Действие Эйнштейна – Гильберта (также называемое действием Гильберта [1] ) в общей теории относительности - это действие, которое приводит к уравнениям поля Эйнштейна через принцип наименьшего действия . С метрической сигнатурой (- + + +) гравитационная часть действия задается как [2]
где - определитель матрицы метрического тензора ,- скаляр Риччи , а- гравитационная постоянная Эйнштейна (- гравитационная постоянная иэто скорость света в вакууме). Если он сходится, интеграл берется по всему пространству-времени . Если не сходится,больше не является четко определенным, но модифицированное определение, при котором интегрирование по произвольно большим, относительно компактным областям, по-прежнему дает уравнение Эйнштейна как уравнение Эйлера – Лагранжа для действия Эйнштейна – Гильберта.
Впервые действие было предложено Дэвидом Гильбертом в 1915 году.
Вывод уравнений движения из действия имеет несколько преимуществ. Во-первых, это позволяет легко объединить общую теорию относительности с другими классическими теориями поля (такими как теория Максвелла ), которые также сформулированы в терминах действия. При этом вывод определяет естественного кандидата на роль источника, связывающего метрику с полями материи. Более того, симметрии действия позволяют легко идентифицировать сохраняющиеся величины с помощью теоремы Нётер .
В общей теории относительности действие обычно считается функционалом метрики (и полей материи), а связь задается связью Леви-Чивиты . Формулировка Палатини ОТО предполагает метрику и подключение быть независимыми, и изменяется по отношению к обоим независимо друг от друга, что делает возможным включить фермионные поля материи с нецелым спином.
Уравнения Эйнштейна в присутствии материи задаются добавлением действия материи к действию Эйнштейна – Гильберта.
Предположим, что полное действие теории дается членом Эйнштейна – Гильберта плюс член описывающих любые поля материи, встречающиеся в теории.
. | | ( 1 ) |
Затем принцип действия говорит нам, что для восстановления физического закона мы должны потребовать, чтобы вариация этого действия по отношению к обратной метрике была равна нулю, что дает
- .
Поскольку это уравнение должно выполняться для любой вариации , это означает, что
| | ( 2 ) |
- уравнение движения для метрического поля. Правая часть этого уравнения (по определению) пропорциональна тензору энергии-импульса , [3]
- .
Для вычисления левой части уравнения нам понадобятся вариации скаляра Риччи и определитель метрики. Их можно получить с помощью стандартных расчетов из учебника, таких как приведенный ниже, который сильно основан на расчетах, приведенных в Кэрролле 2004.ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFCarroll2004 ( справка ).
Вариация тензора Римана, тензора Риччи и скаляра Риччи
Чтобы вычислить вариацию скаляра Риччи, мы сначала вычисляем вариацию тензора кривизны Римана , а затем вариацию тензора Риччи. Итак, тензор кривизны Римана определяется как
- .
Поскольку кривизна Римана зависит только от связности Леви-Чивиты , вариацию тензора Римана можно рассчитать как
- .
Теперь, поскольку - это разность двух связностей, это тензор, поэтому мы можем вычислить его ковариантную производную ,
- .
Теперь мы можем заметить, что приведенное выше выражение для вариации тензора кривизны Римана равно разности двух таких членов:
- .
Теперь мы можем получить вариацию тензора кривизны Риччи, просто сжав два индекса вариации тензора Римана, и получить тождество Палатини :
- .
Риччи скалярным определяются как
- .
Следовательно, его вариация относительно обратной метрики дан кем-то
Во второй строке мы использовали метрическую совместимость ковариантной производной, , а ранее полученный результат для вариации кривизны Риччи (во втором члене, переименовав фиктивные индексы а также к а также соответственно).
Последний срок,
- , т.е. с участием ,
умножается на , становится полной производной , поскольку для любого вектора и любой тензорной плотности у нас есть:
- или же
и, таким образом, по теореме Стокса дает только граничный член при интегрировании. Граничный член, как правило, не равен нулю, поскольку подынтегральная функция зависит не только от но и на его частных производных ; подробности см. в статье о граничном члене Гиббонса – Хокинга – Йорка . Однако когда вариация метрикиобращается в нуль в окрестности границы или когда границы нет, этот член не вносит вклад в изменение действия. Таким образом, получаем
. | | ( 3 ) |
на мероприятиях не при закрытии границы.
Вариация определителя
Формула Якоби , правило дифференцирования определителя , дает:
- ,
или можно преобразовать в систему координат, где является диагональным, а затем примените правило произведения, чтобы дифференцировать произведение факторов на главной диагонали. Используя это, мы получаем
В последнем равенстве мы использовали тот факт, что
которое следует из правила дифференцирования обратной матрицы
- .
Таким образом, мы заключаем, что
. | | ( 4 ) |
Уравнение движения
Теперь, когда в нашем распоряжении есть все необходимые вариации, мы можем вставить ( 3 ) и ( 4 ) в уравнение движения ( 2 ) для метрического поля, чтобы получить
, | | ( 5 ) |
что является уравнением поля Эйнштейна , и
был выбран так, что нерелятивистский предел дает обычную форму закона тяготения Ньютона , где- гравитационная постоянная ( подробности см. здесь ).
Когда космологическая постоянная Λ включена в лагранжиан , действие:
Варианты относительно обратной метрики:
Используя принцип действия :
Комбинируя это выражение с результатами, полученными ранее:
Мы можем получить:
С участием , выражение переходит в уравнения поля с космологической постоянной :