Кляйн квартика

Квартика Клейна представляет собой частное от треугольной мозаики порядка 7 .

Двойственно квартика Клейна является частным двойственного замощения, семиугольного замощения порядка 3 .

В гиперболической геометрии , то квартик Клейна , названный в честь Феликса Клейна , является компактной римановой поверхностью из рода $3$ с максимально возможной порядок группой автоморфизмов для этого рода, а именно заказать $168$ сохраняющей ориентацию автоморфизмов и $336$ автоморфизмов , если ориентация может быть обратными. Таким образом, квартика Клейна является поверхностью Гурвица самого низкого возможного рода; см . теорему Гурвица об автоморфизмах . Его группа автоморфизмов (сохраняющих ориентацию) изоморфна $PSL (2, 7)$ , второй по величине неабелевой простой группе. Впервые квартика была описана в ( Klein 1878b ).

Квартик Клейн происходит во многих областях математики, в контекстах , в том числе теории представлений , теория гомологии , октонионы умножения ^{[ править ]} , последнюю теоремой Фермы , и теорема Старк-Хегнер на мнимых квадратичных числовых полей от числа классов один; см. ( Levy 1999 ) обзор свойств.

Первоначально «квартика Клейна» относилась конкретно к подмножеству комплексной проективной плоскости $P 2 (C),$ определяемой алгебраическим уравнением . У этого есть специфическая риманова метрика (что делает его минимальной поверхностью в $P 2 (C)$ ), при которой его гауссова кривизна не постоянна. Но чаще (как в этой статье) теперь под ней понимается любая риманова поверхность, конформно эквивалентная этой алгебраической кривой, и особенно та, которая является фактором гиперболической плоскости $H 2$ по некоторой кокомпактной группе. $G,$ который свободно действует на $H 2$ изометриями. Это дает квартике Клейна риманову метрику постоянной кривизны $-1,$ которую она наследует от $H 2$ . Этот набор конформно эквивалентных римановых поверхностей в точности совпадает со всеми компактными римановыми поверхностями рода 3, группа конформных автоморфизмов которых изоморфна единственной простой группе порядка 168. Эта группа также известна как $PSL (2, 7)$ , а также как изоморфная группа $PSL (3, 2)$ . По теории накрывающих пространств упомянутая выше группа $G$ изоморфна фундаментальной группе компактной поверхности рода $3$ .

Закрытые и открытые формы [ править ]

Важно различать две разные формы квартики. Закрытое квартика является то , что , как правило , означает , по своей геометрии; топологически оно имеет род 3 и является компактным пространством . Открытый или «прокалывается» квартик представляет интерес в теории чисел; топологически это поверхность рода 3 с 24 точками , а геометрически эти точки являются каспами . Открытая квартика может быть получена (топологически) из закрытой квартики путем прокалывания в 24 центрах мозаики правильными семиугольниками, как обсуждается ниже. Открытая и закрытая квартика имеют разные метрики, хотя они и гиперболические, и полные ^[1] - геометрически куспиды являются «бесконечно удаленными точками», а не дырами, поэтому открытая квартика по-прежнему является полной.

Как алгебраическая кривая [ править ]

Квартику Клейна можно рассматривать как проективную алгебраическую кривую над комплексными числами $C$ , определяемую следующим уравнением квартики в однородных координатах $[x : y : z]$ на $P 2 (C)$ :

{\ displaystyle x ^ {3} y + y ^ {3} z + z ^ {3} x = 0.}

Геометрическим местом этого уравнения в $P 2 (C)$ является исходная риманова поверхность, которую описал Клейн.

Построение кватернионной алгебры [ править ]

Компактная квартика Клейна может быть построена как фактор гиперболической плоскости по действию подходящей фуксовой группы $Γ (I),$ которая является главной конгруэнтной подгруппой, ассоциированной с идеалом в кольце целых алгебраических чисел $Z$ $($ $η$ $)$ поля $Q$ $($ $η$ $)$ где $η$ $= 2 cos (2$ $π$ $/ 7)$ . Обратите внимание на личность ${\ Displaystyle I = \ langle \ eta -2 \ rangle}$

{\ displaystyle (2- \ eta) ^ {3} = 7 (\ eta -1) ^ {2},}

показывающий $2 - η$ как простой делитель 7 в кольце целых алгебраических чисел.

Группа $Γ (I)$ является подгруппой гиперболической треугольной группы (2,3,7) . А именно, $Γ ($ $I$ $)$ - подгруппа группы элементов единичной нормы в алгебре кватернионов, порожденная как ассоциативная алгебра генераторами $i, j$ и соотношениями

{\ displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = \ eta, \ qquad ij = -ji.}

Выбирается подходящий порядок кватернионов Гурвица в алгебре кватернионов, тогда $Γ ($ $I$ $)$ - это группа элементов с нормой 1 в . Мере абсолютное значение следа гиперболического элемента в $Г ($ $I$ $)$ является , соответствующее значение 3.936 для систолы квартики Клейна, одной из самых высоких в этом роде. ${\ displaystyle {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}}}$ ${\ displaystyle 1 + I {\ mathcal {Q}} _ {\ mathrm {Hur}}}$ ${\ displaystyle \ eta ^ {2} +3 \ eta +2}$

Плитка [ править ]

Замощение квартики областями отражения является частным от 3-7 кисромбиллей .

Квартика Клейна допускает мозаики, связанные с группой симметрии (« регулярное отображение » ^[2] ), и они используются для понимания группы симметрии, начиная с оригинальной статьи Клейна. Учитывая фундаментальную область действия группы (для полной группы симметрии с изменением ориентации, треугольник (2, 3, 7)), области отражения (образы этой области под группой) дают замощение квартики такое, что группа автоморфизмов мозаики равна группе автоморфизмов поверхности - отражения в линиях мозаики соответствуют отражениям в группе (отражения в линиях данного фундаментального треугольника дают набор из трех порождающих отражений). Этот тайлинг представляет собой частное семиугольного разбиения пополам порядка 3.в гиперболической плоскости ( универсальной накрывающей квартики), и все поверхности Гурвица облицованы таким же образом, как и дробей.

Эта мозаика является однородной, но не правильной (это равносторонние треугольники ), и вместо нее часто используются регулярные мозаики. Можно использовать фактор любого тайлинга из семейства (2,3,7) (и он будет иметь ту же группу автоморфизмов); из них две правильные мозаики - это мозаика из 24 правильных гиперболических семиугольников , каждый из степени 3 (пересекающиеся в 56 вершинах), и двойная мозаика из 56 равносторонних треугольников , каждый из степени 7 (пересекающихся в 24 вершинах). Порядок группы автоморфизмов связан, это количество полигонов, умноженное на количество ребер в многоугольнике в обоих случаях.

24 × 7 = 168

56 × 3 = 168

Накрывающие мозаики на гиперболической плоскости - это семиугольные мозаики порядка 3 и треугольные мозаики порядка 7 .

Группа автоморфизмов может быть дополнена (симметрией, которая не реализуется симметрией мозаики), чтобы получить группу Матье M ₂₄ . ^[3]

Каждому замощению квартики (разбиению многообразия квартики на подмножества) соответствует абстрактный многогранник , который абстрагируется от геометрии и только отражает комбинаторику мозаики (это общий способ получения абстрактного многогранника из мозаики): вершины, ребра и грани многогранника равны как множества вершинам, ребрам и граням мозаики с одинаковыми отношениями инцидентности, а группа (комбинаторных) автоморфизмов абстрактного многогранника равна группе (геометрических) автоморфизмов квартик. Таким образом, геометрия сводится к комбинаторике.

Аффинная квартика [ править ]

Вышеупомянутое является замощением проективной квартики (замкнутого многообразия); аффинная квартика имеет 24 точки возврата (топологически точки), которые соответствуют 24 вершинам правильного треугольного разбиения или, что эквивалентно, центрам 24 семиугольников в семиугольном мозаике, и может быть реализована следующим образом.

Рассматривая действие $SL (2, R)$ на верхней полуплоскости модели $H 2$ из гиперболической плоскости с помощью преобразований Мёбиуса , аффинная Клейн квартика может быть реализована как фактор $Γ (7) \ Н 2$ . (Здесь $Γ (7)$ является конгруэнцподгруппой из $SL (2, Z)$ , состоящий из матриц, сравнимые с единичной матрицей , когда все элементы берутся по модулю 7.)

Фундаментальная область и разложение штанов [ править ]

Квартику Клейна можно получить как фактор гиперболической плоскости по действию фуксовой группы. Фундаментальная область является регулярным 14-угольник, который имеет площадь по Гаусс-Bonnet теорема . Это можно увидеть на следующем рисунке, который также включает 336 (2, 3, 7) треугольников, которые образуют мозаику поверхности и образуют ее группу симметрий. ${\ displaystyle 8 \ pi}$

Фундаментальная область квартики Клейна. Поверхность получается путем присвоения сторонам одинаковых номеров.

Внутри мозаики (2,3,7) треугольников есть мозаика 24 правильными семиугольниками. Систола поверхности проходит через середины 8 сторон семиугольника; по этой причине в литературе она упоминается как «восьмиступенчатая геодезическая» и является причиной названия книги в нижеследующем разделе. Все цветные кривые на рисунке, показывающие декомпозицию штанов, являются систолами, однако это лишь подмножество; всего их 21. Длина систолы составляет

16\sinh ^{-1}\left(\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\csc ^{2}\left({\tfrac {\pi }{7}}\right)-4}}\right)\sin \left({\tfrac {\pi }{7}}\right)\right)\approx 3.93594624883.

Эквивалентная замкнутая формула:

8\cosh ^{-1}\left({\tfrac {3}{2}}-2\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi }{7}}\right)\right).

В то время как квартика Клейна максимизирует группу симметрии для поверхностей рода 3, она не максимизирует длину систолы. Предполагаемый максимизатор - это поверхность, называемая «M3» ( Schmutz 1993 ). M3 происходит от мозаики (2, 3, 12) треугольников, а его систола имеет кратность 24 и длину.

2\cosh ^{-1}\left(2+{\sqrt {3}}\right)\approx 3.9833047820988736.

Разложение штанов квартикой Клейна. На рисунке слева показаны граничные геодезические в мозаике (2,3,7) фундаментальной области. На рисунке справа штаны были окрашены по-разному, чтобы было понятно, какая часть основной области принадлежит какой паре штанов.

Четверть Кляйна можно разложить на четыре пары брюк , разрезав ее по шести систолам. Это разложение дает симметричный набор координат Фенхеля-Нильсена , где все параметры длины равны длине систолы, а параметры скручивания все равны длине систолы. В частности, принимая за длину систолы, координаты равны ${\tfrac {1}{8}}$ $l(S)$

\left\{l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}};l(S),{\tfrac {l(S)}{8}}\right\}.

Кубический граф , соответствующий это разложение штаны является тетраэдрическим графом, то есть, график 4 узлов, каждый из которых подключен к другому 3. тетраэдрической график аналогичен графике для проективной плоскости Фанны ; действительно, группа автоморфизмов квартики Клейна изоморфна группе автоморфизмов плоскости Фано.

Спектральная теория [ править ]

Восемь функций, соответствующих первому положительному собственному значению квартики Клейна. Функции равны нулю вдоль голубых линий. Эти графики были созданы в FreeFEM ++ .

О спектральной теории квартики Клейна доказано мало , однако было высказано предположение, что она максимизирует первое положительное собственное значение оператора Лапласа среди всех компактных римановых поверхностей рода 3 с постоянной отрицательной кривизной. Эта гипотеза исходит из того факта, что квартика Клейна имеет самую большую группу симметрии поверхностей в своем топологическом классе, как и поверхность Больца в роде 2. Собственные значения квартики Клейна вычислены с различной степенью точности. Первые 15 различных положительных собственных значений показаны в следующей таблице вместе с их кратностями.

Численные вычисления первых 15 положительных собственных значений квартики Клейна
Собственное значение	Численная величина	Множественность
$\lambda _{0}$	0	1
$\lambda _{1}$	2,67793	8
$\lambda _{2}$	6,62251	7
$\lambda _{3}$	10,8691	6
$\lambda _{4}$	12,1844	8
$\lambda _{5}$	17,2486	7
$\lambda _{6}$	21,9705	7
$\lambda _{7}$	24.0811	8
$\lambda _{8}$	25,9276	6
$\lambda _{9}$	30,8039	6
$\lambda _{10}$	36,4555	8
$\lambda _{11}$	37,4246	8
$\lambda _{12}$	41,5131	6
$\lambda _{13}$	44,8884	8
$\lambda _{14}$	49,0429	6
$\lambda _{15}$	50,6283	6

3-х мерные модели [ править ]

Анимация Грега Игана, показывающая вложение кривой четвертой степени Клейна в трех измерениях, начиная с формы, имеющей симметрию тетраэдра, и вывернув наизнанку, чтобы продемонстрировать дополнительную симметрию.

Квартика Клейна не может быть реализована как 3-мерная фигура в том смысле, что никакая 3-мерная фигура не имеет (вращательной) симметрии, равной $PSL (2,7)$ , поскольку $PSL (2,7)$ не встраивается как подгруппа $SO (3)$ (или $O (3)$ ) - он не имеет (нетривиального) 3-мерного линейного представления над действительными числами.

Тем не менее, многие трехмерные модели квартики Клейна были даны, начиная с оригинальной статьи Клейна, ^[2]^[4]^[5]^[6]^[7], которые стремятся продемонстрировать свойства квартики и сохранить симметрии топологически, правда не все геометрически. Полученные модели чаще всего имеют тетраэдрическую (порядок 12) или октаэдрическую (порядок 24) симметрию; оставшуюся симметрию 7-го порядка не так просто визуализировать, и это, по сути, название статьи Клейна.

Восьмеричный путь - скульптура Геламана Фергюсона и сопроводительная книга.

Чаще всего квартика моделируется либо гладкой поверхностью рода 3 с тетраэдрической симметрией (замена ребер правильного тетраэдра трубками / ручками дает такую форму), которые были названы «тетрузами» ^[7], либо полиэдральными приближениями. , которых окрестили «тетроидами»; ^[7] в обоих случаях это вложение формы в 3-х измерениях. Самая известная гладкая модель (тетрус) - скульптура Геламана Фергюсона «Восьмеричный путь » из Исследовательского института математических наук в Беркли, Калифорния., сделанный из мрамора и змеевика и представленный 14 ноября 1993 года. Название относится к тому факту, что, начиная с любой вершины триангулированной поверхности и двигаясь вдоль любого края, если вы попеременно поворачиваете налево и направо при достижении вершины, вы всегда вернуться в исходную точку после восьми ребер. Приобретение скульптуры со временем привело к публикации сборника статей ( Levy, 1999 ) , в котором подробно описаны свойства квартики и содержится первый перевод статьи Кляйна на английский язык. Многогранные модели с тетраэдрической симметрии наиболее часто имеют выпуклую оболочку усеченный тетраэдр - см ( Schulte & Wills 1985 ) и ( Scholl, Schürmann & Wills 2002) для примеров и иллюстраций. Некоторые из этих моделей состоят из 20 или 56 треугольников (абстрактно, правильный косой многогранник {3,7 |, 4}, с 56 гранями, 84 ребрами и 24 вершинами), которые не могут быть реализованы как равносторонние, с изгибами в плечи тетраэдра; в то время как другие имеют 24 семиугольника - эти семиугольники можно считать плоскими, хотя и невыпуклыми, ^[8] и модели более сложные, чем треугольные, потому что сложность отражается в формах (негибких) семиугольных граней. , а не в (гибких) вершинах. ^[2]

Небольшой cubicuboctahedron является многогранным погружением разбиения квартика Klein с октаэдрической симметрией.

В качестве альтернативы, квартика может быть смоделирована многогранником с октаэдрической симметрией: Клейн смоделировал квартику формой с октаэдрической симметрией и бесконечно удаленными точками («открытый многогранник») ^[5], а именно тремя гиперболоидами, встречающимися на ортогональных осях ^{[2]. ],} хотя его также можно смоделировать как замкнутый многогранник, который должен быть погруженным (иметь самопересечения), а не вложенным. ^[2] Такие многогранники могут иметь различные выпуклые оболочки, включая усеченный куб , ^[9] курносый куб , ^[8] или ромбокубооктаэдр , как в маленьком cubicuboctahedron справа.^[3] Погружение в малый кубокубооктаэдр получается путем соединения некоторых треугольников (2 треугольника образуют квадрат, 6 образуют восьмиугольник), что можно визуализировать, раскрашивая треугольники (соответствующая мозаика является топологически, но не геометрически 3 4 | 4 черепица ). Это погружение можно также использовать для геометрического построения группы Матье M₂₄ путем добавления к PSL (2,7) перестановки, которая меняет местами противоположные точки биссектрисы квадратов и восьмиугольников. ^[3]

Детское украшение [ править ]

Детский рисунок d'Enfant на квартике Klein , связанный с картой фактора по его группе автоморфизмов (с фактор - сфера Римана) именно 1-скелет семиугольной черепицы порядка 3. ^[10] То есть фактор-отображение разветвлено по точкам $0, 1728$ и $\infty$ ; деление на 1728 дает функцию Белого (разветвленную в точках $0, 1$ и $\infty$ ), где 56 вершин (черные точки рисунка) лежат над 0, середины 84 ребер (белые точки рисунка) лежат больше 1, а центры 24 семиугольников лежат над бесконечностью. Полученный рисунок является «платоническим» рисунком, что означает переход по краям и «чистый» (каждая белая точка имеет валентность 2).

Связанные поверхности [ править ]

Квартика Клейна связана с различными другими поверхностями.

Геометрически это наименьшая поверхность Гурвица (низший род); следующая - поверхность Макбита (род 7), а следующая - Первая тройка Гурвица (3 поверхности рода 14). В более общем смысле, это самая симметричная поверхность данного рода (являющаяся поверхностью Гурвица); в этом классе поверхность Больца является наиболее симметричной поверхностью рода 2, а поверхность Бринга - высокосимметричной поверхностью рода 4 - см. изометрии римановых поверхностей для дальнейшего обсуждения.

С алгебраической точки зрения (аффинная) квартика Клейна - это модулярная кривая X (7), а проективная квартика Клейна - ее компактификация, точно так же, как додекаэдр (с острием в центре каждой грани) является модулярной кривой X (5); это объясняет важность теории чисел.

Более тонко, (проективная) квартика Клейна является кривой Шимуры (как и поверхности Гурвица родов 7 и 14) и, как таковая, параметризует принципиально поляризованные абелевы многообразия размерности 6. ^[11]

Есть также другие представляющие интерес поверхности четвертой степени - см. Специальные поверхности четвертой степени .

В более исключительных случаях квартика Клейна является частью « троицы » в смысле Владимира Арнольда , которую также можно описать как соответствие Маккея . В этом наборе проективные специальные линейные группы PSL (2,5), PSL (2,7) и PSL (2,11) (порядки 60, 168, 660) аналогичны, что соответствует симметрии икосаэдра (род 0), симметрии квартики Клейна (род 3) и поверхности бакибола (род 70). ^[12] Они также связаны со многими другими исключительными явлениями, которые подробно рассматриваются в « троицах ».

См. Также [ править ]

Конфигурация Грюнбаума – Ригби
Кривая Шимуры
Поверхность Гурвица
Поверхность Больца
Кривая Принесения
Поверхность Macbeath
Первая тройка Гурвица

Ссылки [ править ]

^ ( Леви 1999 , стр.24)
^ a b c d e ( Scholl, Schürmann & Wills, 2002 )
^ a b c ( Рихтер )
^ Клейна Quartic Curve , Джон Баэз, 28 июля 2006
^ a b Платоновы мозаики римановых поверхностей , Жерар Вестендорп
↑ Бумажные модели четверки Кляйна. Архивировано 7 июня 2011 г. в Wayback Machine , Майк Стэй - Архивировано 7 сентября2010 г. в Wayback Machine.
^ a b c Узоры на Klein Quartic рода 3 , Карло Х. Секен, сопровождающие произведения на выставке Bridges Art-Exhibit, Лондон, 4–8 августа 2006 г. , с «Klein Quartic Quilt» Эвелин Секен по мотивам узор Билла Терстона
^ a b ( Шульте и Уиллс, 1985 )
^ Клейна Quartic Curve , Грег Иган
^ le Bruyn, Ливен (7 марта 2007 г.), Лучшее отклоненное предложение, когда-либо существовавшее , заархивировано из оригинала 27 февраля 2014 г..
^ Elkies, раздел 4.4 (стр. 94-97) в ( Леви тысяча девятьсот девяносто девять ).
^ Мартин, Дэвид; Зингерман, Пабло (17 апреля 2008 г.), От бипланов к квартике Клейна и Buckyball (PDF)

Литература [ править ]

Кляйн, Ф. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" [О преобразовании седьмого порядка эллиптических функций]. Mathematische Annalen . 14 (3): 428–471. DOI : 10.1007 / BF01677143 .В переводе Леви, Сильвио, изд. (1999). Восьмеричный путь . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66066-2. Руководство по ремонту 1722410 .
Элкис, Н. (1998), "Вычисления кривой Шимуры", Алгоритмическая теория чисел (Портленд, Орегон, 1998) , Лекционные заметки по информатике, 1423 , Берлин: Springer, стр. 1–47, arXiv : math.NT / 0005160 , DOI : 10.1007 / BFb0054850 , ISBN 978-3-540-64657-0, MR 1726059
Леви, Сильвио, изд. (1999), Восьмеричный путь , публикации Института исследований математических наук, 35 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-66066-2, MR 1722410. Издание в мягкой обложке , Cambridge University Press , 2001, ISBN 978-0-521-00419-0 . Прочтите это: Восьмеричный путь , обзор Рут И. Михлер .
Шульте, Эгон ; Wills, JM (1985-12-01), "Полиэдральная реализация карты {3, 7} 8 Феликса Клейна на римановой поверхности рода 3" , J. London Math. Soc. , S2-32 (3): 539-547, DOI : 10,1112 / jlms / s2-32.3.539 , извлекаются 2010-04-17
Karcher, H .; Вебер, М. (1996), риманова поверхность на Клейна , CiteSeerX 10.1.1.47.1879 , извлекаться 2010-04-17^{[ мертвая ссылка ]}
Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M 24 , извлечено 15 апреля 2010 г.
Шмутц, П. (1993). «Римановы поверхности с кратчайшей геодезической максимальной длины». GAFA . 3 (6): 564–631. DOI : 10.1007 / BF01896258 .
Scholl, P .; Schürmann, A .; Wills, JM (сентябрь 2002), "Многогранные Модели группы Феликса Клейна" , Математическая Интеллидженсер , 24 (3): 37-42, DOI : 10.1007 / BF03024730 , архивируются с оригинала на 2007-06-11CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
Зингерман, Дэвид; Сиддалл, Роберт И. (2003), "Риманова поверхность однородного рисунка" , Beiträge zur Algebra und Geometrie , 44 (2): 413–430

Внешние ссылки [ править ]

Кривая четвертой степени Кляйна , Джон Баэз, 28 июля 2006 г.
Кривая четвертой степени Кляйна , Грег Иган - иллюстрации
Уравнения четвертой степени Кляйна , Грег Иган - иллюстрации

[1] ( Леви 1999 , стр.24)

[scholl-2] ( Scholl, Schürmann & Wills, 2002 )

[richter-3] ( Рихтер )

[baez-4] Клейна Quartic Curve , Джон Баэз, 28 июля 2006

[westendorp-5] Платоновы мозаики римановых поверхностей , Жерар Вестендорп

[6] Бумажные модели четверки Кляйна. Архивировано 7 июня 2011 г. в Wayback Machine , Майк Стэй - Архивировано 7 сентября2010 г. в Wayback Machine.

[sequin-7] Узоры на Klein Quartic рода 3 , Карло Х. Секен, сопровождающие произведения на выставке Bridges Art-Exhibit, Лондон, 4–8 августа 2006 г. , с «Klein Quartic Quilt» Эвелин Секен по мотивам узор Билла Терстона

[schulte-8] ( Шульте и Уиллс, 1985 )

[egan-9] Клейна Quartic Curve , Грег Иган

[10] Bruyn, Ливен (7 марта 2007 г.), Лучшее отклоненное предложение, когда-либо существовавшее , заархивировано из оригинала 27 февраля 2014 г..

[11] Elkies, раздел 4.4 (стр. 94-97) в ( Леви тысяча девятьсот девяносто девять ).

[martin-12] Мартин, Дэвид; Зингерман, Пабло (17 апреля 2008 г.), От бипланов к квартике Клейна и Buckyball (PDF)