В дифференциальной геометрии , A спиновой структуры на ориентируемого риманова многообразия ( М , г ) позволяет определить связанные спинорные расслоения , что приводит к понятию спинором в дифференциальной геометрии.
Спиновые структуры имеют широкое применение в математической физике , в частности, в квантовой теории поля, где они являются важным ингредиентом в определении любой теории с незаряженными фермионами . Они также представляют чисто математический интерес в дифференциальной геометрии , алгебраической топологии и K-теории . Они составляют основу геометрии вращения .
Обзор
В геометрии и теории поля математики спрашивают, допускает ли данное ориентированное риманово многообразие ( M , g ) спиноры . Один из способов решения этой проблемы состоит в том, чтобы потребовать, чтобы M имел спиновую структуру. [1] [2] [3] Это не всегда возможно, поскольку существует потенциально топологическое препятствие для существования спиновых структур. Спиновые структуры будут существовать тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля – Уитни w 2 ( M ) ∈ H 2 ( M , Z 2 ) группы M равен нулю. Более того, если w 2 ( M ) = 0, то на множество классов изоморфизма спиновых структур на M действует свободно и транзитивно H 1 ( M , Z 2 ). Поскольку многообразие M предполагается ориентированным, первый класс Штифеля – Уитни w 1 ( M ) ∈ H 1 ( M , Z 2 ) многообразия M также обращается в нуль. (Классы Штифеля – Уитни w i ( M ) ∈ H i ( M , Z 2 ) многообразия M определяются как классы Штифеля – Уитни его касательного расслоения TM .)
Расслоение Спиноры П S : S → М над М является то комплексное векторное расслоение , связанное с соответствующим главным расслоением П Р : Р → М из спиновых кадров над М и спин представление его структурной группой Spin ( п ) в пространстве спиноров Δ n . Пучок S называется спинорным расслоением для данной спиновой структуры на М .
Точное определение спиновой структуры на многообразии стало возможным только после того, как было введено понятие расслоения ; Андре Хефлигер (1956) нашел топологическое препятствие к существованию спиновой структуры на ориентируемом римановом многообразии, а Макс Каруби (1968) распространил этот результат на неориентируемый псевдориманов случай. [4] [5]
Спиновые структуры на римановых многообразиях
Определение
Спиновая структура на ориентируемом римановом многообразии (M, g) является эквивариантным поднятием ориентированного ортонормированного расслоения реперов F SO ( M ) → M относительно двойного накрытия ρ: Spin ( n ) → SO ( n ). Другими словами, пара ( P , F P ) является спиновой структурой на главном расслоении π: F SO ( M ) → M, когда
- а) π P : P → M - главное Spin ( n ) -расслоение над M ,
- б) F P : P → F SO ( M ) - эквивариантное двумерное накрывающее отображение такое, что
- и F P ( p q ) = F P ( p ) ρ ( q ) для всех p ∈ P и q ∈ Spin ( n ).
Главного расслоения П Р : P → M также называется расслоением спиновых реперов над M .
Две спиновые структуры ( P 1 , F P 1 ) и ( P 2 , F P 2 ) на одном ориентированном римановом многообразии (M, g) называются «эквивалентными», если существует Spin ( n ) -эквивариантное отображение f : P 1 → P 2 такие, что
- и f ( p q ) = f ( p ) q для всех и q ∈ Spin ( n ).
Конечно, в этом случае а также являются двумя эквивалентными двойными накрытиями ориентированного ортонормированного репера SO ( n ) -расслоения F SO ( M ) → M данного риманова многообразия (M, g) .
Это определение спиновой структуры на ( M , g ) как спиновой структуры на главном расслоении F SO ( M ) → M принадлежит Андре Хефлигеру (1956).
Препятствие
Андре Хефлигер [1] нашел необходимые и достаточные условия существования спиновой структуры на ориентированном римановом многообразии ( M , g ). Препятствием к наличию спиновой структуры является определенный элемент [ k ] H 2 ( M , Z 2 ). Для спиновой структуры класс [ K ] является второй класс Штифеля-Уитни ш 2 ( М ) ∈ H 2 ( M , Z 2 ) из M . Следовательно, спиновая структура существует тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля – Уитни w 2 ( M ) ∈ H 2 ( M , Z 2 ) группы M равен нулю.
Спиновые структуры на векторных расслоениях
Пусть M - паракомпактное топологическое многообразие и E - ориентированное векторное расслоение на M размерности n, снабженное расслоенной метрикой . Это означает, что в каждой точке M волокно E является внутренним пространством продукта . Спинорное расслоение Е является рецептом для последовательно связывая спиновое представление в каждую точку М . Существуют топологические препятствия к возможности это сделать, и, следовательно, данное расслоение E может не допускать никакого спинорного расслоения. В случае , если это делает, один говорит , что расслоение Е является спин .
Это может быть сделано строго на языке основных связок . Набор ориентированных ортонормированных реперов векторного расслоения образует расслоение реперов P SO ( E ), которое является главным расслоением под действием специальной ортогональной группы SO ( n ). Структура спина для P SO ( E ) представляет собой подъем из P SO ( E ) в главном расслоении P Спин ( E ) под действием спиновой группы Spin ( п ), с помощью которого мы имеем в виду , что существует расслоение отображения ф : P Spin ( E ) → P SO ( E ) такая, что
- , для всех p ∈ P Spin ( E ) и g ∈ Spin ( n ) ,
где ρ : Spin ( n ) → SO ( n ) - отображение групп, представляющее спиновую группу как двойное покрытие SO ( n ).
В частном случае, когда E - касательное расслоение TM над базовым многообразием M , если спиновая структура существует, то говорят, что M - спиновое многообразие . Эквивалентно M является спиновым, если SO ( n ) главное расслоение ортонормированных базисов касательных слоев M является Z 2- фактором основного спинового расслоения.
Если многообразие имеет клеточное разложение или триангуляцию , спиновая структура может быть эквивалентно рассмотрена как гомотопический класс тривиализации касательного расслоения над 1- скелетом , продолжающимся над 2-скелетом. Если размерность меньше 3, сначала берется сумма Уитни с тривиальным линейным расслоением.
Препятствие и классификация
Для ориентируемого векторного расслоения спиновая структура существует на тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля – Уитни исчезает. Это результат работы Армана Бореля и Фридриха Хирцебруха . [6] Кроме того, в случае является спином, количество спиновых структур находится в биекции с . Эти результаты могут быть легко доказаны [7] стр. 110-111, используя аргумент спектральной последовательности для ассоциированного главного-пучок . Обратите внимание, это дает расслоение
следовательно, может применяться спектральная последовательность Серра . Из общей теории спектральных последовательностей существует точная последовательность
где
Кроме того, а также для некоторой фильтрации на , следовательно, мы получаем карту
давая точную последовательность
Теперь спиновая структура - это в точности двойное покрытие вписывается в коммутативную диаграмму
где две левые вертикальные карты - карты двойного покрытия. Теперь двойные покрытия находятся в взаимно однозначном соответствии с индексом подгруппы , который находится в биекции с множеством групповых морфизмов . Но, исходя из теоремы Гуревича и замены коэффициентов, это в точности группа когомологий. Применяя тот же аргумент к, нетривиальное покрытие соответствует , и карту к точно , следовательно . Если он обращается в нуль, то прообраз под картой
набор двойных покрытий, дающих спиновые структуры. Теперь это подмножество можно отождествить с , показывая, что последняя группа когомологий классифицирует различные спиновые структуры на векторном расслоении . Это можно сделать, посмотрев на длинную точную последовательность гомотопических групп расслоения
и применяя , задающую последовательность групп когомологий
Так как - ядро, а прообраз находится в биекции с ядром, мы получили желаемый результат.
Замечания по классификации
Когда существуют спиновые структуры, неэквивалентные спиновые структуры на многообразии имеют взаимно однозначное соответствие (не каноническое) с элементами H 1 ( M , Z 2 ), которые по теореме об универсальных коэффициентах изоморфны H 1 ( M , Z 2 ). Точнее, пространство классов изоморфизма спиновых структур является аффинным пространством над H 1 ( M , Z 2 ).
Интуитивно понятно, что для каждого нетривиального цикла на M спиновая структура соответствует двоичному выбору того, переключает ли часть связки SO ( N ) листы, когда кто-то окружает цикл. Если ш 2 [8] равен нулю , то эти выборы могут быть продлены в течение двух- скелет , а затем (по теории препятствий ) , они могут быть автоматически распространяется на все M . В физике элементарных частиц это соответствует выбору периодических или антипериодических граничных условий для фермионов, обходящих каждый контур. Отметим, что на комплексном многообразиивторой класс Штифеля-Уитни может быть вычислен как первый класс Черна .
Примеры
- Род г риманова поверхность допускает 2 2 г неэквивалентных спиновых структур; см. тета-характеристику .
- Если H 2 ( M , Z 2 ) обращается в нуль, M является спиновым . Например, S n - это спин для всех. (Обратите внимание, что S 2 также является вращением , но по другим причинам; см. Ниже.)
- Комплексная проективная плоскость CP - не спина .
- В более общем смысле, все четномерные комплексные проективные пространства CP 2 n не являются спиновыми .
- Все нечетномерно комплекс проективные пространства CP 2n + 1 являются спин .
- Все компактные ориентируемые многообразия из размерности 3 или менее являются спин .
- Все Калаби-Яу являются спин .
Характеристики
- Род спинового многообразия является целым числом, и четное целое число , если в дополнение размерность 4 по модулю 8.
- В общем случае род Â является рациональным инвариантом, определенным для любого многообразия, но в общем случае это не целое число.
- Первоначально это было доказано Хирцебрухом и Борелем и может быть доказано теоремой Атьи-Зингера об индексе , реализовав род Â как индекс оператора Дирака - оператор Дирака является квадратным корнем из оператора второго порядка и существует благодаря к спиновой структуре, являющейся «квадратным корнем». Это был мотивирующий пример теоремы об индексе.
Структуры спина C
Спин С структура аналогична спиновой структуры на ориентированной риманова многообразия , [9] , но использует Отжим C группу, которая определяется вместо того, чтобы с помощью точной последовательности
Чтобы мотивировать это, предположим, что κ : Spin ( n ) → U ( N ) - комплексное спинорное представление. Центр U ( N ) состоит из диагональных элементов, вытекающих из включения i : U (1) → U ( N ) , то есть скалярных кратных единицы. Таким образом, существует гомоморфизм
В ядре всегда будет элемент (−1, −1). Факторизация по модулю этого элемента дает группу Spin C ( n ). Это скрученный продукт
где U (1) = SO (2) = S 1 . Другими словами, группа Spin C ( n ) является центральным расширением SO ( n ) с помощью S 1 .
С другой стороны, Spin C ( n ) - это фактор-группа, полученная из Spin ( n ) × Spin (2) относительно нормали Z 2, которая порождается парой покрывающих преобразований для расслоений Spin ( n ) → SO ( n ) и Spin (2) → SO (2) соответственно. Это делает группу Spin C одновременно расслоением над окружностью со слоем Spin ( n ) и расслоением над SO ( n ) со слоем окружность. [10] [11]
Фундаментальная группа π 1 (Spin C ( n )) изоморфна Z, если n ≠ 2, и Z ⊕ Z, если n = 2.
Если многообразие имеет клеточное разложение или триангуляцию , спиновая структура C может быть эквивалентно рассмотрена как гомотопический класс сложной структуры над 2- скелетом, который простирается на 3-скелет. Как и в случае спиновых структур, берется сумма Уитни с тривиальным линейным расслоением, если многообразие нечетномерно.
Еще одно определение , что спина С структурой на многообразии N представляет собой комплексное линейное расслоение L над N вместе со спиновой структурой на T N ⊕ L .
Препятствие
Спиновая структура C существует, когда расслоение ориентируемо и второй класс Штифеля – Уитни расслоения E находится в образе отображения H 2 ( M , Z ) → H 2 ( M , Z / 2 Z ) (другими словами , третий интегральный класс Штифеля – Уитни обращается в нуль). В этом случае говорят , что E является спин C . Интуитивно подъем дает класс Черна квадрата U (1) части любого полученного спинового C- расслоения. По теореме Хопфа и Хирцебруха замкнутые ориентируемые 4-многообразия всегда допускают спиновую C- структуру.
Классификация
Когда многообразие вообще несет структуру со спином C , набор структур со спином C образует аффинное пространство. Более того, множество спиновых C- структур имеет свободное транзитивное действие H 2 ( M , Z ) . Таким образом, спиновые C -структуры соответствуют элементам H 2 ( M , Z ), хотя и не естественным образом.
Геометрическая картина
Это имеет следующую геометрическую интерпретацию, которая принадлежит Эдварду Виттену . Когда структура со спином C отлична от нуля, это расслоение с квадратным корнем имеет нецелочисленный класс Черна, что означает, что оно не удовлетворяет условию тройного перекрытия . В частности, произведение функций перехода на трехстороннем пересечении не всегда равно единице, как это требуется для главного расслоения . Вместо этого иногда -1.
Этот отказ происходит в точности на тех же пересечениях, что и идентичный отказ в тройных произведениях функций перехода заторможенного спинового пучка . Следовательно, тройные произведения функций перехода полного расслоения со спином c , которые являются произведениями тройного произведения связок спинов и U (1) компонент, равны либо 1 2 = 1, либо (−1) 2 = 1, и поэтому расслоение со спином C удовлетворяет условию тройного перекрытия и, следовательно, является допустимым расслоением.
Детали
Приведенную выше интуитивно понятную геометрическую картину можно конкретизировать следующим образом. Рассмотрим короткую точную последовательность 0 → Z → Z → Z 2 → 0 , где вторая стрелка - это умножение на 2, а третья - редукция по модулю 2. Это индуцирует длинную точную последовательность на когомологиях, которая содержит
где вторая стрелка индуцирована умножением на 2, третья индуцирована ограничением по модулю 2, а четвертая - ассоциированный гомоморфизм Бокштейна β .
Препятствием к существованию спинового расслоения является элемент w 2 из H 2 ( M , Z 2 ) . Это отражает тот факт, что всегда можно локально поднять пучок SO (n) до спинового пучка, но нужно выбрать подъем Z 2 для каждой функции перехода, что является выбором знака. Подъем не существует, когда произведение этих трех знаков на тройном перекрытии равно −1, что дает картину когомологий Чеха для w 2 .
Чтобы отменить это препятствие, нужно тензорировать это спиновое расслоение с помощью U (1) -грунтовки с тем же препятствием w 2 . Обратите внимание, что это злоупотребление словом расслоение , поскольку ни спиновое расслоение, ни расслоение U (1) не удовлетворяют условию тройного перекрытия, и поэтому ни одно из них на самом деле не является расслоением.
Допустимое расслоение U (1) классифицируется своим классом Черна , который является элементом H 2 ( M , Z ). Отождествите этот класс с первым элементом в указанной выше точной последовательности. Следующая стрелка удваивает этот класс Черна, и поэтому допустимые связки будут соответствовать четным элементам во втором H 2 ( M , Z ) , а нечетные элементы будут соответствовать связкам, которые не удовлетворяют условию тройного перекрытия. Затем препятствие классифицируется по тому, что элемент во втором H 2 ( M , Z ) не попадает в изображение стрелки, которая по точности классифицируется по его изображению в H 2 ( M , Z 2 ) в соответствии с следующая стрелка.
Чтобы отменить соответствующее препятствие в спиновой связке, это изображение должно быть w 2 . В частности, если w 2 отсутствует на изображении стрелки, то не существует никакого пучка U (1) с препятствием, равным w 2, и поэтому препятствие не может быть отменено. По точности, w 2 находится в образе предыдущей стрелки, только если он находится в ядре следующей стрелки, который, как мы помним, является гомоморфизмом Бокштейна β. То есть условием снятия препятствия является
где мы использовали тот факт, что третий интегральный класс Штифеля – Уитни W 3 является классом Бокштейна второго класса Штифеля – Уитни w 2 (это можно принять как определение W 3 ).
Интегральные лифты классов Штифеля – Уитни.
Этот аргумент также показывает, что второй класс Штифеля – Уитни определяет элементы не только когомологий Z 2, но и целочисленных когомологий в одной более высокой степени. Фактически это верно для всех четных классов Штифеля – Уитни. Традиционно используется заглавная буква W для результирующих классов нечетной степени, которые называются интегральными классами Штифеля – Уитни и обозначаются своей степенью (которая всегда нечетная).
Примеры
- Все ориентированные гладкие многообразия размерности 4 или меньше , являются спин С . [12]
- Все почти комплексные многообразия являются спин C .
- Все спиновые многообразия спин C .
Приложение к физике элементарных частиц
В физике элементарных частиц в спин-статистика теоремы следует , что волновая функция незаряженных фермионов является сечение ассоциированного векторного расслоения на спин подъемной силы SO ( N ) расслоения E . Следовательно, выбор спиновой структуры является частью данных, необходимых для определения волновой функции, и часто необходимо суммировать эти варианты в статистической сумме . Во многих физических теориях E является касательным расслоением , но для фермионов на мировых объемах D-бран в теории струн это нормальное расслоение .
В квантовой теории поля заряженные спиноры - это части связанных связок со спином c , и, в частности, никакие заряженные спиноры не могут существовать в пространстве, которое не является спином c . Исключение составляют некоторые теории супергравитации, где дополнительные взаимодействия подразумевают, что другие поля могут аннулировать третий класс Штифеля – Уитни. Математическое описание спиноров в супергравитации и теории струн - это особенно тонкая открытая проблема, к которой недавно обращались в справочных материалах. [13] [14] Оказывается, стандартное понятие спиновой структуры слишком ограничительно для приложений к супергравитации и теории струн, и что правильным понятием спинорной структуры для математической формулировки этих теорий является «липшицева структура». [13] [15]
Смотрите также
- Метаплектическая структура
- Пучок ортонормированных кадров
- Спинор
Рекомендации
- ^ a b Haefliger, A. (1956). "Sur l'extension du groupe Structural d'un espace fibré". CR Acad. Sci. Париж . 243 : 558–560.
- ^ Дж. Милнор (1963). «Спиновые структуры на многообразиях». L'Enseignement Mathématique . 9 : 198–203.
- ^ Лихнерович, А. (1964). "Champs spinoriels et medicateurs en rélativité générale" . Бык. Soc. Математика. Пт . 92 : 11–100. DOI : 10,24033 / bsmf.1604 .
- ^ Каруби, М. (1968). "Algèbres de Clifford et K-théorie" . Аня. Sci. Éc. Норма. Supér . 1 (2): 161–270. DOI : 10,24033 / asens.1163 .
- ^ Alagia, HR; Санчес, CU (1985), "Спиновые структуры на псевдоримановых многообразиях" (PDF) , Revista de la Unión Matemática Argentina , 32 : 64–78
- ^ Borel, A .; Хирцебрух, Ф. (1958). «Характеристические классы и однородные пространства I». Американский журнал математики . 80 (2): 97–136. DOI : 10.2307 / 2372795 . JSTOR 2372795 .
- ^ Пати, Вишвамбхар. «Эллиптические комплексы и теория индекса» (PDF) . Архивировано 20 августа 2018 года (PDF) .
- ^ «Спиновое многообразие и второй класс Штифеля-Уитни» . Math.Stachexchange .
- ^ Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . п. 391 . ISBN 978-0-691-08542-5.
- ^ Р. Гомпф (1997). « Спиновые c –структуры и гомотопические эквивалентности ». Геометрия и топология . 1 : 41–50. arXiv : math / 9705218 . Bibcode : 1997math ...... 5218G . DOI : 10,2140 / gt.1997.1.41 . S2CID 6906852 .
- ^ Фридрих, Томас (2000). Операторы Дирака в римановой геометрии . Американское математическое общество . п. 26 . ISBN 978-0-8218-2055-1.
- ^ Гомпф, Роберт Э .; Стипсич, Андраш И. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби . Американское математическое общество . стр. 55 -58, 186-187. ISBN 0-8218-0994-6.
- ^ а б Lazaroiu, C .; Шахбази, CS (2019). «Реальные пиноровые связки и реальные липшицевы структуры». Азиатский математический журнал . 23 (5): 749–836. arXiv : 1606.07894 . DOI : 10.4310 / AJM.2019.v23.n5.a3 . S2CID 119598006 ..
- ^ Lazaroiu, C .; Шахбази, CS (2019). «О спиновой геометрии супергравитации и теории струн». Геометрические методы в физике XXXVI . Тенденции в математике. С. 229–235. arXiv : 1607.02103 . DOI : 10.1007 / 978-3-030-01156-7_25 . ISBN 978-3-030-01155-0. S2CID 104292702 .
- ^ Фридрих, Томас; Траутман, Анджей (2000). «Спиновые пространства, липшицевы группы и спинорные расслоения». Анналы глобального анализа и геометрии . 18 (3): 221–240. arXiv : math / 9901137 . DOI : 10,1023 / A: 1006713405277 . S2CID 118698159 .
дальнейшее чтение
- Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5.
- Фридрих, Томас (2000). Операторы Дирака в римановой геометрии . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2055-1.
- Каруби, Макс (2008). К-Теория . Springer. С. 212–214. ISBN 978-3-540-79889-7.
- Greub, Вернер; Петри, Герберт-Райнер (2006) [1978]. «О подъеме структурных групп» . Дифференциальные геометрические методы в математической физике II . Конспект лекций по математике. 676 . Springer-Verlag. С. 217–246. DOI : 10.1007 / BFb0063673 . ISBN 9783540357216.
- Скорпан, Александру (2005). «4.5 Примечания Спиновые структуры, определение структурной группы; Эквивалентность определений» . Дикий мир 4-многообразий . Американское математическое общество. С. 174–189. ISBN 9780821837498.
Внешние ссылки
- Кое-что о спиновых структурах Свен-С. Porst - это краткое введение в структуры ориентации и вращения для студентов-математиков.