Пучок волокон

В математике и, в частности , в топологии расслоение (или, на английском языке Содружества : расслоение расслоения ) — это пространство , которое локально является пространством продукта , но глобально может иметь другую топологическую структуру . В частности, сходство между пространством и пространством продукта определяется с помощью непрерывной сюръективной карты , которая в небольших областях ведет себя точно так же, как проекция из соответствующих областей в . Карта , называемая${\ Displaystyle Е}$${\ Displaystyle В \ раз F}$ ${\ Displaystyle \ пи \ двоеточие Е \ к В}$${\ Displaystyle Е}$${\ Displaystyle В \ раз F}$${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle \ пи}$проекция или погружение расслоения рассматривается как часть структуры расслоения. Пространство известно как тотальное пространство расслоения, как базовое пространство и слой .${\ Displaystyle Е}$${\ Displaystyle В}$${\ Displaystyle F}$

В тривиальном случае это просто , а карта — это просто проекция пространства произведения на первый фактор. Это называется тривиальным пучком . Примеры нетривиальных расслоений включают ленту Мёбиуса и бутылку Клейна , а также нетривиальные накрывающие пространства . Расслоения, такие как касательное расслоение многообразия и другие более общие векторные расслоения , играют важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , как и главные расслоения .${\ Displaystyle Е}$${\ Displaystyle В \ раз F}$${\ Displaystyle \ пи}$

Отображения между тотальными пространствами расслоений, которые «коммутируют» с проекционными отображениями, известны как отображения расслоений , и класс расслоений образует категорию по отношению к таким отображениям. Карта расслоения из самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) в называется секцией . Пучки волокон могут быть специализированы несколькими способами, наиболее распространенным из которых является требование, чтобы карты перехода между локальными тривиальными участками лежали в определенной топологической группе , известной как структурная группа , действующая на волокне .${\ Displaystyle Е}$${\ Displaystyle Е}$${\ Displaystyle F}$

В топологии термины « волокно » (нем. Faser ) и « пространство расслоения» ( gefaserter Raum ) впервые появились в статье Герберта Зайферта в 1933 году, ^{[1] [2]} , но его определения ограничены очень частным случаем. Однако главное отличие от современных представлений о расслоенном пространстве заключалось в том, что для Зейферта то, что сейчас называется базовым пространством (топологическим пространством) расслоенного (топологического) пространства Е , не было частью структуры, а производным от нее как фактор-пространство E . Первое определение расслоения было даноХасслером-Уитни в 1935 г. ^[3] под названием « пространство сферы» , но в 1940 г. Уитни изменил название на расслоение сфер . ^[4]

Теория расслоенных пространств, частным случаем которых являются векторные расслоения , главные расслоения , топологические расслоения и расслоенные многообразия , приписывается Зейферту, Хайнцу Хопфу , Жаку Фельдбау , ^[5] Уитни, Норману Стинроду , Чарльзу Эресманну , ^{[6] [ 7] [8]} Жан-Пьер Серр , ^[9] и другие.

Пучки волокон стали самостоятельным объектом изучения в период 1935–1940 гг. Первое общее определение появилось в работах Уитни. ^[10]

Цилиндрическая расческа , демонстрирующая интуицию термина « пучок волокон» . Эта расческа похожа на пучок волокон, в котором базовое пространство представляет собой цилиндр, а волокна ( щетинки ) — отрезки прямых. Отображение возьмет точку на любой щетине и сопоставит ее с ее корнем на цилиндре.${\ Displaystyle \ пи \ двоеточие Е \ к В}$

Лента Мёбиуса — нетривиальное расслоение над окружностью.

Бутылка Клейна погружена в трехмерное пространство.

Тор.