В математике , то карта Плюккеровой встраивает грассманиан , Элементами которой являются к - мерные подпространства из в п - мерном векторном пространстве V , в проективное пространство , тем самым реализуя ее как алгебраического многообразия . Точнее, карта Плюккера включает в проективизацию принадлежащий -я внешняя сила из. Образ является алгебраическим, состоящим из пересечения ряда квадрик, определенных соотношениями Плюккера (см. Ниже).
Вложение Плюккера впервые было определено Юлиусом Плюккером в случаекак способ описания линий в трехмерном пространстве (которые, как проективные линии в реальном проективном пространстве, соответствуют двумерным подпространствам четырехмерного векторного пространства). Образ этого вложения - квадрика Клейна в RP 5 .
Герман Грассман обобщил вложение Плюккера на произвольные k и n . Однородные координаты образа грассманиана при вложении Плюккера относительно базиса во внешнем пространстве соответствующий естественной основе в (где - базовое поле ) называются координатами Плюккера .
Определение
Обозначая в -мерное векторное пространство над полем , и по грассманиан -мерные подпространства , вложение Плюккера - это отображение ι, определенное формулой
где является основой элемента а также - класс проективной эквивалентности элемента принадлежащий th внешняя сила .
Это вложение грассманиана в проективизацию . Изображение можно полностью охарактеризовать как пересечение ряда квадрик, квадрик Плюккера (см. Ниже), которые выражаются однородными квадратичными соотношениями на координатах Плюккера (см. Ниже), вытекающими из линейной алгебры .
Скобка кольцо появляется как кольцо полиномиальных функций на внешнюю силу. [1]
Плюккеровские отношения
Вложение грассманиана удовлетворяет некоторым очень простым квадратичным соотношениям, обычно называемым соотношениями Плюккера или соотношениями Грассмана – Плюккера . Они показывают, что грассманиан вкладывается как алгебраическое подмногообразие ви дадим другой способ построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Грассмана – Плюккера, пусть W будет k -мерным подпространством, натянутым на базис векторов-столбцов. Позволять быть матрица однородных координат, столбцы которой . Для любой упорядоченной последовательности из целые числа, пусть быть определяющим фактором матрица, строки которой являются ряды . Затем, вплоть до проективизации,- координаты Плюккера элемента грассманиана однородные координаты которого равны . Это линейные координаты изображения. из под картой Плюккера относительно стандартного базиса во внешнем пространстве .
Для любых двух упорядоченных последовательностей:
положительных целых чисел , справедливы следующие однородные уравнения, которые определяют образ W при отображении Плюккера:
( 1 )
где обозначает последовательность со сроком опущено.
Когда dim ( V ) = 4 и k = 2 , простейший грассманиан, который не является проективным пространством, вышесказанное сводится к одному уравнению. Обозначая координаты от
образ при отображении Плюккера определяется одним уравнением
В общем, для определения образа вложения Плюккера [2] необходимо гораздо больше уравнений, как в ( 1 ), хотя они, в общем, не являются алгебраически независимыми .
Рекомендации
- ^ Бьёрнер, Андерс; Лас Вергнас, Мишель ; Штурмфельс, Бернд ; Белый, Нил; Циглер, Гюнтер (1999), Ориентированные матроиды , Энциклопедия математики и ее приложений, 46 (2-е изд.), Cambridge University Press , стр. 79, ISBN 0-521-77750-X, Zbl 0944,52006
- ^ Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Classics Library (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. 211, ISBN 0-471-05059-8, Руководство по ремонту 1288523 , Zbl 0836.14001,
дальнейшее чтение
- Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра . Тексты для выпускников по математике. 227 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-23707-0. Zbl 1090.13001 .