В римановой геометрии , то скалярная кривизна (или Риччи скалярный ) является самой простой кривизной инвариантна из риманова многообразия . Каждой точке на римановом многообразии он присваивает единственное действительное число, определяемое внутренней геометрией многообразия вблизи этой точки. В частности, скалярная кривизна представляет собой величину, на которую объем небольшого геодезического шара в римановом многообразии отклоняется от объема стандартного шара в евклидовом пространстве . В двух измерениях скалярная кривизна вдвое больше гауссовой кривизны., и полностью характеризует кривизну поверхности. Однако в более чем двух измерениях кривизна римановых многообразий включает более одной функционально независимой величины.
В общей теории относительности скалярная кривизна - это плотность лагранжиана для действия Эйнштейна – Гильберта . Уравнения Эйлера – Лагранжа для этого лагранжиана при изменении метрики составляют вакуумные уравнения поля Эйнштейна , а стационарные метрики известны как метрики Эйнштейна . Скалярная кривизна n -многообразия определяется как след тензора Риччи , и ее можно определить как n ( n - 1) умноженное на среднее значение секционной кривизны в точке.
На первый взгляд, скалярная кривизна в размерности не менее 3 кажется слабым инвариантом, мало влияющим на глобальную геометрию многообразия, но на самом деле некоторые глубокие теоремы показывают силу скалярной кривизны. Одним из таких результатов является теорема о положительной массе Шена , Яу и Виттена . Связанные результаты дают почти полное представление о том, какие многообразия имеют риманову метрику с положительной скалярной кривизной.
Определение
Скалярная кривизна S (обычно также R , или Sc ) определяется как след от Риччи кривизны тензора по отношению к метрике :
След зависит от метрики, поскольку тензор Риччи является (0,2) -валентным тензором; сначала нужно поднять индекс, чтобы получить (1,1) -валентный тензор, чтобы взять след. В терминах локальных координат можно написать
где R ij - компоненты тензора Риччи в координатном базисе:
Учитывая систему координат и метрический тензор, скалярная кривизна может быть выражена следующим образом:
где - символы Кристоффеля метрики, а является частной производной от в i- м координатном направлении.
В отличие от тензора кривизны Римана или тензора Риччи, оба из которых могут быть определены для любой аффинной связности , скалярная кривизна требует какой-либо метрики. Метрика может быть псевдоримановой вместо римановой. Действительно, такое обобщение жизненно важно для теории относительности. В более общем смысле тензор Риччи может быть определен в более широком классе метрических геометрий (посредством прямой геометрической интерпретации ниже), который включает финслерову геометрию .
Прямая геометрическая интерпретация
Когда скалярная кривизна в точке положительна, объем маленького шара вокруг точки имеет меньший объем, чем шар того же радиуса в евклидовом пространстве. С другой стороны, когда скалярная кривизна отрицательна в точке, объем маленького шара больше, чем он был бы в евклидовом пространстве.
Это можно сделать более количественным, чтобы охарактеризовать точное значение скалярной кривизны S в точке p риманова n -многообразия. А именно, отношение n- мерного объема шара радиуса ε в многообразии к объему соответствующего шара в евклидовом пространстве при малых ε определяется выражением
Таким образом, вторая производная этого отношения, вычисленная на радиусе ε = 0, равна в точности минус скалярная кривизна, деленная на 3 ( n + 2).
Границами этих шаров являются ( n - 1) -мерные сферы радиуса; их гиперповерхностные меры ("площади") удовлетворяют следующему уравнению:
Особые случаи
Поверхности
В двух измерениях скалярная кривизна ровно в два раза превышает гауссову кривизну. Для вложенной поверхности в евклидово пространство R 3 это означает, что
где - главные радиусы поверхности. Например, скалярная кривизна 2-сферы радиуса r равна 2 / r 2 .
У двумерного тензора кривизны Римана есть только одна независимая компонента, и он может быть выражен через скалярную кривизну и форму метрической площади. А именно, в любой системе координат
Космические формы
Пространственная форма является по определению многообразия с постоянной секционной кривизной. Космические формы локально изометричны одному из следующих типов:
Продукты
Скалярная кривизна в продукте М × N римановых многообразий является суммой скалярных кривизн М и N . Например, для любого гладкого замкнутого многообразия M , M × S 2 имеет метрику положительной скалярной кривизны, просто принимая 2-сферу малой по сравнению с M (так что ее кривизна велика). Этот пример может предполагать, что скалярная кривизна имеет мало отношения к глобальной геометрии многообразия. Фактически, это имеет некоторое глобальное значение, как обсуждается ниже .
Традиционная нотация
Среди тех, кто использует индексную нотацию для тензоров, обычно буква R используется для обозначения трех разных вещей:
- тензор кривизны Римана: или же
- тензор Риччи:
- скалярная кривизна:
Эти три затем отличаются друг от друга числом индексов: тензор Римана имеет четыре индекса, тензор Риччи имеет два индекса, а скаляр Риччи имеет нулевые индексы. Те, кто не использует индексное обозначение, обычно резервируют R для полного тензора кривизны Римана. В качестве альтернативы, в безкоординатной записи можно использовать Рима для тензора Римана, Ric для тензора Риччи и R для скаляра кривизны.
Проблема Ямабе
Проблема Ямабе была решена Трудингером , Обеном и Шоном. А именно, любую риманову метрику на замкнутом многообразии можно умножить на некоторую гладкую положительную функцию, чтобы получить метрику с постоянной скалярной кривизной. Другими словами, каждая метрика на замкнутом многообразии конформна метрике постоянной скалярной кривизны.
Положительная скалярная кривизна
Для замкнутого риманового 2-многообразия М , скалярная кривизна имеет четкое отношение к топологии из М , выражаемый Гаусс-Бонн теорема : полная кривизна скаляра М равна 4 л раз Эйлера характеристических из М . Так , например, только замкнутые поверхности с метриками положительной скалярной кривизны являются те , с положительной характеристикой Эйлера: сфера S 2 и RP 2 . Кроме того, эти две поверхности не имеют метрик со скалярной кривизной ≤ 0.
Знак скалярной кривизны имеет более слабое отношение к топологии в более высоких измерениях. Учитывая , гладкий замкнутое многообразие М размерности по крайней мере , 3, Каздано и Уорнер решена предписанной скалярной задачи кривизны , описывающий которого гладкие функции на М возникают как скалярная кривизну некоторых римановых метрик на М . А именно, M должен принадлежать ровно к одному из следующих трех типов: [1]
- Каждая функция на M скалярная кривизна некоторой метрики на М .
- Функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда она либо тождественно равна нулю, либо где-то отрицательна.
- Функция на M является скалярной кривизной некоторой метрики на M тогда и только тогда, когда она где-то отрицательна.
Таким образом, каждое многообразие размерности не менее 3 имеет метрику с отрицательной скалярной кривизной, на самом деле постоянной отрицательной скалярной кривизной. Результат Каздана – Уорнера фокусирует внимание на вопросе о том, какие многообразия имеют метрику с положительной скалярной кривизной, что эквивалентно свойству (1). Пограничный случай (2) может быть описан как класс многообразий с сильно скалярно-плоской метрикой , означающей метрику с нулевой скалярной кривизной, такой что M не имеет метрики с положительной скалярной кривизной.
Много известно о том, какие гладкие замкнутые многообразия имеют метрики положительной скалярной кривизны. В частности, по Громову и Лоусону , каждое односвязное многообразие размерности не менее 5, которое не является спином, имеет метрику с положительной скалярной кривизной. [2] Напротив, Лихнерович показал, что спиновое многообразие с положительной скалярной кривизной должно иметь род, равный нулю. Хитчин показал, что более утонченная версия рода Â, α-инвариант , также исчезает для спиновых многообразий с положительной скалярной кривизной. [3] Это нетривиально только в некоторых измерениях, потому что α-инвариант n -многообразия принимает значения в группе KO n , перечисленных здесь:
п (мод 8) 0 1 2 3 4 5 6 7 КО н Z Z / 2 Z / 2 0 Z 0 0 0
Наоборот, Штольц показал, что каждое односвязное спиновое многообразие размерности не менее 5 с α-инвариантным нулем имеет метрику с положительной скалярной кривизной. [4]
Аргумент Лихнеровича с использованием оператора Дирака был расширен, чтобы дать множество ограничений на неодносвязные многообразия с положительной скалярной кривизной с помощью K-теории C * -алгебр . Например, Громов и Лоусон показали, что замкнутое многообразие, допускающее метрику с секционной кривизной ≤ 0, например тор , не имеет метрики с положительной скалярной кривизной. [5] В более общем смысле, инъективная часть гипотезы Баума – Конна для группы G , которая известна во многих случаях, означает, что замкнутое асферическое многообразие с фундаментальной группой G не имеет метрики с положительной скалярной кривизной. [6]
Существуют специальные результаты в размерностях 3 и 4. После работ Шена, Яу, Громова и Лоусона доказательство Перельманом теоремы о геометризации привело к полному ответу в размерности 3: замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие имеет метрику с положительным скалярная кривизна , если и только если она является связной суммой из сферических 3-многообразий и копия S 2 × S 1 . [7] В размерности 4 положительная скалярная кривизна имеет более сильные последствия, чем в более высоких измерениях (даже для односвязных многообразий), с использованием инвариантов Зайберга – Виттена . Например, если X - компактное кэлерово многообразие комплексной размерности 2, которое не является рациональным или линейчатым , то X (как гладкое 4-многообразие) не имеет римановой метрики с положительной скалярной кривизной. [8]
Наконец, Акито Футаки показал, что строго скалярно-плоские метрики (как определено выше) чрезвычайно особенные. Для односвязного риманова многообразия M размерности не менее 5, которое является сильно скалярно-плоским, M должно быть произведением римановых многообразий с группой голономии SU ( n ) ( многообразия Калаби – Яу ), Sp ( n ) ( гиперкэлеровы многообразия ), или Spin (7). [9] В частности, эти метрики являются плоскими по Риччи, а не только скалярно. Наоборот, есть примеры многообразий с этими группами голономии, такие как поверхность K3 , которые являются спиновыми и имеют ненулевой α-инвариант, следовательно, являются сильно скалярно-плоскими.
Смотрите также
- Основное введение в математику искривленного пространства-времени
- Инвариант Ямабе
- Скаляр Кречмана
- Теорема Вермейля
Заметки
- ^ Besse (1987), теорема 4.35.
- ^ Lawson & Michelsohn (1989), теорема IV.4.4.
- ^ Lawson & Michelsohn (1989), теорема II.8.12.
- ^ Штольц (2002), теорема 2.4.
- ^ Lawson & Michelsohn (1989), следствие IV.5.6.
- ^ Штольц (2002), теорема 3.10.
- ^ Marques (2012), введение.
- ^ ЛеБрун (1999), теорема 1.
- ^ Петерсен (2016), следствие C.4.4.
Рекомендации
- Бессе, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Springer , ISBN 3-540-15279-2, Руководство по ремонту 0867684
- Йост, Юрген (2011) [1995], Риманова геометрия и геометрический анализ , Springer , ISBN 978-3-642-21297-0, Руководство по ремонту 2829653
- Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989), геометрия вращения , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08542-5, MR 1031992
- ЛеБрун, Клод (1999), «Измерение Кодаира и проблема Ямабе», Коммуникации в области анализа и геометрии , 7 : 133–156, arXiv : dg-ga / 9702012 , doi : 10.4310 / CAG.1999.v7.n1.a5 , Руководство по ремонту 1674105 , S2CID 7223836
- Marques, Фернандо Coda (2012), "деформирующего три многообразия с положительной скалярной кривизны", Анналы математики , 176 (2): 815-863, Arxiv : 0907.2444 , DOI : 10,4007 / annals.2012.176.2.3 , MR 2950765 , S2CID 16528231
- Петерсен, Питер (2016) [1998], Риманова геометрия , Springer , ISBN 978-3-319-26652-7, Руководство по ремонту 3469435
- Риччи, Г. (1903–1904), «Принципиальное направление и инвариантность в качественном разнообразии» , Atti R. Inst. Венето , 63 (2): 1233-1239, СУЛ 35.0145.01
- Штольц, Стивен (2002), "Многообразия положительной скалярной кривизны" (PDF) , Топология многомерных многообразий , Триест: ICTP , стр. 661–709, MR 1937026