В математике , автоморфизмы Гурвицы теорема ограничивает порядок группы автоморфизмов , с помощью сохраняющей ориентации конформных отображений , компактной римановой поверхности из рода г > 1, о том , что число таких автоморфизмов не может превышать 84 ( г - 1). Группа, для которой достигается максимум, называется группой Гурвица , а соответствующая риманова поверхность - поверхностью Гурвица . Поскольку компактные римановы поверхности являются синонимами неособых комплексных проективных алгебраических кривых , поверхность Гурвица также можно назвать кривой Гурвица.. [1] Теорема названа в честь Адольфа Гурвица , который доказал ее в ( Hurwitz 1893 ).
Оценка Гурвица также верна для алгебраических кривых над полем характеристики 0 и над полями положительной характеристики p > 0 для групп, порядок которых взаимно прост с p , но может не справиться с полями положительной характеристики p > 0, когда p делит порядок группы. Например, двойное покрытие проективной прямой y 2 = x p - x, разветвленное во всех точках, определенных над простым полем, имеет род g = ( p −1) / 2, но на него действует группа SL 2 ( p ) поля порядок п 3 - п .
Интерпретация с точки зрения гиперболичности
Одной из основных тем в дифференциальной геометрии является трихотомия между риманова многообразия положительной, нулевой и отрицательной кривизны K . Он проявляется во многих разнообразных ситуациях и на нескольких уровнях. В контексте компактных римановых поверхностей X с помощью теоремы об униформизации Римана это можно рассматривать как различие между поверхностями разных топологий:
- X - сфера , компактная риманова поверхность нулевого рода с K > 0;
- X - плоский тор или эллиптическая кривая , риманова поверхность рода один с K = 0;
- а X - гиперболическая поверхность , род больше единицы и K <0.
В то время как в первых двух случаях поверхность X допускает бесконечно много конформных автоморфизмов (на самом деле группа конформных автоморфизмов является комплексной группой Ли размерности три для сферы и размерности один для тора), гиперболическая риманова поверхность допускает только дискретную множество автоморфизмов. Теорема Гурвица утверждает, что на самом деле верно больше: она обеспечивает равномерную оценку порядка группы автоморфизмов как функции рода и характеризует те римановы поверхности, для которых оценка точна .
Заявление и доказательство
Теорема . Пусть - гладкая связная риманова поверхность рода . Тогда его группа автоморфизмов имеет размер не больше
Доказательство: пока предположим, что конечно (мы докажем это в конце).
- Рассмотрим фактор-карту . С действует голоморфными функциями, фактор локально имеет вид и частное является гладкой римановой поверхностью. Факторная картаявляется разветвленным покрытием, и ниже мы увидим, что точки ветвления соответствуют орбитам, имеющим нетривиальный стабилизатор. Позволять быть родом .
- По формуле Римана-Гурвица ,
- где сумма превышает точки разветвления для факторной карты . Индекс ветвления в это просто порядок группы стабилизаторов, так как где количество предварительных изображений (количество точек на орбите), и . По определению точек разветвления для всех индексы ветвления.
Теперь вызовите правую сторону и с тех пор мы должны иметь . Преобразуя уравнение, находим:
- Если тогда , а также
- Если , тогда а также чтобы ,
- Если , тогда а также
- если тогда , чтобы
- если тогда , чтобы ,
- если затем написать . Мы можем предположить.
- если тогда чтобы ,
- если тогда
- если тогда чтобы ,
- если тогда чтобы .
В заключении, .
Чтобы показать это конечно, обратите внимание, что действует на когомологии сохраняющие разложение Ходжа и решетку .
- В частности, его действие на дает гомоморфизм с дискретным изображением.
- Кроме того, изображение сохраняет естественный невырожденный эрмитов скалярный продукт на . В частности изображениесодержится в унитарной группе который компактен . Таким образом, изображение не просто дискретный, а конечный.
- Осталось доказать, что имеет конечное ядро. Фактически, мы докажеминъективно. Предполагать действует как личность на . Есликонечно, то по теореме Лефшца о неподвижной точке ,
- .
Это противоречие, поэтому бесконечно. С замкнутое комплексное подмногообразие положительной размерности и является гладкой связной кривой (т. е. ), мы должны иметь . Таким образом является тождеством, и мы заключаем, что инъективен и конечно. QED
Следствие доказательства : риманова поверхность. рода имеет автоморфизмы тогда и только тогда, когда это разветвленная крышка с тремя точками разветвления индексов 2 , 3 и 7 .
Идея другого доказательства и построения поверхностей Гурвица
По теореме униформизации любого гиперболической поверхности X - то есть гауссова кривизна X равна отрицательный в каждой точке - это покрывается на гиперболической плоскости . Конформные отображения поверхности соответствуют сохраняющим ориентацию автоморфизмам гиперболической плоскости. По теореме Гаусса – Бонне площадь поверхности равна
- A ( X ) = - 2π χ ( X ) = 4π ( g - 1).
Чтобы сделать группу автоморфизмов G группы X как можно большей, мы хотим, чтобы площадь ее фундаментальной области D для этого действия была как можно меньше. Если фундаментальная область представляет собой треугольник с углами при вершинах π / p, π / q и π / r, определяющими мозаику гиперболической плоскости, тогда p , q и r являются целыми числами больше единицы, а площадь равна
- A ( D ) = π (1 - 1 / p - 1 / q - 1 / r ).
Таким образом, мы запрашиваем целые числа, из которых получается выражение
- 1 - 1 / п - 1 / кв - 1 / г
строго положительный и как можно меньший. Это минимальное значение составляет 1/42, а
- 1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42
дает единственную (с точностью до перестановки) тройку таких целых чисел. Это указывало бы на то, что порядок | G | группы автоморфизмов ограничена
- A ( X ) / A ( D ) ≤ 168 ( г - 1).
Однако более тонкое рассуждение показывает, что это завышение в два раза, потому что группа G может содержать преобразования, меняющие ориентацию. Для конформных автоморфизмов, сохраняющих ориентацию, оценка равна 84 ( g - 1).
Строительство
Чтобы получить пример группы Гурвица, начнем с (2, 3, 7) -стиллирования гиперболической плоскости. Его полная группа симметрии - это группа полного (2,3,7) треугольника, порожденная отражениями через стороны одного фундаментального треугольника с углами π / 2, π / 3 и π / 7. Поскольку отражение переворачивает треугольник и меняет ориентацию, мы можем соединить треугольники попарно и получить многоугольник с сохранением ориентации. Поверхность Гурвица получается «замыканием» части этого бесконечного замощения гиперболической плоскости до компактной римановой поверхности рода g . Это обязательно будет включать в себя ровно 84 ( g - 1) двойных треугольных плитки.
Следующие два регулярных разбиения имеют желаемую группу симметрии; группа вращения соответствует вращению вокруг ребра, вершины и грани, в то время как полная группа симметрии также будет включать отражение. Многоугольники в замощении не являются фундаментальными областями - замощение треугольниками (2, 3, 7) уточняет оба из них и не является правильным.
семиугольная черепица порядка 3 | Треугольная мозаика порядка 7 |
Конструкции Wythoff дают дополнительные равномерные мозаики , в результате чего получается восемь равномерных мозаик , включая два регулярных, приведенных здесь. Все они спускаются до поверхностей Гурвица, давая мозаики поверхностей (триангуляция, мозаика семиугольниками и т. Д.).
Из приведенных выше рассуждений можно заключить, что группа Гурвица G характеризуется тем свойством, что она является конечным фактором группы с двумя образующими a и b и тремя соотношениями
таким образом, G - конечная группа, порожденная двумя элементами второго и третьего порядков, произведение которых имеет порядок седьмой. Более точно, любая поверхность Гурвица, то есть гиперболическая поверхность, которая реализует максимальный порядок группы автоморфизмов для поверхностей данного рода, может быть получена с помощью данной конструкции. Это последняя часть теоремы Гурвица.
Примеры групп и поверхностей Гурвица
Наименьшая группа Гурвица - это проективная специальная линейная группа PSL (2,7) порядка 168, а соответствующая кривая - это кривая квартики Клейна . Эта группа также изоморфна PSL (3,2) .
Далее идет кривая Макбита с группой автоморфизмов PSL (2,8) порядка 504. Еще много конечных простых групп являются группами Гурвица; например, все альтернирующие группы, кроме 64, являются группами Гурвица, причем самый крупный пример, не являющийся гурвицевым, имеет степень 167. Наименьшей альтернированной группой, которая является группой Гурвица, является A 15 .
Большинство проективных специальных линейных групп большого ранга являются группами Гурвица ( Lucchini, Tamburini & Wilson 2000 ). Для нижних чинов меньше таких групп Гурвица. Для n p порядок p по модулю 7 означает, что PSL (2, q ) гурвицево тогда и только тогда, когда либо q = 7, либо q = p n p . В самом деле, PSL (3, q ) гурвицево тогда и только тогда, когда q = 2, PSL (4, q ) никогда не гурвицево, а PSL (5, q ) гурвицево тогда и только тогда, когда q = 7 4 или q = p n p , ( Тамбурини и Всемирнов, 2006 ).
Точно так же многие группы лиева типа гурвицевы. Конечными классическими группами большого ранга являются группы Гурвица ( Lucchini & Tamburini, 1999 ). В исключительных групп Ли типа G2 и группы Ree типа 2G2 почти всегда Гурвица ( Malle 1990 ). Другие семейства исключительных и скрученных групп Ли низкого ранга являются гурвицевыми в ( Malle, 1995 ).
Есть 12 спорадических группы , которые могут быть получены , как Гурвица группа: группы Янко J 1 , J 2 и J 4 , то группа Fischer Fi 22 и Fi» 24 , то группа Rudvalis , то Held группы , то группа Томпсон , то Harada- Группа Нортона , третья группа Конвея, Со- 3 , группа Лайонса и Монстр ( Wilson 2001 ).
Группы автоморфизмов в младшем роде
Наибольшее значение | Aut (X) | можно получить для римановой поверхности X рода g, как показано ниже, для 2≤g≤10 вместе с поверхностью X 0 с | Aut (X 0 ) | максимальный.
род g | Максимально возможный Aut (X) | Х 0 | Авто (X 0 ) |
---|---|---|---|
2 | 48 | Кривая Больца | GL 2 (3) |
3 | 168 (граница Гурвица) | Кляйн квартика | PSL 2 (7) |
4 | 120 | Привести кривую | S 5 |
5 | 192 | ||
6 | 150 | ||
7 | 504 (граница Гурвица) | Кривая Макбита | PSL 2 (8) |
8 | 336 | ||
9 | 320 | ||
10 | 432 | ||
11 | 240 |
В этой области существует только кривая Гурвица рода g = 3 и g = 7 .
Смотрите также
- (2,3,7) треугольная группа
Заметки
- ^ Технически говоря, существует эквивалентность категорий между категорией компактных римановых поверхностей с сохраняющими ориентацию конформными отображениями и категорией неособых комплексных проективных алгебраических кривых с алгебраическими морфизмами.
- ^ ( Рихтер ) Обратите внимание, что каждая грань многогранника состоит из нескольких граней в мозаике - две треугольные грани составляют квадратную грань и так далее, как показано на этом пояснительном изображении .
Рекомендации
- Гурвица, А. (1893), "Убер algebraische Gebilde мит Eindeutigen Transformationen в Сечи", Mathematische Annalen , 41 (3): 403-442, DOI : 10.1007 / BF01443420 , СУЛ 24.0380.02 .
- Lucchini, A .; Tamburini, MC (1999), "Классические группы большого ранга как гурвицевые группы", журнал алгебра , 219 (2): 531-546, DOI : 10,1006 / jabr.1999.7911 , ISSN 0021-8693 , МР 1706821
- Lucchini, A .; Тамбурини, MC; Wilson, JS (2000), "Гурвица групп большого ранга", журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 61 (1): 81-92, DOI : 10,1112 / S0024610799008467 , ISSN 0024-6107 , MR 1745399
- Малле, Гюнтер (1990), "гурвицевы группы и G2 (Q)", Канадский Математический Bulletin , 33 (3): 349-357, DOI : 10,4153 / КМФ-1990-059-8 , ISSN 0008-4395 , МР 1077110
- Малле, Гюнтер (1995), "Исключительные группы Гурвица малого ранга", Группы лиева типа и их геометрии (Комо, 1993) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 207 , Cambridge University Press , стр. 173–183, MR 1320522
- Тамбурини, MC; Всемирны, М. (2006), "Неразложимые (2,3,7) -подгруппы PGL (п, F) при п ≤ 7", Journal алгебры , 300 (1): 339-362, DOI : 10.1016 / J .jalgebra.2006.02.030 , ISSN 0021-8693 , MR 2228652
- Уилсон, Р. (2001), "The Monster является Гурвица группа" , Журнал теории групп , 4 (4): 367-374, DOI : 10,1515 / jgth.2001.027 , MR 1859175 , архивируются с оригинала на 2012-03- 05 , дата обращения 04.09.2015
- Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M 24 , извлечено 15 апреля 2010 г.CS1 maint: ref дублирует значение по умолчанию ( ссылка )