Метрическое соединение

В математике , А метрика соединение является соединением в векторном расслоении Е , снабженное расслоение метрики ; то есть метрика, для которой внутреннее произведение любых двух векторов останется неизменным, когда эти векторы параллельно переносятся вдоль любой кривой. ^[1] Это эквивалентно:

• Связность, при которой ковариантные производные метрики на E равны нулю.
• Принципиальная схема соединений на расслоении ортонормреперов из Е .

Частным случаем метрической связности является риманова связность ; существует единственное соединение без кручения - соединение Леви-Чивита . В этом случае пучок Е является касательное расслоение ТМ многообразия и метрика на Е индуцируется риманова метрика на М .

Другой частный случай метрической связности - это связность Янга – Миллса , которая удовлетворяет уравнениям движения Янга – Миллса . Большая часть механизма определения соединения и его кривизны может выполняться без необходимости какой-либо совместимости с метрикой пакета. Однако, как только один действительно требует совместимости, эта метрика соединения определяет скалярное произведение, Ходжа звезды , Ходжа двойственного и лапласиан , которые необходимы , чтобы сформулировать уравнения Янга-Миллса.

Определение [ править ]

Пусть - любые локальные сечения векторного расслоения E , и пусть X - векторное поле на базовом пространстве M расслоения. Пусть определить расслоение метрики , то есть, метрика на векторных слоях E . Тогда связь D на E является метрической связью, если:${\ displaystyle \ sigma, \ tau}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\displaystyle d\langle \sigma ,\tau \rangle =\langle D\sigma ,\tau \rangle +\langle \sigma ,D\tau \rangle .}$

Здесь d - обыкновенный дифференциал скалярной функции. Ковариантную производную можно расширить так, чтобы она действовала как отображение на E -значных дифференциальных формах в базовом пространстве:

${\displaystyle D:\Gamma (E)\otimes \Omega ^{p}(M)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{p+1}(M).}$

Один определяет функцию , и${\displaystyle D_{X}f=d_{X}f\equiv Xf}$${\displaystyle f\in \Omega ^{0}(M)}$

${\displaystyle D(\sigma \otimes \omega )=D\sigma \wedge \omega +\sigma \otimes d\omega }$

где - локальное гладкое сечение векторного расслоения и - (скалярнозначная) p- форма. Приведенные выше определения также применимы к локальным гладким кадрам, а также к локальным участкам.${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

Сравнение показателей с двойным соединением [ править ]

Метрику расслоения, наложенную на E, не следует путать с естественным спариванием векторного пространства и его двойственного, которое присуще любому векторному расслоению. Последний является функцией на пучке эндоморфизмов, так что${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*},}$

${\displaystyle (\cdot ,\cdot ):E\otimes E^{*}\to M\times \mathbb {R} }$

пары векторов с двумя векторами (функционалов) над каждой точкой М . То есть, если есть какая-либо локальная система координат на E , то естественным образом получается двойная система координат на E *, удовлетворяющая .${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle \{e_{i}^{*}\}}$${\displaystyle (e_{i},e_{j}^{*})=\delta _{ij}}$

Напротив, метрика расслоения является функцией на${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle E\otimes E,}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E\otimes E\to M\times \mathbb {R} }$

давая скалярное произведение на каждом векторном пространстве волокна E . Метрика расслоения позволяет определить ортонормированную систему координат уравнением${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

Для данного векторного расслоения всегда можно определить на нем метрику расслоения.

Следуя стандартной практике ^[1], можно определить форму соединения , символы Кристоффеля и кривизну Римана без ссылки на метрику расслоения, используя только спаривание. Они будут подчиняться обычным свойствам симметрии; например, тензор кривизны будет антисимметричным по двум последним индексам и будет удовлетворять второму тождеству Бианки . Однако для определения звезды Ходжа , лапласиана , первого тождества Бианки и функционала Янга – Миллса нужна метрика расслоения.${\displaystyle (\cdot ,\cdot ).}$

Форма подключения [ править ]

Для локальной диаграммы расслоения ковариантную производную можно записать в виде

${\displaystyle D=d+A}$

где A - одноформная связь .

Немного о нотационном аппарате. Пусть обозначает пространство дифференцируемых сечений на Е , пусть обозначим пространство р -формы на М , и пусть эндоморфизмы на Е . Ковариантная производная, как здесь определено, является отображением${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$${\displaystyle {\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*}}$

${\displaystyle D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}(M)}$

Форму связи можно выразить через коэффициенты связи как

${\displaystyle A_{j}{}^{k}\ =\ \Gamma ^{k}{}_{ij}\,dx^{i}.}$

Смысл обозначений состоит в том, чтобы отличать индексы j , k , которые проходят по n измерениям слоя, от индекса i , который проходит по m -мерному базовому пространству. Для случая римановой связности ниже в качестве векторного пространства E берется касательное расслоение TM , а n = m .

Обозначение А для формы соединения происходит от физики , в исторической ссылкой на векторный потенциал поля в электромагнетизма и калибровочной теории . В математике вместо A часто используется обозначение , как в статье о форме соединения ; К сожалению, использование для формы соединения противоречит использованию для обозначения общей альтернативной формы на векторном расслоении.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

Косая симметрия [ править ]

Связность кососимметрична по индексам векторного пространства (слоя); то есть для данного векторного поля матрица кососимметрична; эквивалентно, это элемент алгебры Ли .${\displaystyle X\in TM}$${\displaystyle A(X)}$ o ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}

Это можно увидеть следующим образом. Пусть слой n -мерен, так что расслоению E можно задать ортонормированный локальный репер с i = 1, 2, ..., n . Таким образом, по определению , так что:${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle de_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle De_{i}=Ae_{i}=A_{i}{}^{j}e_{j}.}$

Кроме того, для каждой точки диаграммы связки локальный фрейм ортонормирован:${\displaystyle x\in U\subset M}$

${\displaystyle \langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle =\delta _{ij}.}$

Отсюда следует , что для любого вектора , что${\displaystyle X\in T_{x}M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=X\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle \\&=\langle A(X)e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle +\langle e_{i}(x),A(X)e_{j}(x)\rangle \\&=A_{i}{}^{j}(X)+A_{j}{}^{i}(X)\\\end{aligned}}}$

То есть кососимметрична. ${\displaystyle A=-A^{\text{T}}}$

Это достигается путем явного использования метрики пакета; не используя этого и используя только спаривание , можно связать форму связности A на E только с ее двойственной A ^∗ на E ^∗ , поскольку это следует из определения двойственной связности как${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle A^{*}=-A^{\text{T}}.}$${\displaystyle d(\sigma ,\tau ^{*})=(D\sigma ,\tau ^{*})+(\sigma ,D^{*}\tau ^{*}).}$

Кривизна [ править ]

Существует несколько обозначений кривизны соединения, в том числе современное, использующее F для обозначения тензора напряженности поля , классическое, использующее R в качестве тензора кривизны , и классическое обозначение для тензора кривизны Римана , большинство из которых может естественным образом распространяется на случай векторных расслоений. Ни одно из этих определений не требует ни метрического тензора, ни метрики расслоения, и может быть определено совершенно конкретно без ссылки на них. Однако определения требуют четкого представления об эндоморфизмах E , как описано выше.

Компактный стиль [ править ]

Наиболее компактное определение кривизны F состоит в том, чтобы определить ее как 2-форму, принимающую значения в , заданные величиной, на которую соединение не может быть точным; то есть как${\displaystyle {\mbox{End}}(E)}$

${\displaystyle F=D\circ D}$

который является элементом

${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(M)\otimes {\mbox{End}}(E),}$

или, что эквивалентно,

${\displaystyle F:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{2}(M)}$

Для того, чтобы связать это с другими определениями общих и обозначений, пусть будет раздел на E . Вставляя в вышеперечисленное и расширяя, можно найти${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle F\sigma =(D\circ D)\sigma =(d+A)\circ (d+A)\sigma =(dA+A\wedge A)\sigma }$

или, что то же самое, удаление раздела

${\displaystyle F=dA+A\wedge A}$

как краткое определение.

Стиль компонента [ править ]

С точки зрения компонентов, пусть , где стандартная одна форма координат базы на котангенс расслоения T ^* M . Вставляя в приведенное выше и расширяя, получаем (используя соглашение о суммировании ):${\displaystyle A=A_{i}dx^{i},}$${\displaystyle dx^{i}}$

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{j}}}+[A_{i},A_{j}]\right)dx^{i}\wedge dx^{j}.}$

Имейте в виду, что для n- мерного векторного пространства каждая является матрицей размера n × n , индексы которой были подавлены, тогда как индексы i и j пробегают 1, ..., m , где m - размерность лежащее в основе многообразие. Оба этих индекса могут проявляться одновременно, как показано в следующем разделе.${\displaystyle A_{i}}$

Представленные здесь обозначения обычно используются в физике; например, его можно сразу узнать как тензор напряженности глюонного поля . В абелевом случае n = 1 и векторное расслоение одномерно; коммутатор обращается в нуль, и указанное выше может быть распознано как электромагнитный тензор в более или менее стандартных физических обозначениях.

Стиль относительности [ править ]

Все индексы можно сделать явными, предоставив гладкий фрейм , i = 1, ..., n on . Тогда данный раздел можно записать как${\displaystyle \{e_{i}\}}$${\displaystyle \Gamma (E)}$${\displaystyle \sigma \in \Gamma (E)}$

${\displaystyle \sigma =\sigma ^{i}e_{i}}$

В этом локальном фрейме форма соединения становится

${\displaystyle (A_{i}dx^{i})_{j}{}^{k}=\Gamma ^{k}{}_{ij}dx^{i}}$

с является символом Кристоффеля ; опять же, индекс i пробегает 1, ..., m (размерность лежащего в основе многообразия M ), в то время как j и k пробегают 1, ..., n , размерность слоя. Вставляя и поворачивая кривошип, получаем${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F\sigma &={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{jr}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{ir}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{k}{}_{is}\Gamma ^{s}{}_{jr}-\Gamma ^{k}{}_{js}\Gamma ^{s}{}_{ir}\right)\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\&=R^{k}{}_{rij}\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\\end{aligned}}}$

где теперь идентифицируется как тензор кривизны Римана . Это написано в стиле, обычно используемом во многих учебниках по общей теории относительности середины 20-го века (за некоторыми заметными исключениями, такими как MTW , которые на раннем этапе настаивали на безиндексной нотации). И снова индексы i и j пробегают размеры многообразия M , а r и k пробегают размер волокон.${\displaystyle R^{k}{}_{rij}}$

Стиль касательной-связки [ править ]

Вышеупомянутое можно перенести обратно в стиль векторного поля, написав как стандартные базовые элементы для тангенциального пучка TM . Затем определяется тензор кривизны как${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$

${\displaystyle R\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\sigma =\sigma ^{r}R_{\;rij}^{k}e_{k}}$

так что пространственные направления повторно поглощаются, в результате чего обозначение

${\displaystyle F\sigma =R(\cdot ,\cdot )\sigma }$

В качестве альтернативы, пространственные направления можно сделать явными, скрывая индексы, записав выражения в терминах векторных полей X и Y на TM . В стандартном базисе X равно

${\displaystyle X=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

а также для Y . После небольшого количества подключений и пыхтения можно получить

${\displaystyle R(X,Y)\sigma =D_{X}D_{Y}\sigma -D_{Y}D_{X}\sigma -D_{[X,Y]}\sigma }$

где

${\displaystyle [X,Y]={\mathcal {L}}_{Y}X}$

это производная Ли векторного поля Y относительно X .

Напомним, тензор кривизны отображает волокна в волокна:

${\displaystyle R(X,Y):\Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

чтобы

${\displaystyle R(\cdot ,\cdot ):\Omega ^{2}(M)\otimes \Gamma (E)\to \Gamma (E)}$

Чтобы быть предельно ясным, это альтернативные обозначения для одного и того же. Обратите внимание, что ни одна из вышеперечисленных манипуляций на самом деле не требовала прохождения метрики пакета. Можно также продемонстрировать вторую идентичность Бьянки.${\displaystyle F=R(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle DF=0}$

без использования метрики пакета.

Связь Янга – Миллса [ править ]

Вышеупомянутое развитие тензора кривизны не имело никакого отношения к метрике расслоения. То есть им не нужно было предполагать, что D или A были метрическими связями: просто наличия связи в векторном расслоении достаточно для получения вышеуказанных форм. Все различные варианты обозначений непосредственно следуют только из рассмотрения эндоморфизмов слоев пучка.

Расслоение метрики требуется определить звезду Ходжи и Ходжа двойственный ; что, в свою очередь, необходимо для определения лапласиана и демонстрации того, что

${\displaystyle D{\star }F=0}$

Любая связь, удовлетворяющая этому тождеству, называется связностью Янга – Миллса . Можно показать , что это соединение является критической точкой из уравнений Эйлера-Лагранжа применительно к действию Янга-Миллса

${\displaystyle YM_{D}=\int _{M}(F,F){\star }(1)}$

где - элемент объема , двойственный по Ходжу константе 1. Обратите внимание, что для построения этого действия требуются три различных скалярных произведения: метрическая связность на E , скалярное произведение на End ( E ), эквивалентное квадратичному оператору Казимира ( след пары матриц) и двойственного по Ходжу.${\displaystyle {\star }(1)}$

Риманова связь [ править ]

Важным частным случаем метрической связности является риманова связность . Это соединение на касательном расслоении о наличии псевдориманова многообразия ( М , г ) такое , что для всех векторных полей X на M . Эквивалентно, является римановым, если определяемый им параллельный перенос сохраняет метрику g .${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla _{X}g=0}$${\displaystyle \nabla }$

Данная связь является римановой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \nabla }$

${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)}$

для всех векторных полей X , Y и Z на M , где обозначает производную функции вдоль этого векторного поля .${\displaystyle \partial _{X}(g(Y,Z))}$${\displaystyle g(Y,Z)}$${\displaystyle X}$

Связность Леви-Чивита является кручением риманова связности на многообразии. Он уникален по основной теореме римановой геометрии . Для каждой римановой связности можно написать (единственную) соответствующую связность Леви-Чивита. Разница между ними определяется тензором конторсии .

В компонентных обозначениях ковариантная производная совместима с метрическим тензором, если ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

${\displaystyle \nabla _{\!c}\,g_{ab}=0.}$

Хотя могут быть определены и другие ковариантные производные, обычно рассматривается только совместимая с метрикой. Это связано с тем, что для двух ковариантных производных и существует тензор для преобразования одной в другую:${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \nabla '}$

${\displaystyle \nabla _{a}x_{b}=\nabla _{a}'x_{b}-{C_{ab}}^{c}x_{c}.}$

Если пространство также не имеет кручения , то тензор симметричен по первым двум индексам.${\displaystyle {C_{ab}}^{c}}$

Несколько слов об обозначениях [ править ]

Принято менять обозначения и использовать символ набла ∇ вместо D в этой настройке; в остальном это одно и то же. То есть ∇ = D из предыдущих разделов выше.

Точно так же скалярное произведение на E заменяется метрическим тензором g на TM . Это согласуется с историческим использованием, но и позволяет избежать путаницы: в общем случае векторного расслоения Е , лежащий в основе многообразия M является не предполагается наделенный метрикой. Частный случай многообразий с метрикой g на TM в дополнение к метрике расслоения на E приводит к теории Калуцы – Клейна .${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

См. Также [ править ]

• Вертикальные и горизонтальные связки

Ссылки [ править ]

• Родригес, Вашингтон; Fernández, VV; Моя, AM (2005). «Метрические совместимые ковариантные производные». arXiv : математика / 0501561 .
• Вальд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2

• Шмидт, Б.Г. (1973). «Условия, при которых соединение является метрическим соединением» . Commun. Математика. Phys . 29 (1): 55–59. Bibcode : 1973CMaPh..29 ... 55S . DOI : 10.1007 / bf01661152 . hdl : 10338.dmlcz / 127117 .