Римская поверхность

Эта статья написана как исследовательская статья или научный журнал, в котором могут использоваться чрезмерно технические термины, или же она может быть написана не как энциклопедическая статья . Пожалуйста, помогите улучшить его , переписав в энциклопедическом стиле . ( Март 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Анимация римской поверхности

Римская поверхность или поверхность Штейнера является самопересекающимся отображением вещественной проективной плоскости в трехмерное пространство, с необычно высокой степенью симметрии . Это отображение не является погружением проективной плоскости; однако фигура, полученная в результате удаления шести особых точек, равна единице. Его название происходит потому, что он был открыт Якобом Штайнером, когда он был в Риме в 1844 году. ^[1]

Самая простая конструкция - это изображение сферы с центром в начале координат при отображении f ( x , y , z ) = ( yz , xz , xy ). Это дает неявную формулу из

${\ displaystyle x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {2} z ^ {2} + z ^ {2} x ^ {2} -r ^ {2} xyz = 0. \,}$

Кроме того, параметризация сферы по долготе (θ) и широте (φ) дает следующие параметрические уравнения для римской поверхности:

${\ Displaystyle х = г ^ {2} \ соз \ тета \ соз \ varphi \ sin \ varphi}$

${\ displaystyle y = r ^ {2} \ sin \ theta \ cos \ varphi \ sin \ varphi}$

${\ Displaystyle г = г ^ {2} \ соз \ тета \ грех \ тета \ соз ^ {2} \ varphi}$

Начало координат - тройная точка, и каждая из плоскостей xy -, yz - и xz является касательной к этой поверхности. Остальные места самопересечения представляют собой двойные точки, определяющие отрезки вдоль каждой координатной оси, которые заканчиваются шестью точками защемления. Вся поверхность имеет тетраэдрическую симметрию . Это конкретный тип (называемый тип 1) Steiner поверхности, то есть, в 3-мерном линейная проекция на поверхности Веронезе .

Вывод неявной формулы [ править ]

Для простоты мы рассматриваем только случай r = 1. Дана сфера, определяемая точками ( x , y , z ) такими, что

${\ Displaystyle х ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, \,}$

мы применяем к этим точкам преобразование T, определенное, скажем,.${\ Displaystyle Т (Икс, Y, Z) = (YZ, ZX, XY) = (U, V, W), \,}$

Но тогда у нас есть

${\ displaystyle {\ begin {align} U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} & = z ^ {2} x ^ {2} y ^ {4} + x ^ {2} y ^ {2} z ^ {4} + y ^ {2} z ^ {2} x ^ {4} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) (x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2}) \\ [8pt] & = (1) (x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2}) = (xy) (yz) (zx) = UVW, \ end {align}}}$

и так по желанию.${\ Displaystyle U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} -UVW = 0 \,}$

Наоборот , предположим, что нам даны ( U , V , W ), удовлетворяющие

(*) ${\ Displaystyle U ^ {2} V ^ {2} + V ^ {2} W ^ {2} + W ^ {2} U ^ {2} -UVW = 0. \,}$

Докажем, что существует ( x , y , z ) такое, что

(**) ${\ Displaystyle х ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1, \,}$

для которого ${\displaystyle U=xy,V=yz,W=zx,\,}$

за одним исключением: в случае 3.b. ниже мы покажем, что это невозможно доказать.

1. В случае, когда ни одно из U , V , W не равно 0, мы можем положить

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {WU}{V}}},\ y={\sqrt {\frac {UV}{W}}},\ z={\sqrt {\frac {VW}{U}}}.\,}$

(Обратите внимание, что (*) гарантирует, что либо все три U, V, W положительны, либо ровно два отрицательны. Таким образом, эти квадратные корни имеют положительные числа.)

Легко использовать (*), чтобы подтвердить, что (**) выполняется для x , y , z, определенных таким образом.

2. Предположим, что W равно 0. Из (*) следует${\displaystyle U^{2}V^{2}=0\,}$

и, следовательно, хотя бы один из U , V также должен быть 0. Это показывает, что невозможно, чтобы ровно одно из U , V , W было 0.

3. Предположим, что ровно два из U , V , W равны 0. Без ограничения общности предполагаем, что

(***)${\displaystyle U\neq 0,V=W=0.\,}$

Следует, что ${\displaystyle z=0,\,}$

(поскольку влечет это и, следовательно, противоречит (***).)${\displaystyle z\neq 0,\,}$${\displaystyle x=y=0,\,}$${\displaystyle U=0,\,}$

а. В подслучае, где

${\displaystyle |U|\leq {\frac {1}{2}},}$

если мы определим x и y по

${\displaystyle x^{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}}}$

и ${\displaystyle y^{2}={\frac {1-{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}},}$

это обеспечивает выполнение (*). Легко проверить, что${\displaystyle x^{2}y^{2}=U^{2},\,}$

и, следовательно, правильный выбор знаков x и y гарантирует${\displaystyle xy=U.\,}$

Поскольку также ${\displaystyle yz=0=V{\text{ and }}zx=0=W,\,}$

это показывает, что этот подслучай приводит к желаемому обратному.

б. В оставшемся подслучае случая 3. имеем${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}.}$

С ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,\,}$

легко проверить, что ${\displaystyle xy\leq {\frac {1}{2}},}$

и, таким образом, в этом случае, где ${\displaystyle |U|>1/2,\ V=W=0,}$

не существует ( x , y , z ), удовлетворяющего${\displaystyle U=xy,\ V=yz,\ W=zx.}$

Следовательно, решения ( U , 0, 0) уравнения (*) с ${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}}$

и аналогично (0, V , 0) с ${\displaystyle |V|>{\frac {1}{2}}}$

и (0, 0, W ) с${\displaystyle |W|>{\frac {1}{2}}}$

(каждая из которых представляет собой некомпактную часть координатной оси, состоящую из двух частей) не соответствуют ни одной точке на римской поверхности .

4. Если ( U , V , W ) является точкой (0, 0, 0), то если любые два из x , y , z равны нулю, а третий имеет абсолютное значение 1, очевидно, как и нужно.${\displaystyle (xy,yz,zx)=(0,0,0)=(U,V,W)\,}$

Это охватывает все возможные случаи.

Вывод параметрических уравнений [ править ]

Пусть сфера имеет радиус r , долготу φ и широту θ . Тогда его параметрические уравнения имеют вид

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle z=r\,\sin \theta .}$

Затем, применяя преобразование T ко всем точкам на этой сфере, получаем

${\displaystyle x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,}$

которые являются точками на римской поверхности. Пусть φ находится в диапазоне от 0 до 2π, а θ находится в диапазоне от 0 до π / 2 .

Отношение к реальной проективной плоскости [ править ]

Сфера до преобразования не гомеоморфна реальной проективной плоскости RP ² . Но сфера с центром в начале координат обладает тем свойством, что если точка (x, y, z) принадлежит сфере, то также и противоположная точка (-x, -y, -z), и эти две точки различны: они лежат по разные стороны от центра сферы.

Преобразование T переводит обе эти противоположные точки в одну и ту же точку,

${\displaystyle T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy),}$

${\displaystyle T:(-x,-y,-z)\rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).}$

Так как это справедливо для всех точек S ² , то ясно , что римская поверхность представляет собой непрерывный образом «сфера по модулю антиподы». Поскольку некоторые различные пары антиподов все переходят в идентичные точки на римской поверхности, она не гомеоморфна RP ² , а вместо этого является фактором реальной проективной плоскости RP ² = S ² / (x ~ -x) . Кроме того, отображение Т (выше) от S ² к этому фактору имеет особое свойство , что оно локально инъективны от шести пар диаметрально противоположных точек. Или полученная карта из RP ^{2, которая} представляет собой погружение RP ² - минус шесть очков - в 3-пространство.

(Ранее было заявлено, что римская поверхность гомеоморфна RP ² , но это было ошибкой. Впоследствии было заявлено, что римская поверхность представляет собой погружение RP ² в R ³ , но это тоже было ошибкой.)

Структура римской поверхности [ править ]

Римская поверхность имеет четыре выпуклых «лепестка», каждая из которых находится в разных углах тетраэдра.

Римская поверхность может быть построена путем соединения трех гиперболических параболоидов и последующего сглаживания краев по мере необходимости, чтобы она соответствовала желаемой форме (например, параметризация).

Пусть есть эти три гиперболических параболоида:

• х = yz ,
• у = zx ,
• г = ху .

Эти три гиперболических параболоида пересекаются снаружи по шести ребрам тетраэдра и внутри по трем осям. Внутренние пересечения - это места двойных точек. Три точки двойных точек: x = 0, y = 0 и z = 0 пересекаются в тройной точке в начале координат .

Например, если x = yz и y = zx , второй параболоид эквивалентен x = y / z . потом

${\displaystyle yz={y \over z}}$

и либо y = 0, либо z ² = 1, так что z = ± 1. Их два внешних пересечения

• х = у , г = 1;
• х = - у , г = -1.

Аналогично, другие внешние пересечения

• х = г , у = 1;
• х = - г , у = -1;
• у = г , х = 1;
• у = - г , х = -1.

Давайте посмотрим, как складываются части. Присоединяйтесь к параболоидам y = xz и x = yz . Результат показан на рисунке 1.

Рисунок 1.

Параболоид y = xz показан синим и оранжевым цветом. Параболоид x = yz показан голубым и пурпурным. На изображении видно, что параболоиды пересекаются по оси z = 0 . Если параболоиды удлинены, они также должны пересекаться по линиям

• г = 1, у = х ;
• г = -1, у = - х .

Два параболоида вместе выглядят как пара орхидей, соединенных спиной к спине.

Теперь пропустите через них третий гиперболический параболоид z = xy . Результат показан на рисунке 2.

В направлениях запад-юго-запад и восток-северо-восток на Рисунке 2 есть пара отверстий. Эти отверстия являются лепестками, и их необходимо закрыть. Когда отверстия закрываются, получается римская поверхность, показанная на рисунке 3.

Пара лепестков видна в западном и восточном направлениях на рисунке 3. Другая пара лепестков скрыта под третьим ( z = xy ) параболоидом и лежит в северном и южном направлениях.

Если три пересекающихся гиперболических параболоида нарисованы достаточно далеко, чтобы они пересекались по краям тетраэдра, то результат будет таким, как показано на рисунке 4.

Одна из долей видна спереди - лобовой - на Рисунке 4. Видно, что эта доля является одним из четырех углов тетраэдра.

Если у непрерывной поверхности на рисунке 4 острые края закруглены - сглажены, то в результате получится римская поверхность на рисунке 5.

Одна из долей римской поверхности видна на рисунке 5 спереди, и ее выпуклая - баллоновидная - форма очевидна.

Если поверхность на Рисунке 5 повернуть на 180 градусов, а затем перевернуть, результат будет таким, как показано на Рисунке 6.

На рис. 6 показаны три лепестка сбоку. Между каждой парой лепестков есть геометрическое место из двойных точек, соответствующих координатной оси. Три локуса пересекаются в тройной точке в начале координат. Четвертый лепесток скрыт и указывает в направлении, прямо противоположном наблюдателю. Римская поверхность, показанная в верхней части этой статьи, также имеет три лепестка при виде сбоку.

Односторонность [ править ]

Римская поверхность неориентируемая , т.е. односторонняя. Это не совсем очевидно. Чтобы убедиться в этом, снова взгляните на рисунок 3.

Представьте себе муравья на вершине «третьего» гиперболического параболоида , z = xy . Пусть этот муравей двинется на север. По мере движения он будет проходить через два других параболоида, как призрак, проходящий сквозь стену. Эти другие параболоиды кажутся препятствиями только из-за самопересекающейся природы погружения. Позвольте муравью игнорировать все двойные и тройные точки и проходить сквозь них. Итак, муравей движется на север и, так сказать, падает с края света. Теперь он оказывается в северной доле, скрытой под третьим параболоидом на рис. 3. Муравей стоит вверх ногами на «внешней стороне» римской поверхности.

Пусть муравей двинется на юго-запад. Он будет подниматься по склону (вверх ногами), пока не окажется «внутри» западного лепестка. Теперь позвольте муравью двигаться в юго-восточном направлении вдоль внутренней части западного лепестка к оси z = 0 , всегда выше плоскости xy . Как только он пройдет через ось z = 0, муравей окажется на «внешней стороне» восточной доли, стоя правой стороной вверх.

Затем позвольте ему двигаться на север, через «холм», затем на северо-запад, чтобы он начал скользить вниз к оси x = 0 . Как только муравей пересечет эту ось, он окажется «внутри» северной доли, встав правой стороной вверх. Теперь позвольте муравью идти на север. Он поднимется по стене, затем по «крыше» Северного выступа. Муравей снова на третьем гиперболическом параболоиде, но на этот раз под ним и стоит вверх ногами. (Сравните с бутылкой Клейна .)

Двойные, тройные и защемляющие точки [ править ]

Римская поверхность имеет четыре «доли». Границы каждой доли представляют собой набор из трех линий двойных точек. Между каждой парой долей есть линия из двойных точек. Поверхность состоит из трех линий двойных точек, которые лежат (в параметризации, приведенной ранее) на осях координат. Три линии двойных точек пересекаются в тройной точке, лежащей в начале координат. Тройная точка разрезает линии двойных точек на пару полупрямой, и каждая полупрямая проходит между парой лепестков. Из предыдущих утверждений можно было ожидать, что может быть до восьми долей, по одной в каждом октанте пространства, разделенного координатными плоскостями. Но доли занимают чередующиеся октанты: четыре октанта пусты, а четыре заняты долями.

Если бы римская поверхность была вписана внутрь тетраэдра с наименьшим возможным объемом, можно было бы обнаружить, что каждое ребро тетраэдра касается римской поверхности в точке, и что каждая из этих шести точек оказывается сингулярностью Уитни . Эти особенности или точки защемления лежат на краях трех линий двойных точек, и они определяются этим свойством: нет плоскости, касательной к какой-либо поверхности в сингулярности.

См. Также [ править ]

• Поверхность мальчика - погружение проекционной плоскости без заглушек.
• Тетрагемигексаэдр - многогранник, очень похожий на римскую поверхность.

Ссылки [ править ]

Общие ссылки [ править ]

• А. Коффман, А. Шварц и К. Стентон: Алгебра и геометрия Штейнера и других квадратично параметризуемых поверхностей . В компьютерном геометрическом дизайне (3) 13 (апрель 1996 г.), стр. 257–286
• Берт Юттлер, Рагни Пиене: геометрическое моделирование и алгебраическая геометрия . Springer 2008, ISBN 978-3-540-72184-0 , стр. 30 ( ограниченная копия в Интернете , стр. 30, в Google Книгах ) 

Внешние ссылки [ править ]

• А. Коффман, " Поверхности Штейнера "
• Вайсштейн, Эрик В. «Римская поверхность» . MathWorld .
• Римские поверхности в Национальном банке кривых (веб-сайт Калифорнийского государственного университета)
• Ашай Дхарвадкер, Гептаэдр и римская поверхность, Электронные геометрические модели, 2004.