Скалярная кривизна

В римановой геометрии , то скалярная кривизна (или Риччи скалярный ) является самой простой кривизной инвариантна из риманова многообразия . Каждой точке на римановом многообразии он присваивает единственное действительное число, определяемое внутренней геометрией многообразия вблизи этой точки. В частности, скалярная кривизна представляет собой величину, на которую объем небольшого геодезического шара в римановом многообразии отклоняется от объема стандартного шара в евклидовом пространстве . В двух измерениях скалярная кривизна в два раза больше гауссовой кривизны., и полностью характеризует кривизну поверхности. Однако в более чем двух измерениях кривизна римановых многообразий включает более одной функционально независимой величины.

В общей теории относительности скалярная кривизна - это плотность лагранжиана для действия Эйнштейна – Гильберта . Уравнения Эйлера – Лагранжа для этого лагранжиана при изменении метрики составляют вакуумные уравнения поля Эйнштейна , а стационарные метрики известны как метрики Эйнштейна . Скалярная кривизна n -многообразия определяется как след тензора Риччи , и ее можно определить как n ( n - 1) умноженное на среднее значение секционной кривизны в точке.

На первый взгляд, скалярная кривизна в размерности не менее 3 кажется слабым инвариантом, мало влияющим на глобальную геометрию многообразия, но на самом деле некоторые глубокие теоремы показывают силу скалярной кривизны. Одним из таких результатов является теорема о положительной массе Шона , Яу и Виттена . Связанные результаты дают почти полное представление о том, какие многообразия имеют риманову метрику с положительной скалярной кривизной.

Определение [ править ]

Скалярная кривизна S (обычно также R , или Sc ) определяется как след от Риччи кривизны тензора по отношению к метрике :

{\ displaystyle S = \ operatorname {tr} _ {g} \ operatorname {Ric}.}

След зависит от метрики, поскольку тензор Риччи является (0,2) -валентным тензором; сначала нужно поднять индекс, чтобы получить (1,1) -валентный тензор, чтобы взять след. В терминах локальных координат можно написать

{\ Displaystyle S = г ^ {ij} R_ {ij} = R_ {j} ^ {j}}

где R _ij - компоненты тензора Риччи в координатном базисе:

{\ displaystyle \ operatorname {Ric} = R_ {ij} \, dx ^ {i} \ otimes dx ^ {j}.}

Учитывая систему координат и метрический тензор, скалярная кривизна может быть выражена следующим образом:

S=g^{ab}\left({\Gamma ^{c}}_{ab,c}-{\Gamma ^{c}}_{ac,b}+{\Gamma ^{d}}_{ab}{\Gamma ^{c}}_{cd}-{\Gamma ^{d}}_{ac}{\Gamma ^{c}}_{bd}\right)=2g^{ab}\left({\Gamma ^{c}}_{a[b,c]}+{\Gamma ^{d}}_{a[b}{\Gamma ^{c}}_{c]d}\right)

где - символы Кристоффеля метрики, а - частная производная от в i- м координатном направлении. ${\Gamma ^{a}}_{bc}$ ${\Gamma ^{l}}_{jk,i}$ ${\Gamma ^{l}}_{jk}$

В отличие от тензора кривизны Римана или тензора Риччи, оба из которых могут быть определены для любой аффинной связности , скалярная кривизна требует какой-либо метрики. Метрика может быть псевдоримановой вместо римановой. Действительно, такое обобщение жизненно важно для теории относительности. В более общем смысле тензор Риччи может быть определен в более широком классе метрических геометрий (посредством прямой геометрической интерпретации ниже), который включает финслерову геометрию .

Прямая геометрическая интерпретация [ править ]

Когда скалярная кривизна в точке положительна, объем маленького шара вокруг точки имеет меньший объем, чем шар того же радиуса в евклидовом пространстве. С другой стороны, когда скалярная кривизна отрицательна в точке, объем маленького шара больше, чем он был бы в евклидовом пространстве.

Это можно сделать более количественным, чтобы охарактеризовать точное значение скалярной кривизны S в точке p риманова n -многообразия . А именно, отношение n- мерного объема шара радиуса ε в многообразии к объему соответствующего шара в евклидовом пространстве при малых ε определяется выражением $(M,g)$

{\frac {\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Vol} \left(B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n}\right)}}=1-{\frac {S}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{4}\right).

Таким образом, вторая производная этого отношения, вычисленная на радиусе ε = 0, равна в точности минус скалярная кривизна, деленная на 3 ( n + 2).

Границами этих шаров являются ( n - 1) -мерные сферы радиуса ; их гиперповерхностные меры ("площади") удовлетворяют следующему уравнению: $\varepsilon$

{\frac {\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {S}{6n}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{4}\right).

Особые случаи [ править ]

Поверхности [ править ]

В двух измерениях скалярная кривизна ровно в два раза превышает гауссову кривизну. Для вложенной поверхности в евклидово пространство R ³ это означает, что

S={\frac {2}{\rho _{1}\rho _{2}}}\,

где - главные радиусы поверхности. Например, скалярная кривизна 2-сферы радиуса r равна 2 / r ² . $\rho _{1},\,\rho _{2}$

У двумерного тензора кривизны Римана есть только одна независимая компонента, и он может быть выражен через скалярную кривизну и форму метрической площади. А именно, в любой системе координат

2R_{1212}\,=S\det(g_{ij})=S\left[g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}\right].

Космические формы [ править ]

Пространственная форма является по определению многообразия с постоянной секционной кривизной. Космические формы локально изометричны одному из следующих типов:

Евклидово пространство

Тензор Римана n- мерного евклидова пространства тождественно равен нулю, поэтому скалярная кривизна тоже.

n -сферы

Поперечная кривизна n -сферы радиуса r равна K = 1 / r ² . Следовательно, скалярная кривизна S = n ( n - 1) / r ² .

Гиперболическое пространство

К гиперболоида модели , п - мерное гиперболическое пространство может быть идентифицирован с подмножеством ( п + 1) n - мерном пространстве Минковского

x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=r^{2},\quad x_{0}>0.

Параметр r является геометрическим инвариантом гиперболического пространства, а секционная кривизна K = −1 / r ² . Таким образом, скалярная кривизна S = - n ( n - 1) / r ² .

Продукты [ править ]

Скалярная кривизна в продукте М × N римановых многообразий является суммой скалярных кривизн М и N . Например, для любого гладкого замкнутого многообразия M , M × S ² имеет метрику положительной скалярной кривизны, просто принимая 2-сферу малой по сравнению с M (так, чтобы ее кривизна была большой). Этот пример может предполагать, что скалярная кривизна имеет мало отношения к глобальной геометрии многообразия. Фактически, это имеет некоторое глобальное значение, как обсуждается ниже .

Традиционная нотация [ править ]

Среди тех, кто использует индексную нотацию для тензоров, обычно буква R используется для обозначения трех разных вещей:

тензор кривизны Римана: или $R_{ijk}^{l}$ $R_{abcd}$
тензор Риччи: $R_{ij}$
скалярная кривизна: $R$

Эти три затем отличаются друг от друга числом индексов: тензор Римана имеет четыре индекса, тензор Риччи имеет два индекса, а скаляр Риччи имеет нулевые индексы. Те, кто не использует индексное обозначение, обычно резервируют R для полного тензора кривизны Римана. В качестве альтернативы, в безкоординатной записи можно использовать Рима для тензора Римана, Ric для тензора Риччи и R для скаляра кривизны.

Проблема Ямабе [ править ]

Проблема Ямабе была решена Трудингером , Обеном и Шоном. А именно, любую риманову метрику на замкнутом многообразии можно умножить на некоторую гладкую положительную функцию, чтобы получить метрику с постоянной скалярной кривизной. Другими словами, каждая метрика на замкнутом многообразии конформна метрике постоянной скалярной кривизны.

Положительная скалярная кривизна [ править ]

Для замкнутого риманового 2-многообразия М , скалярная кривизна имеет четкое отношение к топологии из М , выражаемый Гаусс-Бонн теорема : полная кривизна скаляра М равна 4 $л$ раз Эйлера характеристических из М . Так , например, только замкнутые поверхности с метриками положительной скалярной кривизны являются те , с положительной характеристикой Эйлера: сфера S ² и RP 2 . Кроме того, эти две поверхности не имеют метрик со скалярной кривизной ≤ 0.

Знак скалярной кривизны имеет более слабое отношение к топологии в более высоких измерениях. Учитывая , гладкий замкнутое многообразие М размерности по крайней мере , 3, Каздано и Уорнер решена предписанной скалярной задачи кривизны , описывающий которого гладкие функции на М возникают как скалярная кривизну некоторых римановых метрик на М . А именно, M должен принадлежать ровно к одному из следующих трех типов: ^[1]

Каждая функция на M скалярная кривизна некоторой метрики на М .
Функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда она либо тождественно равна нулю, либо где-то отрицательна.
Функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда она где-то отрицательна.

Таким образом, каждое многообразие размерности не менее 3 имеет метрику с отрицательной скалярной кривизной, на самом деле постоянной отрицательной скалярной кривизной. Результат Каздана – Уорнера фокусирует внимание на вопросе о том, какие многообразия имеют метрику с положительной скалярной кривизной, что эквивалентно свойству (1). Пограничный случай (2) может быть описан как класс многообразий с сильно скалярно-плоской метрикой , означающей метрику с нулевой скалярной кривизной, такой, что M не имеет метрики с положительной скалярной кривизной.

Много известно о том, какие гладкие замкнутые многообразия имеют метрики положительной скалярной кривизны. В частности, по Громову и Лоусону , каждое односвязное многообразие размерности не менее 5, которое не является спином, имеет метрику с положительной скалярной кривизной. ^[2] Напротив, Лихнерович показал, что спиновое многообразие с положительной скалярной кривизной должно иметь род, равный нулю. Хитчин показал, что более утонченная версия рода Â, α-инвариант , также исчезает для спиновых многообразий с положительной скалярной кривизной. ^[3]Это нетривиально только в некоторых измерениях, потому что α-инвариант n -многообразия принимает значения в группе KO n , перечисленной здесь:

п (мод 8)	0	1	2	3	4	5	6	7
КО _н	Z	Z / 2	Z / 2	0	Z	0	0	0

Наоборот, Штольц показал, что каждое односвязное спиновое многообразие размерности не менее 5 с α-инвариантным нулем имеет метрику с положительной скалярной кривизной. ^[4]

Аргумент Лихнеровича с использованием оператора Дирака был расширен, чтобы дать множество ограничений на неодносвязные многообразия с положительной скалярной кривизной с помощью K-теории C * -алгебр . Например, Громов и Лоусон показали, что замкнутое многообразие, допускающее метрику с секционной кривизной ≤ 0, например тор , не имеет метрики с положительной скалярной кривизной. ^{[5] В} более общем смысле, инъективная часть гипотезы Баума – Конна для группы G , которая известна во многих случаях, означает, что замкнутое асферическое многообразие с фундаментальной группой G не имеет метрики с положительной скалярной кривизной. ^[6]

Существуют специальные результаты в размерностях 3 и 4. После работ Шена, Яу, Громова и Лоусона доказательство Перельманом теоремы о геометризации привело к полному ответу в размерности 3: замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие имеет метрику с положительным скалярная кривизна , если и только если она является связной суммой из сферических 3-многообразий и копия S ² × S ¹ . ^[7] В размерности 4 положительная скалярная кривизна имеет более сильные последствия, чем в более высоких измерениях (даже для односвязных многообразий), с использованием инвариантов Зайберга – Виттена . Например, если X - компактныйКэлерово многообразие комплексной размерности 2, которое не является рациональным или линейчатым , то X (как гладкое 4-многообразие) не имеет римановой метрики с положительной скалярной кривизной. ^[8]

Наконец, Акито Футаки показал, что строго скалярно-плоские метрики (как определено выше) чрезвычайно особенные. Для односвязного риманова многообразия M размерности не менее 5, которое является сильно скалярно-плоским, M должно быть произведением римановых многообразий с группой голономии SU ( n ) ( многообразия Калаби – Яу ), Sp ( n ) ( гиперкэлеровы многообразия ), или Spin (7). ^[9] В частности, эти метрики являются плоскими по Риччи, а не только скалярно. Наоборот, есть примеры многообразий с этими группами голономии, такие как поверхность K3 , которые являются спиновыми и имеют ненулевой α-инвариант, следовательно, являются сильно скалярно-плоскими.

См. Также [ править ]

Основное введение в математику искривленного пространства-времени
Инвариант Ямабе
Скаляр Кречмана
Теорема Вермейля

Заметки [ править ]

^ Besse (1987), теорема 4.35.
^ Lawson & Michelsohn (1989), теорема IV.4.4.
^ Lawson & Michelsohn (1989), теорема II.8.12.
^ Штольц (2002), теорема 2.4.
^ Lawson & Michelsohn (1989), следствие IV.5.6.
^ Штольц (2002), теорема 3.10.
^ Marques (2012), введение.
^ ЛеБрун (1999), теорема 1.
^ Петерсен (2016), следствие C.4.4.

Ссылки [ править ]

Бессе, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Springer , ISBN 3-540-15279-2, Руководство по ремонту 0867684
Йост, Юрген (2011) [1995], Риманова геометрия и геометрический анализ , Springer , ISBN 978-3-642-21297-0, Руководство по ремонту 2829653
Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989), геометрия вращения , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08542-5, MR 1031992
ЛеБрун, Клод (1999), «Измерение Кодаира и проблема Ямабе», Коммуникации в области анализа и геометрии , 7 : 133–156, arXiv : dg-ga / 9702012 , doi : 10.4310 / CAG.1999.v7.n1.a5 , Руководство по ремонту 1674105 , S2CID 7223836
Marques, Фернандо Coda (2012), "деформирующего три многообразия с положительной скалярной кривизны", Анналы математики , 176 (2): 815-863, Arxiv : 0907.2444 , DOI : 10,4007 / annals.2012.176.2.3 , MR 2950765 , S2CID 16528231
Петерсен, Питер (2016) [1998], Риманова геометрия , Springer , ISBN 978-3-319-26652-7, Руководство по ремонту 3469435
Риччи, Г. (1903–1904), «Принципиальное направление и инвариантность в качественном разнообразии» , Atti R. Inst. Венето , 63 (2): 1233-1239, СУЛ 35.0145.01
Штольц, Стивен (2002), "Многообразия положительной скалярной кривизны" (PDF) , Топология многомерных многообразий , Триест: ICTP , стр. 661–709, MR 1937026

[1] Besse (1987), теорема 4.35.

[2] Lawson & Michelsohn (1989), теорема IV.4.4.

[3] Lawson & Michelsohn (1989), теорема II.8.12.

[4] Штольц (2002), теорема 2.4.

[5] Lawson & Michelsohn (1989), следствие IV.5.6.

[6] Штольц (2002), теорема 3.10.

[7] Marques (2012), введение.

[8] ЛеБрун (1999), теорема 1.

[9] Петерсен (2016), следствие C.4.4.

vтеРазличные понятия кривизны, определенные в дифференциальной геометрии
Дифференциальная геометрия кривых	Кривизна Кручение кривой Формулы Френе – Серре Радиус кривизны (приложения) Аффинная кривизна Полная кривизна Полная абсолютная кривизна
Дифференциальная геометрия поверхностей	Основные искривления Гауссова кривизна Средняя кривизна Рамка Дарбу Уравнения Гаусса – Кодацци Первая фундаментальная форма Вторая фундаментальная форма Третья основная форма
Риманова геометрия	Кривизна римановых многообразий. Тензор кривизны Римана Кривизна Риччи Скалярная кривизна Кривизна в разрезе
Кривизна соединений	Форма кривизны Тензор кручения Искривление Голономия