Повышение и понижение показателей

В математике и математической физике , поднимающая и понижающих показатели являются операции по тензорам , которые меняют свой тип . Повышение и понижение индексов - это форма манипулирования индексами в тензорных выражениях.

Тип тензора [ править ]

Учитывая тензорное поле на многообразии $M$ , при наличии неособой формы на $M$ (такой как риманова метрика или метрика Минковского ), можно повышать или понижать индексы, чтобы изменить тензор типа $(a, b)$ на a $(a + 1, б - 1)$ тензор (индекс повышения) или на $( - 1, Ь + 1)$ тензор (нижний индекс), где обозначение $( , б)$ было использовано для обозначения порядка тензор $+ Ь$ с $через$ верхние индексами и $б$ нижних индексов.

Это делается путем умножения на ковариантный или контравариантный метрический тензор, а затем сужения индексов, то есть два индекса устанавливаются равными, а затем суммируются по повторяющимся индексам (с применением обозначений Эйнштейна ). См. Примеры ниже.

Векторы (тензоры первого порядка) [ править ]

Умножение на контравариантный метрический тензор $g ij$ и сжатие дает другой тензор с верхним индексом:

{\ Displaystyle г ^ {ij} A_ {j} = B ^ {i} \ ,,}

Тот же самый базовый символ обычно используется для обозначения этого нового тензора, и изменение положения индекса обычно понимается в этом контексте как относящееся к этому новому тензору и называется повышением индекса , которое будет записано

{\ displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = A ^ {i} \ ,.}

Точно так же умножение на ковариантный метрический тензор и сжатие снижает индекс (с тем же пониманием повторного использования базового символа):

{\ displaystyle g_ {ij} A ^ {j} = A_ {i} \ ,.}

Форма $g ij$ не обязательно должна быть невырожденной, чтобы понизить индекс, но чтобы получить обратную форму (и, таким образом, поднять индекс), она должна быть невырожденной.

Повышение и последующее понижение одного и того же индекса (или наоборот) являются обратными операциями, что отражается в том, что ковариантные и контравариантные метрические тензоры являются обратными друг другу:

{\ displaystyle g ^ {ij} g_ {jk} = g_ {kj} g ^ {ji} = {\ delta ^ {i}} _ {k} = {\ delta _ {k}} ^ {i}}

где $δ i k$ - символ Кронекера или единичная матрица . Поскольку есть разные варианты выбора метрики с разными сигнатурами метрики (знаки вдоль диагональных элементов, т. Е. Компоненты тензора с одинаковыми индексами), имя и сигнатура обычно указываются во избежание путаницы. Разные авторы используют разные метрики и подписи по разным причинам.

Мнемонически (хотя и неправильно ) можно представить себе «отмену» индексов между метрикой и другим тензором, и метрику, шагающую вверх или вниз по индексу. В приведенных выше примерах такие «отмены» и «шаги» похожи на

{\ displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = {\ cancel {g}} ^ {i {\ cancel {j}}} A _ {\ cancel {j}} = A ^ {i} \ ,,}

Опять же, хотя это и является полезным руководством, это всего лишь мнемоника, а не свойство тензоров, поскольку индексы не сокращаются, как в уравнениях, это всего лишь концепция обозначений. Результаты продолжаются ниже для тензоров более высокого порядка (т.е. для большего числа индексов).

Повышая индексы величин в пространстве-времени, это помогает разложить суммирования на «времениподобные компоненты» (где индексы равны нулю) и «пространственноподобные компоненты» (где индексы равны 1, 2, 3, условно представленные латинскими буквами).

Пример из пространства-времени Минковского [ править ]

Ковариантная 4-позиция определяется выражением

{\ displaystyle X _ {\ mu} = (- ct, x, y, z)}

с компонентами:

{\ Displaystyle X_ {0} = - ct, \ quad X_ {1} = x, \ quad X_ {2} = y, \ quad X_ {3} = z}

(где $x$ , $y$ , $z$ - обычные декартовы координаты ), а метрический тензор Минковского с сигнатурой (- + + +) определяется как

{\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = \ eta ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

в компонентах:

{\ displaystyle \ eta _ {00} = - 1, \ quad \ eta _ {i0} = \ eta _ {0i} = 0, \ quad \ eta _ {ij} = \ delta _ {ij} \, (i , j \ neq 0).}

Чтобы поднять индекс, умножьте на тензор и сократите:

X^{\lambda }=\eta ^{\lambda \mu }X_{\mu }=\eta ^{\lambda 0}X_{0}+\eta ^{\lambda i}X_{i}

тогда при $λ = 0$ :

X^{0}=\eta ^{00}X_{0}+\eta ^{0i}X_{i}=-X_{0}

и для $λ = j = 1, 2, 3$ :

X^{j}=\eta ^{j0}X_{0}+\eta ^{ji}X_{i}=\delta ^{ji}X_{i}=X_{j}\,.

Итак, контрвариантная 4-позиция с повышенным индексом:

X^{\mu }=(ct,x,y,z)\,.

Тензоры (высшего порядка) [ править ]

Заказ 2 [ править ]

Для тензора второго порядка ^[1] двойное умножение на контравариантный метрический тензор и сжатие по различным индексам увеличивает каждый индекс:

A^{\alpha \beta }=g^{\alpha \gamma }g^{\beta \delta }A_{\gamma \delta }

а двойное умножение на ковариантный метрический тензор и сжатие по разным индексам понижает каждый индекс:

A_{\alpha \beta }=g_{\alpha \gamma }g_{\beta \delta }A^{\gamma \delta }

Пример из классического электромагнетизма и специальной теории относительности [ править ]

Контравариантный электромагнитный тензор в $(+ - - -)$ подписи задается ^[2]

F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

в компонентах:

F^{0i}=-F^{i0}=-{\frac {E^{i}}{c}},\quad F^{ij}=-\varepsilon ^{ijk}B_{k}

Чтобы получить ковариантный тензор $F αβ$ , умножим его на метрический тензор и сожмем:

{\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\eta _{\alpha \gamma }\eta _{\beta \delta }F^{\gamma \delta }\\&=\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta 0}F^{00}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}F^{i0}+\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}F^{0i}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}\end{aligned}}

и поскольку F ⁰⁰ = 0 и F ^{0 i} = - F ⁱ⁰ , это сводится к

F_{\alpha \beta }=\left(\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}-\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}\right)F^{i0}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}

Теперь при $α = 0$ , $β = k = 1, 2, 3$ :

{\begin{aligned}F_{0k}&=\left(\eta _{0i}\eta _{k0}-\eta _{00}\eta _{ki}\right)F^{i0}+\eta _{0i}\eta _{kj}F^{ij}\\&={\bigl (}0-(-\delta _{ki}){\bigr )}F^{i0}+0\\&=F^{k0}=-F^{0k}\\\end{aligned}}

а по антисимметрии при $α = k = 1, 2, 3$ , $β = 0$ :

F_{k0}=-F^{k0}

затем, наконец, для $α = k = 1, 2, 3$ , $β = l = 1, 2, 3$ ;

{\begin{aligned}F_{kl}&=\left(\eta _{ki}\eta _{l0}-\eta _{k0}\eta _{li}\right)F^{i0}+\eta _{ki}\eta _{lj}F^{ij}\\&=0+\delta _{ki}\delta _{lj}F^{ij}\\&=F^{kl}\\\end{aligned}}

(Ковариантный) нижний индексированный тензор тогда будет:

F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

Заказ $№$ [ редактировать ]

Когда векторное пространство оснащено внутренним продуктом (или метрикой, как ее часто называют в этом контексте), существуют операции, которые преобразуют контравариантный (верхний) индекс в ковариантный (нижний) индекс и наоборот. Сама метрика является (симметричным) (0,2) -тензором, поэтому можно свести верхний индекс тензора к одному из нижних индексов метрики. Это создает новый тензор с той же структурой индекса, что и предыдущий, но с нижним индексом в позиции сжатого верхнего индекса. Эта операция графически известна как понижение индекса. Наоборот, у метрики есть обратный, который является (2,0) -тензором. Этот обратный показатель можно свести к нижнему индексу, чтобы получить верхний индекс. Эта операция называется поднятием индекса.

Для тензора порядка $n$ индексы увеличиваются (в соответствии с приведенным выше): ^[1]

g^{j_{1}i_{1}}g^{j_{2}i_{2}}\cdots g^{j_{n}i_{n}}A_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A^{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}

и снижено:

g_{j_{1}i_{1}}g_{j_{2}i_{2}}\cdots g_{j_{n}i_{n}}A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=A_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}

а для смешанного тензора:

g_{p_{1}i_{1}}g_{p_{2}i_{2}}\cdots g_{p_{n}i_{n}}g^{q_{1}j_{1}}g^{q_{2}j_{2}}\cdots g^{q_{m}j_{m}}{A^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m}}={A_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}}^{q_{1}q_{2}\cdots q_{m}}

См. Также [ править ]

Исчисление Риччи
Обозначения Эйнштейна
Метрический тензор
Музыкальный изоморфизм
Двойственное пространство § Билинейные произведения и двойственные пространства

Ссылки [ править ]

^ а б Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление . Очертания Шаума. Нью-Йорк: Макгроу Хилл. ISBN 0-07-033484-6.
^ NB: Некоторые тексты, например: Гриффитс, Дэвид Дж. (1987). Введение в элементарные частицы . ISBN Wiley, John & Sons, Inc. 0-471-60386-4. CS1 maint: discouraged parameter (link), покажет этот тензор с общим множителем -1. Это потому, что они использовали отрицательное значение метрического тензора, используемого здесь: $(- + + +)$ , см. Подпись метрики . В более старых текстах, таких как Джексон (2-е издание), нет множителей $c,$ поскольку они используют гауссовские единицы . Здесь используются единицы СИ .

[Schaum’s_Outlines-1] а б Кей, округ Колумбия (1988). Тензорное исчисление . Очертания Шаума. Нью-Йорк: Макгроу Хилл. ISBN 0-07-033484-6.

[2] NB: Некоторые тексты, например: Гриффитс, Дэвид Дж. (1987). Введение в элементарные частицы . ISBN Wiley, John & Sons, Inc. 0-471-60386-4. CS1 maint: discouraged parameter (link), покажет этот тензор с общим множителем -1. Это потому, что они использовали отрицательное значение метрического тензора, используемого здесь: $(- + + +)$ , см. Подпись метрики . В более старых текстах, таких как Джексон (2-е издание), нет множителей $c,$ поскольку они используют гауссовские единицы . Здесь используются единицы СИ .

[1]