Смешанный тензор

В тензорном анализе , А смешанный тензор является тензором , который не является ни строго ковариантным , ни строго контравариантным ; хотя бы один из индексов смешанного тензора будет нижним индексом (ковариантным) и хотя бы один из индексов будет верхним индексом (контравариантным).

Смешанный тензор типа или валентности , также обозначаемый как «тип ( M , N )», с M > 0 и N > 0, представляет собой тензор, который имеет M контравариантных индексов и N ковариантных индексов. Такой тензор может быть определен как линейная функция , которая сопоставляет ( М + Н ) -кратный из M одного-форм и N векторов на скаляр . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ binom {M} {N}}}$

Изменение типа тензора [ править ]

Рассмотрим следующий октет связанных тензоров:

${\ displaystyle T _ {\ alpha \ beta \ gamma}, \ T _ {\ alpha \ beta} {} ^ {\ gamma}, \ T _ {\ alpha} {} ^ {\ beta} {} _ {\ gamma}, \ T _ {\ alpha} {} ^ {\ beta \ gamma}, \ T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma}, \ T ^ {\ alpha} {} _ {\ beta} {} ^ {\ gamma}, \ T ^ {\ alpha \ beta} {} _ {\ gamma}, \ T ^ {\ alpha \ beta \ gamma}}$.

Первый - ковариантный, последний - контравариантный, а остальные - смешанные. Условно эти тензоры отличаются друг от друга ковариантностью / контравариантностью своих индексов. Данный контравариантный индекс тензора можно понизить с помощью метрического тензора g _μν , а данный ковариантный индекс можно поднять с помощью обратного метрического тензора g ^μν . Таким образом, g _μν можно назвать оператором понижения индекса, а g ^μν - оператором повышения индекса .

Как правило, ковариантный метрический тензор, сжатый с тензором типа ( M , N ), дает тензор типа ( M - 1, N + 1), тогда как его контравариантный обратный, сжатый с тензором типа ( M , N ) , дает тензор типа ( M + 1, N - 1).

Примеры [ править ]

Например, смешанный тензор типа (1, 2) может быть получен повышением индекса ковариантного тензора типа (0, 3),

${\ displaystyle T _ {\ alpha \ beta} {} ^ {\ lambda} = T _ {\ alpha \ beta \ gamma} \, g ^ {\ gamma \ lambda}}$,

где - тот же тензор , что и, поскольку${\ displaystyle T _ {\ alpha \ beta} {} ^ {\ lambda}}$${\ Displaystyle Т _ {\ альфа \ бета} {} ^ {\ gamma}}$

${\ displaystyle T _ {\ alpha \ beta} {} ^ {\ lambda} \, \ delta _ {\ lambda} {} ^ {\ gamma} = T _ {\ alpha \ beta} {} ^ {\ gamma}}$,

с Кронекером δ, действующим здесь как единичная матрица.

Так же,

${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },}$

${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },}$

${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },}$

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.}$

Повышение индекса метрического тензора эквивалентно сжатию его обратного, что дает дельту Кронекера ,

${\displaystyle g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu }}$,

поэтому любая смешанная версия метрического тензора будет равна дельте Кронекера, которая также будет смешанной.

См. Также [ править ]

• Ковариация и контравариантность векторов
• Обозначения Эйнштейна
• Исчисление Риччи
• Тензор (внутреннее определение)
• Двухточечный тензор

Ссылки [ править ]

• DC Кей (1988). Тензорное исчисление . Очертания Шаума, Макгроу Хилл (США). ISBN 0-07-033484-6.
• Уиллер, JA; Misner, C .; Торн, К.С. (1973). «§3.5 Работа с тензорами». Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 85–86. ISBN 0-7167-0344-0.
• Р. Пенроуз (2007). Дорога в реальность . Винтажные книги. ISBN 0-679-77631-1.

Внешние ссылки [ править ]

• Индекс гимнастики , Wolfram Alpha