Спинорное поле

В дифференциальной геометрии , учитывая спиновую структуру на п - мерного ориентируемого риманова многообразия ( М, д ), А сечение на спинором расслоения S называется спинорное поле . Спинорное расслоение - это комплексное векторное расслоение, связанное с соответствующим главным расслоением спиновых систем отсчета над M через спинорное представление его структурной группы Spin ( n ) на пространстве спиноров ∆ _n .${\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {S}}: {\ mathbf {S}} \ to M \,}$ ${\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {P}}: {\ mathbf {P}} \ to M \,}$

В физике элементарных частиц частицы со спином s описываются 2s- мерным спинорным полем, где s - целое или полуцелое число. Фермионы описываются спинорным полем, а бозоны - тензорным полем.

Формальное определение [ править ]

Пусть ( P , F _P ) - спиновая структура на римановом многообразии ( M, g ), т. Е. Эквивариантный подъем ориентированного ортонормированного расслоения реперов относительно двойного накрытия${\ Displaystyle \ mathrm {F} _ {SO} (M) \ to M}$${\ displaystyle \ rho: {\ mathrm {Spin}} (n) \ to {\ mathrm {SO}} (n) \ ,.}$

Обычно спинорное расслоение ^[1] определяется как комплексное векторное расслоение${\ displaystyle \ pi _ {\ mathbf {S}}: {\ mathbf {S}} \ to M \,}$

${\ displaystyle {\ mathbf {S}} = {\ mathbf {P}} \ times _ {\ kappa} \ Delta _ {n} \,}$

связанный с спиновой структуры Р через спин представления , где U ( W ) обозначает группу из унитарных операторов , действующих на гильбертовом пространстве W .${\displaystyle \kappa :{\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,}$

Спинорное поле определяется как сечение спинором расслоения S , т.е. гладкое отображение такое , что тождественное отображение идентификатор _М из М .${\displaystyle \psi :M\to {\mathbf {S} }\,}$${\displaystyle \pi _{\mathbf {S} }\circ \psi :M\to M\,}$

См. Также [ править ]

• Пучок ортонормированных кадров
• Спинор
• Спиновый коллектор
• Спинорное представление
• Геометрия вращения

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5.
• Фридрих, Томас (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2055-1