Например, в ориентированном 3-мерном евклидовом пространстве ориентированная плоскость может быть представлена внешним произведением двух базисных векторов, а ее двойственный по Ходжу вектор является нормальным вектором, заданным их перекрестным произведением ; наоборот, любой вектор двойственен перпендикулярной ему ориентированной плоскости, наделенной подходящим бивектором. Обобщая это на n -мерное векторное пространство, звезда Ходжа является взаимно однозначным отображением k -векторов в ( n - k ) -векторы; размеры этих пространств - биномиальные коэффициенты.
Ходдж звезда оператор является линейным оператором на внешнюю алгебру из V , отображение K -векторы к ( п - К ), для -векторов. Он имеет следующее свойство, которое полностью определяет его: [1] : 15
для каждой пары k -векторов
Дважды в пространстве из п -форм (чередующиеся п -multilinear функции на), двойственный к это форма объема, функция, значение которой на является фактором , определяющим из матрица, собранная из векторов-столбцов в -координаты.
Применение к приведенному выше уравнению, мы получаем двойственное определение:
или, что то же самое, взяв , , а также :
Это означает, что, записывая ортонормированный базис k -векторов как по всем подмножествам из , двойственный по Ходжу - это ( n - k ) -вектор, соответствующий дополнительному множеству:
Поскольку звезда Ходжа переводит ортонормированный базис в ортонормированный базис, это изометрия на внешней алгебре.
Геометрическое объяснение
Звезда Ходжа мотивируется соответствием между подпространством W в V и его ортогональным подпространством (относительно внутреннего продукта), где каждое пространство наделено ориентацией и числовым масштабным коэффициентом. В частности, ненулевой разложимый k- векторсоответствует вложению Плюккера подпространству с ориентированной базой , наделенный масштабным коэффициентом, равным k -мерному объему параллелепипеда, натянутому на этот базис (равному грамиану , определителю матрицы скалярных произведений). Звезду Ходжа, действующую на разложимый вектор, можно записать в виде разложимого ( n - k ) -вектора:
где образуют ориентированный базис ортогонального пространства. Кроме того, ( n - k ) -объем-параллелепипед должен равняться k -объему-параллелепипед и должны сформировать ориентированную основу V .
Общий k- вектор - это линейная комбинация разложимых k -векторов, и определение звезды Ходжа распространяется на общие k -векторы, определяя ее как линейную.
Примеры
Два измерения
В двух измерениях с нормализованной евклидовой метрикой и ориентацией, заданной порядком ( x , y ) , звезда Ходжа на k -формах задается формулой
На комплексной плоскости, рассматриваемой как вещественное векторное пространство со стандартной полуторалинейной формой в качестве метрики, звезда Ходжа обладает замечательным свойством инвариантности относительно голоморфных замен координат. Если z = x + iy - голоморфная функция от w = u + iv , то по уравнениям Коши – Римана имеем∂ x/∂ u знак равно ∂ y/∂ v а также ∂ y/∂ u = - ∂ x/∂ v. В новых координатах
чтобы
доказательство заявленной инвариантности.
Три измерения
Типичным примером звездного оператора Ходжа является случай n = 3 , когда его можно рассматривать как соответствие между векторами и бивекторами. В частности, для евклидова R 3 с базисомиз одного-форм , часто используемых в векторном исчислении , можно обнаружить , что
Звезда Ходжа связывает внешний вид и кросс-произведение в трех измерениях: [2]
Применительно к трем измерениям звезда Ходжа обеспечивает изоморфизм между аксиальными векторами и бивекторами , поэтому каждый аксиальный вектор a связан с бивектором A и наоборот, то есть: [2]. Звезду Ходжа также можно интерпретировать как форму геометрического соответствия между осью и бесконечно малым вращением вокруг оси со скоростью, равной длине вектора оси. Внутренний продукт в векторном пространстведает изоморфизм идентификация с его сопряженным пространством , а пространство всех линейных операторовестественно изоморфно тензорному произведению . Таким образом, для, звездная карта берет каждый вектор к бивектору , что соответствует линейному оператору . Конкретно,является кососимметричным оператором, который соответствует бесконечно малому вращению : то есть макроскопическому вращению вокруг осизадаются матричной экспонентой . Что касается основы из , тензор соответствует координатной матрице с 1 в ряд и колонна и т. д., а клин кососимметричная матрица и т. д. То есть мы можем интерпретировать звездный оператор как:
При этом соответствии перекрестное произведение векторов соответствует коммутаторной скобке Ли линейных операторов:.
Четыре измерения
В случае n = 4 звезда Ходжа действует как эндоморфизм второй внешней степени (т. Е. Отображает 2-формы в 2-формы, поскольку 4 - 2 = 2 ). Если сигнатура метрического тензора положительна, т. Е. На римановом многообразии , то звезда Ходжа является инволюцией ; если подпись смешанная, то приложение дважды вернет аргумент до знака - см. § Двойственность ниже. Например, в пространстве-времени Минковского, где n = 4 с метрической сигнатурой (+ - - -) и координатами ( t , x , y , z ), где (используя):
для однократных форм, в то время как
для 2-х классов . Поскольку их детерминанты одинаковы в (+ - - -) и (- + + +) , знаки двойственных 2-форм пространства Минковского зависят только от выбранной ориентации. [ требуется проверка ]
Легкое правило, которое следует запомнить для описанных выше операций Ходжа, состоит в том, что при заданной форме , его двойственный ходжа можно получить, написав компоненты, не участвующие в в таком порядке, что . [ требуется проверка ] Дополнительный знак минус вводится только в том случае, если не содержит . (Последнее соглашение проистекает из выбора (+ - - -) для метрической сигнатуры. Для (- + + +) знак минус ставится только в том случае, если вовлекает .)
Конформная инвариантность
Звезда Ходжа конформно инвариантна на n формах в 2n-мерном векторном пространстве V, т. Е. Если это метрика на а также , то индуцированные звезды Ходжа
одинаковы.
Пример: производные в трех измерениях
Сочетание оператор и внешняя производная d порождают классические операторы grad , curl и div в векторных полях в трехмерном евклидовом пространстве. Это работает следующим образом: d преобразует 0-форму (функцию) в 1-форму, 1-форму в 2-форму и 2-форму в 3-форму (и принимает 3-форму для нуль). Для 0-формы, первый случай, выписанный в компонентах, дает:
Внутренний продукт идентифицирует 1-формы с векторными полями каки т. д., так что становится .
Во втором случае векторное поле соответствует 1-форме , имеющий внешнюю производную:
Применение звезды Ходжа дает 1-форму:
которое становится векторным полем .
В третьем случае снова соответствует . Применение звезды Ходжа, внешней производной и звезды Ходжа снова:
Одним из преимуществ этого выражения является то, что тождество d 2 = 0 , которое верно во всех случаях, суммирует два других, а именно, что curl grad f = 0 и div curl F = 0 . В частности, уравнения Максвелла принимают особенно простой и элегантный вид, когда они выражаются через внешнюю производную и звезду Ходжа. Выражениеназывается кодифференциальным ; он определяется в общих чертах для любого измерения далее в статье ниже.
Можно также получить лапласиан Δ f = div grad f в терминах вышеуказанных операций:
Лапласиан также можно рассматривать как частный случай более общего оператора Лапласа – де Рама где кодифференциал для -форм. Любая функция является 0-формой, и и это сводится к обычному лапласиану. Для 1-формы выше кодифференциал и после некоторой вставки и пыхтения можно получить лапласиан, действующий на.
Двойственность
Применение звезды Ходжа дважды оставляет неизменным k -вектор, за исключением его знака: дляв n -мерном пространстве V имеем
где s - четность сигнатуры скалярного произведения на V , то есть знак определителя матрицы скалярного произведения относительно любого базиса. Например, если n = 4 и подпись внутреннего продукта либо (+ - - -), или (- + + +), то s = −1 . Для римановых многообразий (включая евклидовы пространства) всегда s = 1 .
Приведенное выше тождество означает, что обратное к можно представить как
Если n нечетно, то k ( n - k ) четно для любого k , тогда как если n четно, то k ( n - k ) имеет четность k . Следовательно:
где k - степень воздействия на элемент.
На многообразиях
Для n -мерного ориентированного псевдориманова многообразия M применим приведенную выше конструкцию к каждому кокасательному пространству и его внешние силы , а значит, и к дифференциальным k -формам , Что глобальные сечения этого расслоения . Риманова метрика индуцирует скалярное произведение на в каждой точке . Определим двойственную по Ходжу k -форму , определяя как единственная ( n - k ) -форма, удовлетворяющая
для каждой k -формы, где является действительной функцией на , а объемная форма индуцирована римановой метрикой. Интегрируя это уравнение по, правая сторона становится ( квадратично интегрируемое ) скалярное произведение на k -формах , и мы получаем:
В более общем смысле, если неориентирована, звезду Ходжа k -формы можно определить как ( n - k ) - псевдодифференциальную форму ; то есть дифференциальная форма со значениями в каноническом линейном расслоении .
Вычисление в индексной нотации
Мы вычисляем в терминах обозначений тензорного индекса относительно базиса (не обязательно ортонормированного) в касательном пространстве и его двойственная основа в , имеющий метрическую матрицу и его обратная матрица . Двойственной по Ходжу разложимой k -формы является:
Здесь это символ Леви-Чивита с, и мы неявно берем сумму по всем значениям повторяющихся индексов. Факториал учитывает двойной счет и отсутствует, если индексы суммирования ограничены так, что . Абсолютное значение определителя необходимо, поскольку оно может быть отрицательным, как для касательных пространств к лоренцевым многообразиям .
Произвольную дифференциальную форму можно записать:
Факториал снова включается для учета двойного счета, когда мы разрешаем нерастущие индексы. Мы хотели бы определить двойственность компонента так что двойственная по Ходжу форма дается формулой
Используя приведенное выше выражение для двойственного по Ходжу , находим: [3]
Хотя можно применить это выражение к любому тензору , результат является антисимметричным, поскольку сокращение с полностью антисимметричным символом Леви-Чивиты отменяет все, кроме полностью антисимметричной части тензора. Таким образом, это эквивалентно антисимметризации с последующим применением звезды Ходжа.
Форма единицы объема дан кем-то:
Кодифференциальный
Наиболее важным применением звезды Ходжа на многообразиях является определение кодифференциальногона k -формах. Позволять
где - внешняя производная или дифференциал, идля римановых многообразий. потом
пока
Кодифференциал не является antiderivation на внешней алгебре, в отличие от внешней производной.
Кодифференциал является сопряженным к внешней производной относительно интегрируемого с квадратом внутреннего произведения:
где является ( k + 1) -формой ик -форма. Это тождество следует из теоремы Стокса для гладких форм:
при условии, что M имеет пустую границу, или или же имеет нулевые граничные значения. (Правильное определение вышеизложенного требует указания топологического векторного пространства, которое является замкнутым и полным на пространстве гладких форм. Обычно используется пространство Соболева ; оно допускает сходящуюся последовательность форм (в виде ) заменить на комбинированные дифференциальные и интегральные операции, так что и аналогично для последовательностей, сходящихся к .)
Поскольку дифференциал удовлетворяет кодифференциал обладает соответствующим свойством
Оператор Лапласа – де Рама задается формулой
и лежит в основе теории Ходжа . Он симметричен:
и неотрицательный:
Звезда Ходжа передает гармонические формы гармоническим формам. Как следствие теории Ходжа , то когомологий де Рама естественно изоморфно пространству гармонических К -формы, и поэтому звезда индуцирует Ходжа изоморфизм групп когомологий
что в свою очередь дает канонические отождествления через двойственности Пуанкаре из H к ( М ) с его двойственным пространством .
Цитаты
^ a b Харли Фландерс (1963) Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам , Academic Press
^ а б Пертти Лаунесто (2001). «§3.6 Двойственный по Ходжу» . Алгебры и спиноры Клиффорда, том 286 из серии лекций Лондонского математического общества(2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 39. ISBN 0-521-00551-5.
^Франкель, Т. (2012). Геометрия физики (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-60260-1.
Рекомендации
Дэвид Бликер (1981) Теория калибровки и вариационные принципы . Эддисон-Уэсли Паблишинг. ISBN 0-201-10096-7 . Гл. 0 содержит сжатый обзор неримановой дифференциальной геометрии.
Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ . Springer-Verlag . ISBN 3-540-42627-2.
Чарльз В. Миснер , Кип С. Торн , Джон Арчибальд Уиллер (1970) Гравитация . WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 . Базовый обзор дифференциальной геометрии в частном случае четырехмерного пространства - времени .
Стивен Розенберг (1997) Лапласиан на римановом многообразии . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46831-0 . Введение в уравнение теплопроводности и теорему Атьи – Зингера .
Тевиан Дрей (1999) Двойственный оператор Ходжа . Подробный обзор определения и свойств звездного оператора Ходжа.