В математике , в частности в линейной алгебре , вырожденная билинейная форма f ( x , y ) на векторном пространстве V - это билинейная форма, такая что отображение из V в V ∗ ( двойственное пространство к V ), заданное формулой v ↦ ( x ↦ f ( x , v )) не является изоморфизмом . Эквивалентное определение, когда V конечномерно, состоит в том, что оно имеет нетривиальнуюядро : существует ненулевое x в V такое, что
- для всех
Невырожденные формы
Невырожденная или неособо форма является билинейной формой , которая не является вырожденной, т.е.является изоморфизмом или, что то же самое, в конечных измерениях, если и только если
- для всех подразумевает, что .
Наиболее важными примерами невырожденных форм являются скалярные произведения и симплектические формы . Симметричные невырожденные формы являются важными обобщениями скалярных произведений, поскольку часто все, что требуется, - это отображениебыть изоморфизмом, а не положительностью. Например, многообразие со структурой внутреннего произведения на его касательных пространствах является римановым многообразием , а его ослабление до симметричной невырожденной формы дает псевдориманово многообразие .
Используя определитель
Если V является конечномерен то, относительно некоторой основы для V , билинейная форма является вырожденной тогда и только тогда , когда определитель из соответствующей матрицы равен нуль - тогда и только тогда , когда матрица в единственном числе, и , соответственно , вырожденные формы также называются сингулярными формы . Точно так же невырожденная форма - это форма, для которой ассоциированная матрица неособая , и, соответственно, невырожденные формы также называются невырожденными формами . Эти утверждения не зависят от выбранной основы.
Связанные понятия
Если для квадратичной формы Q существует вектор v ∈ V такой, что Q ( v ) = 0, то Q - изотропная квадратичная форма . Если Q имеет один и тот же знак для всех векторов, это определенная квадратичная форма или анизотропная квадратичная форма .
Существует тесно связанное понятие унимодулярной формы и идеального сочетания ; они согласуются по полям, но не по общим кольцам.
Примеры
Наиболее важными примерами невырожденных форм являются скалярные произведения и симплектические формы . Симметричные невырожденные формы являются важными обобщениями скалярных произведений, поскольку часто все, что требуется, - это отображениебыть изоморфизмом, а не положительностью. Например, многообразие со структурой внутреннего произведения на его касательных пространствах является римановым многообразием , а его ослабление до симметричной невырожденной формы дает псевдориманово многообразие .
Бесконечные измерения
Отметим, что в бесконечномерном пространстве мы можем иметь билинейную форму ƒ, для которой является инъективным , но не сюръективно . Например, в пространстве непрерывных функций на замкнутом ограниченном интервале форма
не сюръективен: например, дельта-функционал Дирака находится в двойственном пространстве, но не имеет требуемого вида. С другой стороны, эта билинейная форма удовлетворяет
- для всех подразумевает, что
В таком случае, когда удовлетворяет инъективности (но не обязательно сюръективности), называется слабо невырожденной .
Терминология
Если тождественно обращается в нуль на всех векторах, то он называется вполне вырожденным . Для любой билинейной формы на V множество векторов
образует вполне вырожденное подпространство в V . Отображение ƒ невырождено тогда и только тогда, когда это подпространство тривиально.
Геометрически изотропная линия квадратичной формы соответствует точке соответствующей квадратичной гиперповерхности в проективном пространстве . Такая линия дополнительно изотропна для билинейной формы тогда и только тогда, когда соответствующая точка является особенностью . Следовательно, над алгебраически замкнутым полем , нули Гильберт гарантирует , что квадратичная форма всегда имеет изотропные линии, в то время как билинейная форма имеет их тогда и только тогда , когда поверхность является особой.
Смотрите также
- Двойная система
- Линейная форма - линейная карта из векторного пространства в его поле скаляров.