Подключение (векторный набор)

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии и калибровочной теории , соединение на пучке волокон - это устройство, определяющее понятие параллельного переноса на пучке; то есть способ «соединить» или идентифицировать волокна в близлежащих точках. Самый распространенный случай - это линейная связь на векторном расслоении , для которой понятие параллельного переноса должно быть линейным . Линейная связность эквивалентно определяется ковариантной производной - оператором, который дифференцирует сечения пучка по касательным направлениям.в базовом многообразии таким образом, чтобы параллельные участки имели нулевую производную. Линейные связности обобщать, произвольных векторных расслоений, то связность Леви-Чивита на касательном расслоении о наличии псевдориманова многообразия , что дает стандартный способ дифференцировать векторных полей. Нелинейные связности обобщают это понятие на расслоения, слои которых не обязательно линейны.

Линейные связи также называют связями Кошуля в честь Жана-Луи Кошуля , который дал алгебраическую основу для их описания ( Koszul 1950 ).

В этой статье связь на векторном пучке определяется с использованием общепринятого математического обозначения, в котором не выделяются координаты. Однако регулярно используются и другие обозначения: в общей теории относительности вычисления векторных расслоений обычно записываются с использованием индексированных тензоров; в калибровочной теории подчеркиваются эндоморфизмы слоев векторного пространства. Различные обозначения эквивалентны, как обсуждалось в статье о метрических связях (сделанные там комментарии относятся ко всем векторным расслоениям).

Мотивация [ править ]

Часть векторного расслоения обобщает понятие функции на многообразии в том смысле, что стандартную векторнозначную функцию можно рассматривать как часть тривиального векторного расслоения . Поэтому естественно спросить, можно ли дифференцировать сечение по аналогии с тем, как дифференцировать векторное поле. Когда векторное расслоение является касательным расслоением к псевдориманову многообразию , на этот вопрос естественным образом отвечает связность Леви-Чивита , которая представляет собой единственную связность без кручения, совместимую с псевдоримановой метрикой на касательном расслоении. В общем, такого естественного выбора способа разграничения разделов нет.${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}\to M}$

Модельный случай - дифференцировать -компонентное векторное поле на евклидовом пространстве . В этом случае производная в точке направления может быть просто определена как${\displaystyle m}$${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dX}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(x+tv)-X(x)}{t}}.}$

Обратите внимание, что для каждого мы определили новый вектор, поэтому производная от в направлении дает новое -компонентное векторное поле на .${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dX(v)(x)\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle v}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

При переходе к сечению векторного расслоения на многообразии возникает две ключевые проблемы с этим определением. Во-первых, поскольку многообразие не имеет линейной структуры, этот термин не имеет смысла . Вместо того, чтобы один принимает путь таким образом, что и вычисляет ${\displaystyle X\in \Gamma (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x+tv}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to M}$${\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma '(0)=v}$

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$

Однако это по-прежнему не имеет смысла, потому что это вектор в волокне поверх , и слой сверху , что является другим векторным пространством. Это означает, что нет никакого смысла в вычитании этих двух членов, лежащих в разных векторных пространствах.${\displaystyle X(\gamma (t))\in E_{\gamma (t)}}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle X(\gamma (0))=X(x)\in E_{x}}$${\displaystyle x}$

Цель состоит в том, чтобы решить вышеупомянутую загадку, придумав способ дифференцировать секции векторного расслоения в направлении векторных полей и получить обратно другой участок векторного расслоения. Есть три возможных решения этой проблемы. Все три требуют выбора того, как различать сечения, и только в особых условиях, таких как касательное расслоение на римановом многообразии, есть естественный такой выбор.

1. ( Параллельный перенос ) Поскольку проблема заключается в том, что векторы и лежат в разных слоях , одним из решений является определение изоморфизма для всех, близких к нулю. Используя этот изоморфизм, можно перейти к волокну, а затем получить разницу. Явно,${\displaystyle X(\gamma (t))}$${\displaystyle X(x)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle P_{t}^{\gamma }:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X(\gamma (t))}$${\displaystyle E_{x}}$
   $${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {P_{t}^{\gamma }X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$$

   
   Это параллельный перенос , и выбор изоморфизмов для всех кривых в можно рассматривать как определение того, как дифференцировать сечение.${\displaystyle P_{t}^{\gamma }}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M}$
2. ( Связность Эресмана ) Используйте понятие дифференциала отображения гладких многообразий. Сечение по определению является гладкой картой, такой что . У него есть дифференциал со свойством векторного поля . Однако вместо этого хотелось бы быть частью самого себя. На самом деле, вертикальное расслоение является поднятием вместе с тем же самым, как волокна . Если выбрать проекцию векторных пучков, композиция с этой проекцией вернется в исходное положение . Это называется линейной связностью Эресмана на векторном расслоении${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle s:M\to E}$${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {Id} }$${\displaystyle ds:TM\to TE}$${\displaystyle ds(X)\in \Gamma (TE)}$${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle ds(X)}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V\subset TE}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle \nu :TE\to V}$${\displaystyle ds(X)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E\to M}$. Существует множество вариантов операторов проекции, поэтому существует множество различных способов дифференцирования векторного поля.${\displaystyle \nu :TE\to V}$
3. ( Ковариантная производная ) Третье решение состоит в том, чтобы абстрагироваться от свойств, которыми должна обладать производная части векторного расслоения, и принимать это как аксиоматическое определение. Это понятие связи или ковариантной производной, описанное в этой статье. Можно показать, что оба других двух вышеприведенных подхода эквивалентны этому аксиоматическому определению дифференцирования.

Формальное определение [ править ]

Пусть - гладкое векторное расслоение над дифференцируемым многообразием . Обозначим пространство гладких сечений из по . Соединение на это - линейное отображение${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)}$

так что правило Лейбница

${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$

имеет место для всех гладких функций на и все гладкие сечения в .${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$

Если - касательное векторное поле на (т.е. часть касательного расслоения ), можно определить ковариантную производную вдоль${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \nabla _{X}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

стягивание с результирующим ковариантным индексом в связи: . Ковариантная производная удовлетворяет:${\displaystyle X}$${\displaystyle \nabla _{X}(s)=(\nabla (s))(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \!_{X}(s_{1}{+}s_{2})\ =\ \nabla \!_{X}s_{1}+\nabla \!_{X}s_{2}\\&\nabla \!_{(X_{1}{+}X_{2})}s\ =\ \nabla \!_{X_{1}}s+\nabla \!_{X_{2}}s\\&\nabla \!_{X}(fs)\ =\ f\,\nabla \!_{X}s+X(f)s\\&\nabla \!_{fX}s\ =\ f\,\nabla \!_{X}s.\end{aligned}}}$

И наоборот, любой оператор, удовлетворяющий указанным выше свойствам, определяет связь на, и связь в этом смысле также известна как ковариантная производная на .${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

Индуцированные связи [ править ]

Для данного векторного расслоения существует множество связанных расслоений, к которым можно построить, например, дуальное векторное расслоение , тензорные степени , симметричные и антисимметричные тензорные степени и прямые суммы . Связность на индуцирует связь на любом из этих связанных пучков. Простота перехода между связями на ассоциированных расслоениях более элегантно описывается теорией связностей главных расслоений , но здесь мы представляем некоторые из основных индуцированных связностей.${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E^{\otimes k}}$${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E}$${\displaystyle E^{\oplus k}}$${\displaystyle E}$

Двойное соединение [ править ]

Для заданной связи на , индуцированная двойственная связь на неявно определяется формулой${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$

${\displaystyle d(\langle \xi ,s\rangle )(X)=\langle \nabla _{X}^{*}\xi ,s\rangle +\langle \xi ,\nabla _{X}s\rangle .}$

Вот гладкое векторное поле, это часть и часть дуального расслоения, а также естественное спаривание между векторным пространством и двойственным ему (происходит на каждом слое между и ). Обратите внимание, что это определение, по сути, требует, чтобы соединение было таким, чтобы соблюдалось правило натурального продукта для спаривания .${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \xi \in \Gamma (E^{*})}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Подключение к тензорному продукту [ править ]

Учитывая связи на двух векторных расслоениях , определим связность тензорного произведения по формуле${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$${\displaystyle E,F\to M}$

${\displaystyle (\nabla ^{E}\otimes \nabla ^{F})_{X}(s\otimes t)=\nabla _{X}^{E}(s)\otimes t+s\otimes \nabla _{X}^{F}(t).}$

Here we have ${\displaystyle s\in \Gamma (E),t\in \Gamma (F),X\in \Gamma (TM)}$. Notice again this is the natural way of combining ${\displaystyle \nabla ^{E},\nabla ^{F}}$ to enforce the product rule for the tensor product connection. By repeated application of the above construction applied to the tensor product ${\displaystyle E^{\otimes k}=(E^{\otimes (k-1)})\otimes E}$, one also obtains the tensor power connection on ${\displaystyle E^{\otimes k}}$ for any ${\displaystyle k\geq 1}$ and vector bundle ${\displaystyle E}$.

Direct sum connection[edit]

The direct sum connection is defined by

${\displaystyle (\nabla ^{E}\oplus \nabla ^{F})_{X}(s\oplus t)=\nabla _{X}^{E}(s)\oplus \nabla _{X}^{F}(t),}$

where ${\displaystyle s\oplus t\in \Gamma (E\oplus F)}$.

Symmetric and exterior power connections[edit]

Поскольку симметричная степень и внешняя мощность векторного расслоения могут естественным образом рассматриваться как подпространства тензорной степени, определение связи тензорного произведения напрямую применяется к этой настройке. В самом деле, поскольку симметрическая и внешняя алгебры находятся внутри тензорной алгебры как прямые слагаемые, и связность учитывает это естественное расщепление, можно просто ограничиться этими слагаемыми. Явно определите симметричное соединение продукта как${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E\subset E^{\otimes k}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \nabla _{X}^{\odot 2}(s\cdot t)=\nabla _{X}s\cdot t+s\cdot \nabla _{X}t}$

и внешний вид соединения продукта путем

${\displaystyle \nabla _{X}^{\wedge 2}(s\wedge t)=\nabla _{X}s\wedge t+s\wedge \nabla _{X}t}$

для всех . Повторное применение этих продуктов дает наведенное симметричное питание и внешние силовые соединения на и соответственно.${\displaystyle s,t\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle S^{k}E}$${\displaystyle \Lambda ^{k}E}$

Связь эндоморфизма [ править ]

Наконец, можно определить индуцированную связность на векторном расслоении эндоморфизмов , связность эндоморфизмов . Это просто связь тензорного произведения двойной связи на и на . Если и , так что композиция тоже, то для связи эндоморфизма выполняется следующее правило произведения:${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} {E}}}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$${\displaystyle \nabla ^{*}}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle u(s)\in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \nabla _{X}(u(s))=\nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)+u(\nabla _{X}(s)).}$

Обращая это уравнение, можно определить связь эндоморфизма как единственную связь, удовлетворяющую

${\displaystyle \nabla _{X}^{\operatorname {End} (E)}(u)(s)=\nabla _{X}(u(s))-u(\nabla _{X}(s))}$

для любого , тем самым избегая необходимости сначала определять двойную связь и связь тензорного произведения.${\displaystyle u,s,X}$

Любой связанный пакет [ править ]

Для векторного расслоения ранга и любого представления в линейную группу существует индуцированная связность на ассоциированном векторном расслоении . Эта теория наиболее лаконично захвачена переход к соединению главного расслоения на раму пучок из и с помощью теории главных расслоений. Каждый из приведенных выше примеров можно рассматривать как частные случаи этой конструкции: двойственное расслоение соответствует обратному транспонированию (или обратному сопряженному) представлению, тензорное произведение - представлению тензорного произведения, прямая сумма - представлению прямой суммы и т. на.${\displaystyle E}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \rho :\mathrm {GL} (r,\mathbb {K} )\to G}$${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (V)}$${\displaystyle F=E\times _{\rho }V}$${\displaystyle E}$

Внешние ковариантные производные и векторнозначные формы [ править ]

Let ${\displaystyle E\to M}$ be a vector bundle. An E {\displaystyle E} -valued differential form of degree ${\displaystyle r}$ is a section of the tensor product bundle:

${\displaystyle \bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E.}$

The space of such forms is denoted by

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M;E)=\Gamma \left(\bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E\right)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E),}$

where the last tensor product denotes the tensor product of modules over the ring of smooth functions on ${\displaystyle M}$.

An ${\displaystyle E}$-valued 0-form is just a section of the bundle ${\displaystyle E}$. That is,

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).}$

In this notation a connection on ${\displaystyle E\to M}$ is a linear map

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).}$

Тогда связь можно рассматривать как обобщение внешней производной на векторные расслоенные формы. На самом деле, учитывая связь на есть единственный способ продлить на внешний ковариантный${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

В отличие от обычной внешней производной, обычно есть . Фактически, напрямую связано с кривизной соединения (см. Ниже ).${\displaystyle d_{\nabla }^{2}\neq 0}$${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$${\displaystyle \nabla }$

Аффинные свойства набора связей [ править ]

Каждое векторное расслоение над многообразием допускает связь, которую можно доказать с помощью разбиений единицы . Однако связи не уникальны. Если и являются двумя связями, то их разница является -линейным оператором. Это,${\displaystyle \nabla _{1}}$${\displaystyle \nabla _{2}}$${\displaystyle E\to M}$ C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)}

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}s-\nabla _{2}s)}$

для всех гладких функций на и все гладкие сечения в . Отсюда следует, что различие может быть однозначно идентифицировано с помощью одной формы на со значениями в пучке эндоморфизмов :${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

И наоборот, если это соединение включено и является одноформным со значениями в , то соединение включено .${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$${\displaystyle \nabla +A}$${\displaystyle E}$

Другими словами, пространство связей на является аффинным пространством для . Это аффинное пространство обычно обозначается .${\displaystyle E}$${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Связь с принципалом и связями Эресмана [ править ]

Let ${\displaystyle E\to M}$ be a vector bundle of rank ${\displaystyle k}$ and let ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ be the principal frame bundle of ${\displaystyle E}$. Then a (principal) connection on ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ induces a connection on ${\displaystyle E}$. First note that sections of ${\displaystyle E}$ are in one-to-one correspondence with right-equivariant maps ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to \mathbb {R} ^{k}}$. (This can be seen by considering the pullback of ${\displaystyle E}$ over ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to M}$, which is isomorphic to the trivial bundle ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\times \mathbb {R} ^{k}}$.) Given a section ${\displaystyle s}$ of ${\displaystyle E}$ let the corresponding equivariant map be ${\displaystyle \psi (s)}$. The covariant derivative on ${\displaystyle E}$ is then given by

${\displaystyle \psi (\nabla _{X}s)=X^{H}(\psi (s))}$

где есть горизонтальный лифт от от до . (Напомним, что горизонтальный подъем определяется подключением .)${\displaystyle X^{H}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

И наоборот, соединение on определяет соединение on , и эти две конструкции взаимно обратны.${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$

Связность на также определяется линейной связностью Эресмана на . Это предоставляет один метод для создания связанного основного подключения.${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

Индуцированные соединения, обсуждаемые в разделе # Индуцированные соединения, могут быть сконструированы как соединения на других связанных пакетах с пакетом кадров , используя представления, отличные от стандартного представления, использованного выше. Например , если обозначает стандартное представление о , то ассоциированное расслоение к представлению о на есть прямая сумма расслоение , и индуцированное соединение именно то , что было описано выше.${\displaystyle E}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \rho \oplus \rho }$${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\oplus \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle E\oplus E}$

Местное выражение [ править ]

Позвольте быть векторным расслоением ранга , и пусть будет открытое подмножество, над которым тривиализируется. Поэтому на множество , допускает локальный гладкий корпус секций${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\dots ,e_{k});\quad e_{i}:U\to \left.E\right|_{U}.}$

Поскольку каркас определяет основу волокна для любого , любой локальный участок кадра можно расширить как${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle E_{x}}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}s^{i}e_{i}}$

для набора гладких функций .${\displaystyle s^{1},\dots ,s^{k}:U\to \mathbb {R} }$

Принимая во внимание соединение на , можно выразить через с точки зрения локальной системе координат секций, используя характерное правило продукта для соединения. Для любого базового раздела количество может быть расширено в локальном фрейме как${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle \nabla (e_{i})\in \Omega ^{1}(U)\otimes \Gamma (U,E)}$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{k}A_{i}^{\ j}\otimes e_{j},}$

где собраны локальные однокоренные формы. Эти формы могут быть помещены в матрицу однократных форм, определяемую${\displaystyle A_{i}^{\ j}\in \Omega ^{1}(U);\,j=1,\dots ,k}$

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ 1}&\cdots &A_{k}^{\ 1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1}^{\ k}&\cdots &A_{k}^{\ k}\end{pmatrix}}\in \Omega ^{1}(U,\operatorname {End} (\left.E\right|_{U}))}$

называется местной формой подключения более${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$ . Действие элемента в любом разделе может быть вычислено с точки зрения использования правила продукта как${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{i,j=1}^{k}(ds^{j}+A_{i}^{\ j}s^{i})\otimes e_{j}.}$

Если локальный раздел также записан в матричной нотации как вектор-столбец с использованием локального кадра в качестве основы,${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle s={\begin{pmatrix}s^{1}\\\vdots \\s^{k}\end{pmatrix}},}$

то, используя обычное умножение матриц, можно написать

${\displaystyle \nabla (s)=ds+As}$

где - сокращение для применения внешней производной к каждому компоненту как вектора-столбца. В этих обозначениях часто пишут локально, что . В этом смысле связь локально полностью задается своей одной формой связи в некоторой тривиализации.${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle d}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}=d+A}$

As explained in #Affine properties of the set of connections, any connection differs from another by an endomorphism-valued one-form. From this perspective, the connection one-form ${\displaystyle A}$ is precisely the endomorphism-valued one-form such that the connection ${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}}$ on ${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$ differs from the trivial connection ${\displaystyle d}$ on ${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$, which exists because ${\displaystyle U}$ is a trivialising set for ${\displaystyle E}$.

Relationship to Christoffel symbols[edit]

In pseudo-Riemannian geometry, the Levi-Civita connection is often written in terms of the Christoffel symbols ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{\ \ k}}$ instead of the connection one-form ${\displaystyle A}$. It is possible to define Christoffel symbols for a connection on any vector bundle, and not just the tangent bundle of a pseudo-Riemannian manifold. To do this, suppose that in addition to ${\displaystyle U}$ being a trivialising open subset for the vector bundle ${\displaystyle E\to M}$, that ${\displaystyle U}$ is also a local chart for the manifold ${\displaystyle M}$, admitting local coordinates ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n});\quad x^{i}:U\to \mathbb {R} }$.

In such a local chart, there is a distinguished local frame for the differential one-forms given by ${\displaystyle (dx^{1},\dots ,dx^{n})}$, and the local connection one-forms ${\displaystyle A_{i}^{j}}$ can be expanded in this basis as

${\displaystyle A_{i}^{\ j}=\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}dx^{\ell }}$

для сбора локальных гладких функций , называемых символами Кристоффеля из более . В случае, когда и является связью Леви-Чивиты, эти символы точно совпадают с символами Кристоффеля из псевдоримановой геометрии.${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}:U\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$${\displaystyle E=TM}$${\displaystyle \nabla }$

Выражение того, как действует в локальных координатах, может быть дополнительно расширено в терминах локальной карты и символов Кристоффеля, которые будут заданы следующим образом:${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{\ell =1}^{n}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)dx^{\ell }\otimes e_{j}.}$

Связывание этого выражения с касательным вектором локальной координаты приводит к${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}}$

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{\ell }}}(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j}.}$

Это определяет набор локально определенных операторов${\displaystyle n}$

${\displaystyle \nabla _{\ell }:\Gamma (U,E)\to \Gamma (U,E);\quad \nabla _{\ell }(s):=\sum _{i,j=1}^{k}\left({\frac {\partial s^{j}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma _{\ell i}^{\ \ j}s^{i}\right)e_{j},}$

со свойством, что

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{\ell =1}^{n}dx^{\ell }\otimes \nabla _{\ell }(s).}$

Изменение локальной тривиализации [ править ]

Предположим, есть другой выбор локального фрейма на том же самом тривиализирующем множестве , так что существует матрица гладких функций, связанных и , определяемая${\displaystyle \mathbf {e'} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle g=(g_{i}^{\ j})}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j=1}^{k}g_{i}^{\ j}e'_{j}.}$

Трассировка через построение локальной формы соединения для кадра , можно обнаружить , что соединение один-форма для даются${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle A'}$${\displaystyle \mathbf {e'} }$

${\displaystyle {A'}_{i}^{\ j}=\sum _{p,q=1}^{k}g_{p}^{\ j}A_{q}^{\ p}{(g^{-1})}_{i}^{\ q}-\sum _{p=1}^{k}(dg)_{p}^{\ j}{(g^{-1})}_{i}^{\ p}}$

где обозначает матрицу, обратную к . В матричных обозначениях это можно записать${\displaystyle g^{-1}=\left({(g^{-1})}_{i}^{\ j}\right)}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle A'=gAg^{-1}-(dg)g^{-1}}$

где - матрица единичных форм, полученная путем взятия внешней производной покомпонентной матрицы .${\displaystyle dg}$${\displaystyle g}$

В случае, когда - касательное расслоение и - якобиан координатного преобразования , длинные формулы преобразования символов Кристоффеля связи Леви-Чивиты могут быть восстановлены из более сжатых законов преобразования приведенной выше формы связи.${\displaystyle E=TM}$${\displaystyle g}$${\displaystyle M}$

Параллельный транспорт и голономия [ править ]

Соединение на векторном расслоении определяет понятие параллельного переноса на вдоль кривой . Позвольте быть гладким путем в . Часть из вместе называется параллельной , если${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s=0}$

for all ${\displaystyle t\in [0,1]}$. Equivalently, one can consider the pullback bundle ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ of ${\displaystyle E}$ by ${\displaystyle \gamma }$. This is a vector bundle over ${\displaystyle [0,1]}$ with fiber ${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$ over ${\displaystyle t\in [0,1]}$. The connection ${\displaystyle \nabla }$ on ${\displaystyle E}$ pulls back to a connection on ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$. A section ${\displaystyle s}$ of ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ is parallel if and only if ${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla (s)=0}$.

Suppose ${\displaystyle \gamma }$ is a path from ${\displaystyle x}$ to ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle M}$. The above equation defining parallel sections is a first-order ordinary differential equation (cf. local expression above) and so has a unique solution for each possible initial condition. That is, for each vector ${\displaystyle v}$ in ${\displaystyle E_{x}}$ there exists a unique parallel section ${\displaystyle s}$ of ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$ with ${\displaystyle s(0)=v}$. Define a parallel transport map

${\displaystyle \tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,}$

by ${\displaystyle \tau _{\gamma }(v)=s(1)}$. It can be shown that ${\displaystyle \tau _{\gamma }}$ is a linear isomorphism, with inverse given by following the same procedure with the reversed path ${\displaystyle \gamma ^{-}}$ from ${\displaystyle y}$ to ${\displaystyle x}$.

How to recover the covariant derivative of a connection from its parallel transport. The values ${\displaystyle s(\gamma (t))}$ of a section ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ are parallel transported along the path ${\displaystyle \gamma }$ back to ${\displaystyle \gamma (0)=x}$, and then the covariant derivative is taken in the fixed vector space, the fibre ${\displaystyle E_{x}}$ over ${\displaystyle x}$.

Parallel transport can be used to define the holonomy group of the connection ${\displaystyle \nabla }$ based at a point ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle M}$. This is the subgroup of ${\displaystyle \operatorname {GL} (E_{x})}$ consisting of all parallel transport maps coming from loops based at ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.\,}$

The holonomy group of a connection is intimately related to the curvature of the connection (AmbroseSinger 1953).

The connection can be recovered from its parallel transport operators as follows. If ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ is a vector field and ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$ a section, at a point ${\displaystyle x\in M}$ pick an integral curve ${\displaystyle \gamma :(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M}$ for ${\displaystyle X}$ at ${\displaystyle x}$. For each ${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ we will write ${\displaystyle \tau _{t}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$ for the parallel transport map traveling along ${\displaystyle \gamma }$ from ${\displaystyle t}$ to ${\displaystyle 0}$. In particular for every ${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$, we have ${\displaystyle \tau _{t}s(\gamma (t))\in E_{x}}$. Then ${\displaystyle t\mapsto \tau _{t}s(\gamma (t))}$ defines a curve in the vector space ${\displaystyle E_{x}}$, which may be differentiated. The covariant derivative is recovered as

${\displaystyle \nabla _{X}s(x)={\frac {d}{dt}}\left(\tau _{t}s(\gamma (t))\right)_{t=0}.}$

This demonstrates that an equivalent definition of a connection is given by specifying all the parallel transport isomorphisms ${\displaystyle \tau _{\gamma }}$ between fibres of ${\displaystyle E}$ and taking the above expression as the definition of ${\displaystyle \nabla }$.

Curvature[edit]

The curvature of a connection ${\displaystyle \nabla }$ on ${\displaystyle E\to M}$ is a 2-form ${\displaystyle F_{\nabla }}$ on ${\displaystyle M}$ with values in the endomorphism bundle ${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$. That is,

${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} (E))=\Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathrm {End} (E)).}$

It is defined by the expression

${\displaystyle F_{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

where ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are tangent vector fields on ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle s}$ is a section of ${\displaystyle E}$. One must check that ${\displaystyle F_{\nabla }}$ is C ∞ ( M ) {\displaystyle C^{\infty }(M)} -linear in both ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ and that it does in fact define a bundle endomorphism of ${\displaystyle E}$.

As mentioned above, the covariant exterior derivative ${\displaystyle d_{\nabla }}$ need not square to zero when acting on ${\displaystyle E}$-valued forms. The operator ${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$ is, however, strictly tensorial (i.e. ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-linear). This implies that it is induced from a 2-form with values in ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$. This 2-form is precisely the curvature form given above. For an ${\displaystyle E}$-valued form ${\displaystyle \sigma }$ we have

${\displaystyle (d_{\nabla })^{2}\sigma =F_{\nabla }\wedge \sigma .}$

A flat connection is one whose curvature form vanishes identically.

Local form and Cartan's structure equation[edit]

The curvature form has a local description called Cartan's structure equation. If ${\displaystyle \nabla }$ has local form ${\displaystyle A}$ on some trivialising open subset ${\displaystyle U\subset M}$ for ${\displaystyle E}$, then

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+A\wedge A}$

on ${\displaystyle U}$. To clarify this notation, notice that ${\displaystyle A}$ is a endomorphism-valued one-form, and so in local coordinates takes the form of a matrix of one-forms. The operation ${\displaystyle d}$ applies the exterior derivative component-wise to this matrix, and ${\displaystyle A\wedge A}$ denotes matrix multiplication, where the components are wedged rather than mulitiplied.

In local coordinates ${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n})}$ on ${\displaystyle M}$ over ${\displaystyle U}$, if the connection form is written ${\displaystyle A=A_{\ell }dx^{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})dx^{\ell }}$ for a collection of local endomorphisms ${\displaystyle A_{\ell }=(\Gamma _{\ell i}^{\ \ j})}$, then one has

${\displaystyle F_{\nabla }=\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{q}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial A_{p}}{\partial x^{q}}}+[A_{p},A_{q}]\right)dx^{p}\wedge dx^{q}.}$

Further expanding this in terms of the Christoffel symbols ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}}$ produces the familiar expression from Riemannian geometry. Namely if ${\displaystyle s=s^{i}e_{i}}$ is a section of ${\displaystyle E}$ over ${\displaystyle U}$, then

${\displaystyle F_{\nabla }(s)=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma _{qi}^{\ \ j}}{\partial x^{p}}}-{\frac {\partial \Gamma _{pi}^{\ \ j}}{\partial x^{q}}}+\Gamma _{pr}^{\ \ j}\Gamma _{qi}^{\ \ r}-\Gamma _{qr}^{\ \ j}\Gamma _{pi}^{\ \ r}\right)s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}=\sum _{i,j=1}^{k}\sum _{p,q=1}^{n}R_{pqi}^{\ \ \ j}s^{i}dx^{p}\wedge dx^{q}\otimes e_{j}.}$

Here ${\displaystyle R=(R_{pqi}^{\ \ \ j})}$ is the full curvature tensor of ${\displaystyle F_{\nabla }}$, and in Riemannian geometry would be identified with the Riemannian curvature tensor.

It can be checked that if we define ${\displaystyle [A,A]}$ to be wedge product of forms but commutator of endomorphisms as opposed to composition, then ${\displaystyle A\wedge A={\frac {1}{2}}[A,A]}$, and with this alternate notation the Cartan structure equation takes the form

${\displaystyle F_{\nabla }=dA+{\frac {1}{2}}[A,A].}$

This alternate notation is commonly used in the theory of principal bundle connections, where instead we use a connection form ${\displaystyle \omega }$, a Lie algebra-valued one-form, for which there is no notion of composition (unlike in the case of endomorphisms), but there is a notion of a Lie bracket.

In some references (see for example (MadsenTornehave1997)) the Cartan structure equation may be written with a minus sign:

${\displaystyle F_{\nabla }=dA-A\wedge A.}$

This different convention uses an order of matrix multiplication that is different from the standard Einstein notation in the wedge product of matrix-valued one-forms.

Bianchi identity[edit]

A version of the second (differential) Bianchi identity from Riemannian geometry holds for a connection on any vector bundle. Recall that a connection ${\displaystyle \nabla }$ on a vector bundle ${\displaystyle E\to M}$ induces an endomorphism connection on ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$. This endomorphism connection has itself an exterior covariant derivative, which we ambiguously call ${\displaystyle d_{\nabla }}$. Since the curvature is a globally defined ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$-valued two-form, we may apply the exterior covariant derivative to it. The Bianchi identity says that

${\displaystyle d_{\nabla }F_{\nabla }=0}$.

This succinctly captures the complicated tensor formulae of the Bianchi identity in the case of Riemannian manifolds, and one may translate from this equation to the standard Bianchi identities by expanding the connection and curvature in local coordinates.

There is no analogue in general of the first (algebraic) Bianchi identity for a general connection, as this exploits the special symmetries of the Levi-Civita connection. Namely, one exploits that the vector bundle indices of ${\displaystyle E=TM}$ in the curvature tensor ${\displaystyle R}$ may be swapped with the cotangent bundle indices coming from ${\displaystyle T^{*}M}$ after using the metric to lower or raise indices. For example this allows the torsion-freeness condition ${\displaystyle \Gamma _{\ell i}^{\ \ j}=\Gamma _{i\ell }^{\ \ j}}$ to be defined for the Levi-Civita connection, but for a general vector bundle the ${\displaystyle \ell }$-index refers to the local coordinate basis of ${\displaystyle T^{*}M}$, and the ${\displaystyle i,j}$-indices to the local coordinate frame of ${\displaystyle E}$ and ${\displaystyle E^{*}}$ coming from the splitting ${\displaystyle \mathrm {End} (E)=E^{*}\otimes E}$. However in special circumstance, for example when the rank of ${\displaystyle E}$ equals the dimension of ${\displaystyle M}$ and a solder form has been chosen, one can use the soldering to interchange the indices and define a notion of torsion for affine connections which are not the Levi-Civita connection.

Gauge transformations[edit]

Given two connections ${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$ on a vector bundle ${\displaystyle E\to M}$, it is natural to ask when they might be considered equivalent. There is a well-defined notion of an automorphism of a vector bundle ${\displaystyle E\to M}$. A section ${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$ is an automorphism if ${\displaystyle u(x)\in \operatorname {End} (E_{x})}$ is invertible at every point ${\displaystyle x\in M}$. Such an automorphism is called a gauge transformation of ${\displaystyle E}$, and the group of all automorphisms is called the gauge group, often denoted ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ or ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$. The group of gauge transformations may be neatly characterised as the space of sections of the capital A adjoint bundle ${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$ of the frame bundle of the vector bundle ${\displaystyle E}$. This is not to be confused with the lowercase a adjoint bundle ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathcal {F}}(E))}$, which is naturally identified with ${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$ itself. The bundle ${\displaystyle \operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)}$ is the associated bundle to the principal frame bundle by the conjugation representation of ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r)}$ on itself, ${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$, and has fibre the same general linear group ${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$ where ${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$. Notice that despite having the same fibre as the frame bundle ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ and being associated to it, ${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$ is not equal to the frame bundle, nor even a principal bundle itself. The gauge group may be equivalently characterised as ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)).}$

A gauge transformation ${\displaystyle u}$ of ${\displaystyle E}$ acts on sections ${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$, and therefore acts on connections by conjugation. Explicitly, if ${\displaystyle \nabla }$ is a connection on ${\displaystyle E}$, then one defines ${\displaystyle u\cdot \nabla }$ by

${\displaystyle (u\cdot \nabla )_{X}(s)=u(\nabla _{X}(u^{-1}(s))}$

for ${\displaystyle s\in \Gamma (E),X\in \Gamma (TM)}$. To check that ${\displaystyle u\cdot \nabla }$ is a connection, one verifies the product rule

${\displaystyle {\begin{aligned}u\cdot \nabla (fs)&=u(\nabla (u^{-1}(fs)))\\&=u(\nabla (fu^{-1}(s)))\\&=u(df\otimes u^{-1}(s))+u(f\nabla (u^{-1}(s)))\\&=df\otimes s+fu\cdot \nabla (s).\end{aligned}}}$

It may be checked that this defines a left group action of ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ on the affine space of all connections ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Since ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is an affine space modelled on ${\displaystyle \Omega ^{1}(M,\operatorname {End} (E))}$, there should exist some endomorphism-valued one-form ${\displaystyle A_{u}\in \Omega ^{1}(M,\operatorname {End} (E))}$ such that ${\displaystyle u\cdot \nabla =\nabla +A_{u}}$. Using the definition of the endomorphism connection ${\displaystyle \nabla ^{\operatorname {End} (E)}}$ induced by ${\displaystyle \nabla }$, it can be seen that