В математике , линии 3-мерного проективного пространства , S , можно рассматривать в качестве точек 5-мерного проективного пространства, Т . В этом 5-пространстве, точки , которые представляют собой каждую строку в S лежит на квадрике , Q известные как квадрика Клейна .
Если лежащий в основе векторного пространства из S представляет собой 4-мерное векторное пространство V , то Т имеет в качестве основного векторного пространства 6-мерный внешний квадрат Л 2 V из V . В координаты линии , полученные таким образом, известны как координаты плюккеровых .
Эти координаты Плюккера удовлетворяют квадратичному соотношению
определяющий Q , где
- координаты прямой, натянутой на два вектора u и v .
Трехмерное пространство S можно снова реконструировать из квадрики Q : плоскости, содержащиеся в Q, попадают в два класса эквивалентности , где плоскости одного класса встречаются в точке, а плоскости разных классов встречаются на одной линии или в одной точке. пустой набор. Пусть это классы и . Геометрии из S извлекается следующим образом :
- Точки S являются плоскостями в C .
- Линии S являются точками Q .
- Плоскости S - это плоскости в C '.
Тот факт , что геометрия S и Q изоморфны можно объяснить изоморфизм из Дынкиным диаграмм 3 и D 3 .
Ссылки [ править ]
- Альбрехт Бойтельшпахер и Уте Розенбаум (1998) Проективная геометрия: от основ до приложений , стр. 169, Cambridge University Press ISBN 978-0521482776
- Артур Кэли (1873 г.) «О надстрочных линиях квадратичной поверхности в пятимерном пространстве», Сборник математических статей 9: 79–83.
- Феликс Кляйн (1870) "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen 2: 198
- Освальд Веблен и Джон Уэсли Янг (1910) Проективная геометрия , том 1, Интерпретация линейных координат как точек в S 5 , стр. 331, Ginn and Company .
- Уорд, Ричард Сэмюэл; Уэллс, Раймонд О'Нил-младший (1991), Твисторная геометрия и теория поля , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-42268-0.
