Тензор (внутреннее определение)

В математике современный бескомпонентный подход к теории тензора рассматривает тензор как абстрактный объект , выражающий определенный тип полилинейного понятия. Их хорошо известные свойства ^{[ ласковые слова ]} могут быть выведены из их определений, как линейные карты или в более общем смысле; а правила манипулирования тензорами возникают как расширение линейной алгебры до полилинейной алгебры .

В дифференциальной геометрии внутреннее ^{[ необходимое определение ]} геометрическое утверждение может быть описано тензорным полем на многообразии , и тогда вообще не нужно ссылаться на координаты. То же самое верно и в общей теории относительности для тензорных полей, описывающих физическое свойство . Бескомпонентный подход также широко используется в абстрактной алгебре и гомологической алгебре , где тензоры возникают естественным образом.

Примечание: В данной статье предполагается понимание тензорного произведения из векторных пространств без выбранных оснований . Обзор предмета можно найти в основной статье о тензор .

Определение через тензорные произведения векторных пространств [ править ]

Учитывая конечное множество { V ₁ , ..., V _п } из векторных пространств над общим полем F , можно образовать их тензорное произведение V ₁ ⊗ ... ⊗ V _п , элемент , который называют тензор .

Тензор на векторном пространстве V затем определяется как элемент (т.е. вектор) в векторном пространстве формы:

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$

где V ^* есть двойственное пространство из V .

Если в нашем продукте есть m копий V и n копий V ^∗ , то говорят, что тензор имеет тип ( m , n ) и контравариантный порядка m, ковариантного порядка n и полного порядка m + n . Тензоры нулевого порядка - это просто скаляры (элементы поля F ), тензоры контравариантного порядка 1 - это векторы в V , а тензоры ковариантного порядка 1 - это одноформы в V ^∗.(по этой причине два последних пространства часто называют контравариантными и ковариантными векторами). Пространство всех тензоров типа ( m , n ) обозначается

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}.}$

Пример 1. Пространство типа (1, 1) тензоры, изоморфна естественным образом в пространстве линейных преобразований от V до V . ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)=V\otimes V^{*},}$

Пример 2. билинейной формы на вещественном векторное пространстве V , соответствует естественному образом к типу (0, 2) тензор в качестве примера таких билинейной формы может быть определен, называется соответствующим метрический тензор , и обычно обозначается г .${\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}.}$

Тензорный ранг [ править ]

Тензор простого (также называемый тензором ранг один, элементарный тензор или нестойкого тензор ( Hackbusch 2012 , стр. 4)) есть тензор , который может быть записан в виде произведения тензоров вида

${\displaystyle T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d}$

где a , b , ..., d отличны от нуля и лежат в V или V ^∗ , т. е. если тензор не равен нулю и полностью факторизуем . Каждый тензор можно выразить как сумму простых тензоров. Ранг тензора T является минимальным числом простых тензоров , что сумма в Т ( Бурбаки 1989 , II, § 7, вып. 8).

Тензор нулевого имеет ранг нуль. Тензор ненулевого порядка 0 или 1 всегда имеет ранг 1. Ранг ненулевого тензора 2 или более высокого порядка меньше или равен произведению размерностей всех векторов, кроме самых высоких размерностей (сумма произведений ), тензор которого может быть выражен, который равен d ^{n −1,} когда каждое произведение состоит из n векторов из конечномерного векторного пространства размерности d .

Термин ранг тензора расширяет понятие ранга матрицы в линейной алгебре, хотя этот термин также часто используется для обозначения порядка (или степени) тензора. Ранг матрицы - это минимальное количество векторов-столбцов, необходимых для охвата диапазона матрицы . Таким образом, матрица имеет ранг один, если ее можно записать как внешнее произведение двух ненулевых векторов:

${\displaystyle A=vw^{\mathrm {T} }.}$

Ранг матрицы A - это наименьшее количество таких внешних произведений, которые можно суммировать для ее получения:

${\displaystyle A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T} }+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T} }.}$

В индексах тензор ранга 1 - это тензор вида

${\displaystyle T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{\ell }\cdots .}$

Ранг тензора порядка 2 согласуется с рангом, когда тензор рассматривается как матрица ( Halmos 1974 , §51), и может быть определен, например , методом исключения Гаусса . Однако ранг тензора порядка 3 или выше часто очень трудно определить, и разложения тензоров низкого ранга иногда представляют большой практический интерес ( de Groote, 1987 ). Вычислительные задачи, такие как эффективное умножение матриц и эффективное вычисление многочленов, можно преобразовать в задачу одновременного вычисления набора билинейных форм.

${\displaystyle z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}}$

для данных входов x _i и y _j . Если известно низкоранговое разложение тензора T , то известна эффективная стратегия оценки ( Knuth 1998 , стр. 506–508).

Универсальное свойство [ править ]

Пространство можно охарактеризовать универсальным свойством в терминах полилинейных отображений . Среди преимуществ этого подхода - то, что он дает возможность показать, что многие линейные отображения являются «естественными» или «геометрическими» (другими словами, они не зависят от любого выбора базиса). Явная вычислительная информация затем может быть записана с использованием базисов, и такой порядок приоритетов может быть более удобным, чем доказательство формулы, приводящей к естественному отображению. Другой аспект заключается в том, что тензорные произведения используются не только для свободных модулей , и «универсальный» подход легче переносится на более общие ситуации.${\displaystyle T_{n}^{m}(V)}$

Скалярная функция на декартовом произведении (или прямой сумме ) векторных пространств

${\displaystyle f:V_{1}\times \cdots \times V_{N}\to \mathbb {R} }$

является полилинейным, если оно линейно по каждому аргументу. Пространство всех полилинейных отображений из V ₁ × ... × V _N в W обозначается L ^N ( V ₁ , ..., V _N ;  W ). Когда N  = 1, полилинейное отображение - это просто обычное линейное отображение, а пространство всех линейных отображений из V в W обозначается L ( V ; W ) .

Универсальная характеристика тензорного произведения следует , что для каждой функции полилинейной

${\displaystyle f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};W)}$

(где может представлять поле скаляров, векторное пространство или тензорное пространство) существует единственная линейная функция${\displaystyle W}$

${\displaystyle T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};W)}$

такой, что

${\displaystyle f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},v_{1},\ldots ,v_{n})=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})}$

для всех и${\displaystyle v_{i}\in V}$${\displaystyle \alpha _{i}\in V^{*}.}$

Из универсального свойства следует, что пространство ( m , n ) -тензоров допускает естественный изоморфизм

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};\mathbb {R} )\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};\mathbb {R} ).}$

Каждому V в определении тензора соответствует V ^* внутри аргумента линейных отображений, и наоборот. (Обратите внимание, что в первом случае имеется m копий V и n копий V ^* , а во втором случае - наоборот). В частности, есть

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};\mathbb {R} )\cong V\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;\mathbb {R} )=V^{*}\\T_{1}^{1}(V)&\cong L(V;V)\end{aligned}}}$

Тензорные поля [ править ]

Дифференциальная геометрия , физика и техника часто имеют дело с тензорными полями на гладких многообразиях . Термин тензор иногда используется как сокращение от тензорного поля . Тензорное поле выражает понятие тензора, который меняется от точки к точке на многообразии.

Ссылки [ править ]

• Авраам, Ральф ; Марсден, Джеррольд Э. (1985), Основы механики (2-е изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-40840-6.
• Бурбаки, Николас (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• де Гроот, Х.Ф. (1987), Лекции о сложности билинейных задач , Лекции по информатике, 245 , Springer, ISBN 3-540-17205-Х.
• Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Springer, ISBN 0-387-90093-4.
• Дживанджи, Надир (2011), Введение в тензоры и теорию групп для физиков , ISBN 978-0-8176-4714-8
• Кнут, Дональд Э. (1998) [1969], Искусство компьютерного программирования, том. 2 (3-е изд.), Стр. 145–146, ISBN 978-0-201-89684-8.
• Хакбуш, Вольфганг (2012), Тензорные пространства и численное тензорное исчисление , Springer, стр. 4, ISBN 978-3-642-28027-6.