителей Шура, и полностью определил все соответствующие неприводимые представления. ^[2]

В общем, нетривиальный класс приводит к проблеме расширения для G . Если G правильно расширен , мы получаем линейное представление расширенной группы, которая вызывает первоначальное проективное представление , когда оттеснил вниз к G . Решением всегда является центральное расширение . Из леммы Шура следует , что неприводимые представления центральных расширений группы G и неприводимые проективные представления группы G по сути являются одними и теми же объектами.

Первый пример: дискретное преобразование Фурье [ править ]

Рассмотрим поле целых чисел mod , где простое число, и пусть будет -мерное пространство функций на со значениями в . Для каждого in определите два оператора и on следующим образом:${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(b)&=f(b-a)\\(S_{a}f)(b)&=e^{2\pi iab/p}f(b).\end{aligned}}}$

Мы пишем формулу как если бы и были целыми числами, но легко видеть, что результат зависит только от значения и mod . Оператор является переводом, в то время как происходит сдвиг в частотном пространстве (то есть, он имеет эффект переводя дискретное преобразование Фурье от ).${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle f}$

Несложно проверить, что для любых и in операторы и коммутируют с точностью до умножения на константу:${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{b}}$

${\displaystyle T_{a}S_{b}=e^{-2\pi iab/p}S_{b}T_{a}}$.

Таким образом , мы можем определить проективное представление о следующим образом :${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}]}$,

где обозначает образ оператора в фактор-группе . Поскольку и коммутируют с точностью до константы, легко увидеть, что это проективное представление. С другой стороны, поскольку и фактически не коммутируют - и никакие ненулевые кратные им не коммутируют - нельзя поднять до обычного (линейного) представления .${\displaystyle [A]}$${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{b}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{b}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

Так как проективное представление является верным, центральным расширение в получающейся конструкции в предыдущем разделе, только прообраз в образах . Явно это означает, что это группа всех операторов вида${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H}$

${\displaystyle e^{2\pi ic/p}T_{a}S_{b}}$

для . Эта группа является дискретной версией группы Гейзенберга и изоморфна группе матриц вида${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

с .${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

Проективные представления групп Ли [ править ]

Изучение проективных представлений групп Ли приводит к рассмотрению истинных представлений их центральных расширений (см. Расширение групп § Группы Ли ). Во многих интересных случаях достаточно рассмотреть представления накрывающих групп . В частности, предположим , что есть связное накрытие связной группы Ли , так что для дискретной центральной подгруппы в . (Обратите внимание, что это особый вид центрального расширения .) Предположим также, что это неприводимое унитарное представление (возможно, бесконечномерное). Тогда по лемме Шура центральная подгруппа${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\cong {\hat {G}}/N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle N}$будет действовать скалярными кратными идентичности. Таким образом, на проективном уровне опустится до . То есть, для каждого , мы можем выбрать прообраз из в , и определяем проективное представление о пути настройки${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle {\hat {g}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho (g)=\left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$,

где обозначает образ оператора . Поскольку содержится в центре, а центр действует как скаляр , значение не зависит от выбора .${\displaystyle [A]}$${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$${\displaystyle {\hat {g}}}$

Предыдущая конструкция - важный источник примеров проективных представлений. Теорема Баргмана (обсуждается ниже) дает критерий, при котором каждое неприводимое проективное унитарное представление возникает таким образом.${\displaystyle G}$

Проективные представления SO (3) [ править ]

Физически важный пример приведенной выше конструкции возникает в случае группы вращений SO (3) , универсальное покрытие которой - SU (2) . Согласно теории представлений SU (2) , существует ровно одно неприводимое представление SU (2) в каждом измерении. Когда размерность нечетная (случай «целочисленного вращения»), представление опускается до обычного представления SO (3). ^[3]Когда размерность четная (случай «дробного вращения»), представление не опускается до обычного представления SO (3), но (в соответствии с результатом, рассмотренным выше) спускается к проективному представлению SO (3). Такие проективные представления SO (3) (те, которые не происходят из обычных представлений) называются «спинорными представлениями».

Согласно рассуждению, обсуждаемому ниже, любое конечномерное неприводимое проективное представление SO (3) происходит из конечномерного неприводимого обычного представления SU (2).

Примеры покрытий, ведущих к проективным представлениям [ править ]

Известные случаи покрывающих групп, дающих интересные проективные представления:

• Специальная ортогональная группа SO ( п , Р ) двукратно покрывается Спин группы Spin ( п , F ).
• В частности, группа SO (3) (группа вращений в трехмерном пространстве) дважды покрывается SU (2) . Это имеет важные приложения в квантовой механике, поскольку изучение представлений SU (2) приводит к нерелятивистской (низкоскоростной) теории спина .
• Группа SO + (3; 1) , изоморфная группе Мёбиуса , также дважды покрывается SL 2 ( C ). Обе являются супергруппами вышеупомянутых SO (3) и SU (2) соответственно и образуют релятивистскую спиновую теорию.
• Универсальное покрытие группы Пуанкаре - это двойное покрытие (полупрямое произведение SL ₂ ( C ) на R ⁴ ). Неприводимые унитарные представления этого покрытия порождают проективные представления группы Пуанкаре, как в классификации Вигнера . Переход к обложке необходим, чтобы включить случай дробного отжима.
• Ортогональная группа О ( п ) является дважды покрыта Pin группы Pin _± ( п ).
• Симплектическая группу Sp (2 л ) = Sp (2 н , R ) (не следует путать с компактной вещественной формой симплектической группы, иногда также обозначается через Sp ( м )) является дважды покрыт метаплектической группой Mp (2 п ). Важное проективное представление Sp (2 n ) происходит из метаплектического представления Mp (2 n ).

Конечномерные проективные унитарные представления [ править ]

В квантовой физике симметрия физической системы обычно реализуется посредством проективного унитарного представления группы Ли в квантовом гильбертовом пространстве, то есть непрерывного гомоморфизма${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {PU} ({\mathcal {H}}),}$

где - фактор унитарной группы по операторам вида . Причина использования частного состоит в том, что физически два вектора в гильбертовом пространстве, которые пропорциональны, представляют одно и то же физическое состояние. [То есть пространство (чистых) состояний - это набор классов эквивалентности единичных векторов , где два единичных вектора считаются эквивалентными, если они пропорциональны.] Таким образом, унитарный оператор, кратный единице, фактически действует как личность на уровне физических состояний. ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle cI,\,|c|=1}$

Конечномерный проективное представление тогда порождает проективное унитарное представление алгебры Ли в . В конечномерном случае всегда можно «депроективизировать» представление алгебры Ли, просто выбрав представителя для каждого, имеющего нулевой след. ^[4] В свете гомоморфизмам теоремы , тогда можно де-projectivize себя, но за счет перехода к универсальной накрывающей части . ^[5] Другими словами, каждое конечномерное проективное унитарное представление возникает из обычного унитарного представления${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho _{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho _{*}}$${\displaystyle \rho _{*}(X)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$ в соответствии с процедурой, указанной в начале этого раздела.

В частности, поскольку представление алгебры Ли было депроективизировано путем выбора представителя с нулевым следом, каждое конечномерное проективное унитарное представление возникает из обычного унитарного представления детерминанта единицы (т. Е. Такого, в котором каждый элемент действует как оператор с определителем). Если является полупростым, то каждый элемент является линейной комбинацией коммутаторов, и в этом случае каждое представление является операторами с нулевым следом. Тогда в полупростом случае ассоциированное линейное представление единственно.${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$

С другой стороны , если это неприводимым унитарным представлением универсальной накрывающей из , то по лемме Шура , центр действует как скалярные кратные единицы. Таким образом, на проективном уровне спускается к проективному представлению исходной группы . Таким образом, существует естественное взаимно однозначное соответствие между неприводимыми проективными представлениями и неприводимыми, детерминантными обычными представлениями . (В полупростом случае квалификатор "определитель-один" может быть опущен, потому что в этом случае каждое представление автоматически является определяющим.)${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$

Важным примером является случай SO (3) , универсальным покрытием которого является SU (2) . Теперь алгебра Ли полупроста. Более того, поскольку SU (2) - компактная группа , каждое ее конечномерное представление допускает скалярное произведение, относительно которого представление унитарно. ^[6] Таким образом, неприводимые проективные представления группы SO (3) находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми обычными представлениями группы SU (2).${\displaystyle \mathrm {su} (2)}$

Бесконечномерные проективные унитарные представления: случай Гейзенберга [ править ]

Результаты предыдущего раздела не верны в бесконечномерном случае просто потому, что след обычно не определен должным образом. В самом деле, результат неверен: рассмотрим, например, трансляции в позиционном пространстве и в импульсном пространстве для движущейся квантовой частицы , действующей в гильбертовом пространстве . ^[7] Эти операторы определены следующим образом:${\displaystyle \rho _{*}(X)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(x)&=f(x-a)\\(S_{a}f)(x)&=e^{iax}f(x),\end{aligned}}}$

для всех . Эти операторы представляют собой просто непрерывные версии операторов и описаны в разделе «Первый пример» выше. Как в этом разделе, мы можем определить проективное унитарное представление о :${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle T_{a}}$${\displaystyle S_{a}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],}$

потому что операторы коммутируют до фазового фактора. Но никакой выбор фазовых множителей не приведет к обычному унитарному представлению, поскольку сдвиги по положению не коммутируют со сдвигами по импульсу (и умножение на ненулевую константу этого не изменит). Однако эти операторы происходят из обычного унитарного представления группы Гейзенберга , которая является одномерным центральным расширением группы . ^[8] (См. Также теорему Стоуна – фон Неймана .)${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Бесконечномерные проективные унитарные представления: теорема Баргмана [ править ]

С другой стороны, баргмановскими в теорема утверждает , что если двумерная алгебра когомологий из тривиальна, то каждое проективное унитарное представление может быть де-проективизированный после перехода к универсальной накрывающей. ^{[9] [10]} Точнее, предположим, что мы начинаем с проективного унитарного представления группы Ли . Тогда теорема утверждает , что может быть поднято до обычного унитарного представления универсальной крышки из . Это означает, что каждый элемент ядра покрывающей карты отображается в скалярное кратное тождества, так что на проективном уровне опускается до${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle {\hat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle G}$- и что соответствующее проективное представление равно .${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$

Теорема неприменима к группе, как показывает предыдущий пример, потому что двумерные когомологии ассоциированной коммутативной алгебры Ли нетривиальны. Примеры, в которых результат действительно применим, включают полупростые группы (например, SL (2, R) ) и группу Пуанкаре . Этот последний результат важен для классификации Вигнера проективных унитарных представлений группы Пуанкаре.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Доказательство теоремы баргмановской идет, рассматривая центральное расширение из , построенный аналогично секции выше на линейных представлений и проективных представлений, в качестве подгруппы прямой группы продуктов , где есть гильбертово пространство , на котором действует и является группой унитарных операторов на . Группа определяется как${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=\{(g,U)\mid \pi (U)=\rho (g)\}.}$

Как и в предыдущем разделе, отображение, данное как, является сюръективным гомоморфизмом, ядро ​​которого таково, что оно является центральным расширением . Опять же, как и в предыдущем разделе, мы можем определить линейное представление о установке . Тогда это подъем в том смысле, что , где - факторное отображение из в . ${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$${\displaystyle \phi (g,U)=g}$${\displaystyle \{(e,cI)\mid |c|=1\},}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H}$${\displaystyle \sigma (g,U)=U}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho \circ \phi =\pi \circ \sigma }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$

Ключевой технический момент - показать, что это группа Ли . (Это утверждение не так очевидно, потому что если она бесконечномерна, то группа является бесконечномерной топологической группой.) Как только этот результат установлен, мы видим, что это центральное расширение одномерной группы Ли группы Ли , так что алгебра Ли of также является одномерным центральным расширением (обратите внимание, что прилагательное «одномерный» относится не к и , а скорее к ядру карты проекции из этих объектов на и, соответственно). Но группу когомологий можно выделить${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ с пространством одномерных (опять же в указанном выше смысле) центральных расширений ; если тривиально, то каждое одномерное центральное расширение тривиально. В этом случае это просто прямая сумма с копией реальной линии. Отсюда следует , что универсальная крышка из сусла быть только прямое произведение универсальной накрывающей с копией реальной линии. Затем мы можем поднять от до (сочинение с накрытием) и , наконец , ограничить этот подъем к универсальному накрывающему из .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\tilde {H}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\tilde {H}}}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle G}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Баргманна, Валентин (1954), "Об унитарных лучевых представлений непрерывных групп", Анналы математики , 59 (1): 1-46, DOI : 10,2307 / 1969831 , JSTOR  1969831
• Гэннон, Терри (2006), Самогон за гранью монстра: мост, соединяющий алгебру, модульные формы и физику , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Шур, И. (1911), "Uber die Darstellung der simrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen" , Crelle's Journal , 139 : 155–250
• Simms, DJ (1971), «Краткое доказательство критерия Баргмана для подъема проективных представлений групп Ли», Reports on Mathematical Physics , 2 (4): 283–287, doi : 10.1016 / 0034-4877 (71) 90011 -5

См. Также [ править ]

• Аффинное представление
• Групповое действие
• Центральное расширение
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Спин-½
• Спинор
• Симметрия в квантовой механике
• Группа Гейзенберга