Ориентируемость

В математике , ориентируемость это свойство поверхностей в евклидовом пространстве , что является меры, можно ли сделать последовательный выбор поверхности нормального вектора в каждой точке. Выбор вектора нормали позволяет использовать правило правой руки для определения направления петель на поверхности «по часовой стрелке», как того требует, например, теорема Стокса . В более общем смысле ориентируемость абстрактной поверхности или многообразия измеряет, можно ли последовательно выбрать ориентацию «по часовой стрелке» для всех петель в многообразии. Эквивалентно, поверхность является ориентируемойесли двумерную фигуру (например, ) в пространстве нельзя непрерывно перемещать по этой поверхности и обратно в исходную точку, чтобы она выглядела как ее собственное зеркальное отображение ( ).

Тор является ориентируемой поверхностью

Мёбиус не является ориентируемой поверхностью. Обратите внимание, что краб-скрипач, перемещающийся вокруг него, переворачивается влево и вправо при каждом полном обращении. Этого бы не произошло, если бы краб был на торе.

Римская поверхность неориентируемо

Понятие ориентируемости можно обобщить и на многомерные многообразия . ^[1] Многообразие ориентируемо, если оно имеет последовательный выбор ориентации , а связное ориентируемое многообразие имеет ровно две различные возможные ориентации. В этом случае могут быть даны различные эквивалентные формулировки ориентируемости, в зависимости от желаемого применения и уровня общности. Формулировки, применимые к общим топологическим многообразиям, часто используют методы теории гомологии , тогда как для дифференцируемых многообразий присутствует больше структуры, позволяющая формулировать в терминах дифференциальных форм . Важным обобщением понятия ориентируемости пространства является понятие ориентируемости семейства пространств, параметризованных каким-либо другим пространством ( расслоением ), для которого необходимо выбрать ориентацию в каждом из пространств, которая непрерывно изменяется по отношению к изменениям в значения параметров.

В этой анимации проводится простая аналогия с использованием шестеренки, которая вращается в соответствии с правилом правой руки относительно вектора нормали поверхности. Ориентация кривых, определяемая границами, определяется направлением движения точек, когда они толкаются движущейся шестерней. На неориентируемой поверхности, такой как лента Мёбиуса, граница должна перемещаться в обоих направлениях одновременно, что невозможно.

Поверхность S в евклидовом пространстве R ³ ориентируема, если двумерная фигура (например,) нельзя перемещать по поверхности и возвращать туда, где он был начат, чтобы он выглядел как свое собственное зеркальное отображение (). В противном случае поверхность неориентируема . Абстрактная поверхность (т. Е. Двумерное многообразие ) ориентируема, если на поверхности может быть определена непротиворечивая концепция вращения по часовой стрелке непрерывным образом. То есть петля, проходящая по поверхности в одну сторону, никогда не может непрерывно деформироваться (без перекрытия) до петли, идущей в противоположном направлении. Это оказывается эквивалентным вопрос не содержит ли поверхность не подмножества, которое гомеоморфно к Мёбиусу . Таким образом, для поверхностей лента Мёбиуса может считаться источником всей неориентируемости.

Для ориентируемой поверхности последовательный выбор «по часовой стрелке» (в отличие от против часовой стрелки) называется ориентацией , а поверхность называется ориентированной . Для поверхностей, вложенных в евклидово пространство, ориентация задается выбором непрерывно изменяющейся нормали n к поверхности в каждой точке. Если такая нормаль вообще существует, то всегда есть два способа ее выбрать: n или - n . В более общем плане , ориентируемая поверхность допускает ровно две ориентации, а также различие между сориентировать эда поверхности и сориентировать умелую поверхностью является тонким и часто размыто. Ориентируемая поверхность - это абстрактная поверхность, допускающая ориентацию, в то время как ориентированная поверхность - это поверхность, которая является абстрактно ориентируемой и имеет дополнительные данные для выбора одной из двух возможных ориентаций.

Примеры

Большинство поверхностей, с которыми мы сталкиваемся в физическом мире, ориентируемы. Ориентируемыми сферами , плоскостями и торами являются, например. Но ленты Мёбиуса , вещественные проективные плоскости и бутылки Клейна неориентируемы. Все они в трехмерном представлении имеют только одну сторону. Реальная проективная плоскость и бутылка Клейна не могут быть вложены в R ³ , а только погружены с хорошими пересечениями.

Обратите внимание, что локально встроенная поверхность всегда имеет две стороны, поэтому близорукий муравей, ползающий по односторонней поверхности, будет думать, что есть «другая сторона». Суть односторонности в том, что муравей может переползать с одной стороны поверхности на «другую», не проходя через поверхность и не переворачиваясь за край, а просто проползая достаточно далеко.

В общем, свойство ориентироваться не эквивалентно двустороннему; однако это верно, когда окружающее пространство (такое как R ³ выше) ориентируемо. Например, тор, вложенный в

${\ Displaystyle К ^ {2} \ раз S ^ {1}}$

может быть односторонним, а бутылка Клейна в том же пространстве может быть двусторонней; здесь${\ displaystyle K ^ {2}}$ относится к бутылке Клейна.

Ориентация по триангуляции

Любая поверхность имеет триангуляцию : разбиение на треугольники, при котором каждое ребро треугольника приклеивается не более чем к одному другому ребру. Каждый треугольник ориентируется путем выбора направления по периметру треугольника, присвоения направления каждому краю треугольника. Если это сделано таким образом, что при склеивании соседние края смотрят в противоположном направлении, то это определяет ориентацию поверхности. Такой выбор возможен только в том случае, если поверхность ориентируемая, а в этом случае есть ровно две разные ориентации.

Если фигура может быть последовательно размещен во всех точках поверхности, не превращаясь в ее зеркальное отображение, тогда это вызовет ориентацию в указанном выше смысле на каждом из треугольников триангуляции путем выбора направления каждого из треугольников на основе порядка красных- зелено-голубой цвета любой из фигур внутри треугольника.

Этот подход обобщается на любое n -многообразие, имеющее триангуляцию. Однако некоторые 4-многообразия не имеют триангуляции, и вообще при n > 4 некоторые n -многообразия имеют триангуляции, которые неэквивалентны.

Ориентируемость и гомология

Если H ₁ ( S ) обозначает первую группу гомологий поверхности S , то S ориентируема тогда и только тогда, когда H ₁ ( S ) имеет тривиальную подгруппу кручения . Точнее, если S ориентируема, то H ₁ ( S ) - свободная абелева группа , а если нет, то H ₁ ( S ) = F + Z / 2 Z, где F - свободная абелева группа, а фактор Z / 2 Z порожден от средней кривой в Мебиуса , встроенного в S .

Пусть M - связное топологическое n - многообразие . Есть несколько возможных определений того , что это означает , что для М ориентируемого. Некоторые из этих определений требуют, чтобы M имел дополнительную структуру, например, дифференцируемость. Иногда n = 0 нужно рассматривать как особый случай. Когда к M применимо более одного из этих определений , то M ориентируемо при одном определении тогда и только тогда, когда оно ориентируемо при других. ^{[2] [3]}

Ориентируемость дифференцируемых многообразий.

Наиболее интуитивно понятные определения требуют, чтобы M было дифференцируемым многообразием. Это означает, что переходные функции в атласе M являются C ¹ -функциями. Такая функция допускает определитель Якоби . Когда определитель Якоби положителен, функция перехода называется сохраняющей ориентацию . An ориентированного атлас на М является атласом , для которого всех функции перехода являются сохраняющей ориентацией. М является ориентируемым , если она допускает ориентированный атлас. При п > 0 , ориентации на М являются максимальным ориентированным атласом. (Когда n = 0 , ориентация M является функцией M → {± 1 }.)

Ориентируемость и ориентации также можно выразить в терминах касательного расслоения. Касательное расслоение является векторным расслоением , поэтому это расслоение со структурной группой GL ( n , R ) . То есть функции перехода многообразия индуцируют функции перехода на касательном расслоении, которые являются послойными линейными преобразованиями. Если структурную группу можно свести к группе GL ⁺ ( n , R ) матриц с положительным определением или, что то же самое, если существует атлас, функции перехода которого определяют сохраняющее ориентацию линейное преобразование на каждом касательном пространстве, то многообразие M является ориентируемым. Наоборот, M ориентируемо тогда и только тогда, когда структурная группа касательного расслоения может быть сокращена таким образом. Аналогичные наблюдения можно сделать и для связки кадров.

Другой способ определить ориентацию на дифференцируемом многообразии - использовать объемные формы . Форма объема является нигде не исчезающим сечением ω из ⋀ ^п Т ^* М , верхние внешней степени кокасательного расслоения М . Например, R ⁿ имеет стандартную форму объема, задаваемую dx ¹ ∧ ... ∧ dx ⁿ . Для данной формы объема на M совокупность всех карт U → R ^n, для которых стандартная форма объема возвращается к положительному кратному ω, является ориентированным атласом. Следовательно, существование формы объема равносильно ориентируемости многообразия.

Формы объема и касательные векторы могут быть объединены, чтобы дать еще одно описание ориентируемости. Если X ₁ , ..., X _n - базис касательных векторов в точке p , то базис называется правым, если ω ( X ₁ , ..., X _n )> 0 . Функция перехода сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда она отправляет правые основания на правые. Существование формы объема означает редукцию структурной группы касательного расслоения или расслоения реперов до GL ⁺ ( n , R ) . Как и прежде, это означает , ориентируемость М . И наоборот, если M является ориентируемым, то формы локальных объемов могут быть скомпонованы вместе, чтобы создать форму глобального объема, при этом ориентируемость необходима, чтобы гарантировать, что глобальная форма никуда не денется.

Гомологии и ориентируемость общих многообразий

В основе всех приведенных выше определений ориентируемости дифференцируемого многообразия лежит понятие сохраняющей ориентацию переходной функции. Возникает вопрос, что именно сохраняют такие переходные функции. Они не могут сохранять ориентацию многообразия, потому что ориентация многообразия является атласом, и нет смысла говорить, что функция перехода сохраняет или не сохраняет атлас, членом которого она является.

Этот вопрос можно решить, определив локальные ориентации. На одномерном многообразии локальная ориентация вокруг точки p соответствует выбору левой и правой сторон около этой точки. На двумерном многообразии это соответствует выбору по часовой стрелке и против часовой стрелки. У этих двух ситуаций есть общая черта, заключающаяся в том, что они описываются в терминах поведения в высшей размерности вблизи p, но не в p . В общем случае пусть M - топологическое n -многообразие. Локальная ориентация из М вокруг точки р является выбором образующей группы

${\ displaystyle H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right).}$

Чтобы увидеть геометрическое значение этой группы, выберите диаграмму вокруг стр . В этой схеме есть окрестность р , который является открытым шаром B вокруг начала координат O . По теореме о вырезании ,${\ displaystyle H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right)}$ изоморфен ${\ displaystyle H_ {n} \ left (B, B \ setminus \ {O \}; \ mathbf {Z} \ right)}$. Шар B стягиваем, поэтому его группы гомологий равны нулю, кроме степени ноль, а пространство B \ O является ( n - 1) -сферой, поэтому его группы гомологий равны нулю, кроме степеней n - 1 и 0 . Вычисление с длинной точной последовательностью в относительных гомологиях показывает, что указанная выше группа гомологий изоморфна${\ displaystyle H_ {n-1} \ left (S ^ {n-1}; \ mathbf {Z} \ right) \ cong \ mathbf {Z}}$. Таким образом, выбор генератора соответствует решению, является ли сфера вокруг p положительной или отрицательной на данной диаграмме . Отражение R ⁿ через начало координат действует отрицанием на${\ displaystyle H_ {n-1} \ left (S ^ {n-1}; \ mathbf {Z} \ right)}$, поэтому геометрическое значение выбора генератора состоит в том, что он отличает диаграммы от их отражений.

На топологическом многообразии функция перехода сохраняет ориентацию, если в каждой точке p в своей области определения она фиксирует образующие${\ displaystyle H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right)}$. Отсюда соответствующие определения такие же, как и в дифференцируемом случае. An ориентированный атлас является одним , для которого всех функции перехода сохраняет ориентация, М является ориентируемым , если она допускает ориентированный атлас, и когда п > 0 , ориентации на М являются максимальной ориентированным атласом.

Интуитивно ориентация M должна определять уникальную локальную ориентацию M в каждой точке. Это уточняется, отмечая, что любую карту в ориентированном атласе вокруг p можно использовать для определения сферы вокруг p , и эта сфера определяет генератор${\ displaystyle H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right)}$. Более того, любая другая карта вокруг p связана с первой картой функцией перехода, сохраняющей ориентацию, и это означает, что две диаграммы дают один и тот же генератор, поэтому генератор уникален.

Возможны и чисто гомологические определения. Если предположить , что М замкнут и подключен, М является ориентируемым тогда и только тогда , когда п - й группы гомологии${\ Displaystyle Н_ {п} (М; \ mathbf {Z})}$изоморфен целые числа Z . Ориентации на М является выбор генератора альфа этой группы. Этот генератор определяет ориентированный атлас, фиксируя генератор бесконечной циклической группы${\ Displaystyle Н_ {п} (М; \ mathbf {Z})}$и принимают ориентированные диаграммы как те, для которых α продвигается к фиксированному генератору. И наоборот, ориентированный атлас определяет такой генератор, поскольку совместимые локальные ориентации могут быть склеены вместе, чтобы дать генератор для группы гомологий${\ Displaystyle Н_ {п} (М; \ mathbf {Z})}$. ^[4]

Ориентация и когомологии

Многообразие M ориентируемо тогда и только тогда, когда первый класс Штифеля – Уитни ${\ displaystyle w_ {1} (M) \ in H ^ {1} (M; \ mathbf {Z} / 2)}$исчезает. В частности, если первая группа когомологий с коэффициентами Z / 2 равна нулю, то многообразие ориентируемо. Более того, если M ориентируемо и w ₁ обращается в нуль, то${\ Displaystyle Н ^ {0} (М; \ mathbf {Z} / 2)}$параметризует выбор ориентации. ^[5] Эта характеризация ориентируемости распространяется на ориентируемость общих векторных расслоений над M , а не только касательного расслоения.

Двойная крышка ориентации

Вокруг каждой точки M есть две локальные ориентации. Интуитивно существует способ перейти от локальной ориентации в точке p к локальной ориентации в соседней точке p ' : когда две точки лежат в одной и той же координатной карте U → R ⁿ , эта координатная карта определяет совместимые локальные ориентации в p и p ′ . Таким образом, множеству локальных ориентаций может быть задана топология, и эта топология превращает его в многообразие.

Точнее, пусть O множество всех локальных ориентаций М . Чтобы топологизировать O, мы укажем суббазу для его топологии. Пусть U - открытое подмножество M, выбранное таким образом, что${\ Displaystyle Н_ {п} (М, М \ setminus U; \ mathbf {Z})}$изоморфна Z . Предположим, что α - образующая этой группы. Для каждого p в U существует функция продвижения вперед${\ displaystyle H_ {n} (M, M \ setminus U; \ mathbf {Z}) \ to H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right)}$. Кообласть этой группы имеет два образующих, и α отображается в один из них. Топология на O определена так, что

${\ displaystyle \ {{\ text {Изображение}} \ alpha {\ text {in}} H_ {n} \ left (M, M \ setminus \ {p \}; \ mathbf {Z} \ right) \ двоеточие п \ в U \}}$

открыто.

Существует каноническое отображение π: O → M, которое переводит локальную ориентацию в точке p в точку p . Ясно, что каждая точка из M имеет ровно два прообраза относительно π . На самом деле, π даже локальный гомеоморфизм, так как прообразы открытых множеств U , упомянутых выше, гомеоморфны несвязные двух экземпляров U . Если M ориентируем, то M сама одна из этих открытых множеств, поэтому O является несвязным объединением двух экземпляров М . Если же M неориентируемо, то O связно и ориентируемо. Многообразие O называется ориентационным двойным покрытием .

Многообразия с краем

Если M - многообразие с краем, то ориентация M определяется как ориентация его внутренней части. Такая ориентация индуцирует ориентацию ∂ M . Действительно, предположим, что ориентация M фиксирована. Пусть U → R ⁿ ₊ - карта в граничной точке M, которая, будучи ограничена внутренней частью M , находится в выбранном ориентированном атласе. Ограничение этой диаграммы на ∂ M представляет собой график ∂ M . Такие графики образуют ориентированный атлас для ∂ M .

Когда M является гладким, в каждой точке p на ∂ M ограничение касательного расслоения M на ∂ M изоморфно T _p ∂ M ⊕ R , где фактор R описывается направленным внутрь нормальным вектором. Ориентации Т _р ∂ М определяется условием , что основа Т _р ∂ М положительно ориентированы тогда и только тогда , когда она, в сочетании с внутренним указывая вектор нормали, определяет положительно ориентированный базис Т _р М .