В геометрии квадратичных форм , изотропная линия или нулевая линия представляет собой линию , для которой квадратичная форма применяется к вектору перемещения между любой парой его точек равна нулю. Изотропная линия встречается только с изотропной квадратичной формой и никогда не бывает с определенной квадратичной формой .
Используя сложную геометрию , Эдмон Лагер впервые предположил существование двух изотропных линий, проходящих через точку ( α , β ), которые зависят от мнимой единицы i : [1]
- Первая система:
- Вторая система:
Затем Лагер интерпретировал эти линии как геодезические :
- Существенным свойством изотропных линий, которое можно использовать для их определения, является следующее: расстояние между любыми двумя точками изотропной линии, находящимися на конечном расстоянии в плоскости, равно нулю. Другими словами, эти линии удовлетворяют дифференциальному уравнению d s 2 = 0 . На произвольной поверхности можно изучать кривые, удовлетворяющие этому дифференциальному уравнению; эти кривые являются геодезическими линиями поверхности, и мы также называем их изотропными линиями . [1] : 90
На комплексной проективной плоскости точки представлены однородными координатами и линии по однородным координатам . Изотропная линия в комплексной проективной плоскости удовлетворяет уравнению: [2]
В терминах аффинного подпространства x 3 = 1 изотропная прямая, проходящая через начало координат, есть
В проективной геометрии изотропные линии - это прямые, проходящие через бесконечно удаленные точки окружности .
В реальной ортогональной геометрии Эмиля Артина изотропные линии встречаются парами:
- Неособая плоскость, содержащая изотропный вектор, называется гиперболической плоскостью . Его всегда можно натянуть на пару N, M векторов, удовлетворяющих
- Мы будем называть любую такую упорядоченную пару N, M гиперболической парой. Если V - неособая плоскость с ортогональной геометрией и N ≠ 0 - изотропный вектор в V , то существует ровно один M в V такой, что N, M - гиперболическая пара. Векторы х N и у М тогда только изотропные векторы V . [3]
Относительность
Изотропные линии использовались в космологической литературе для переноса света. Например, в математической энциклопедии свет состоит из фотонов : « Мировая линия с нулевой массой покоя (например, неквантовая модель фотона и других элементарных частиц с нулевой массой) является изотропной линией». [4] Для изотропных линий, проходящих через начало координат, конкретная точка является нулевым вектором , а совокупность всех таких изотропных линий образует световой конус в начале координат.
Эли Картан расширил понятие изотропных линий до мультивекторов в своей книге о спинорах в трех измерениях . [5]
Рекомендации
- ^ a b Эдмон Лагер (1870) "Sur l'emploi des imaginaires en la géométrie", Oeuvres de Laguerre 2: 89
- ^ CE Springer (1964) Геометрия и анализ проективных пространств , стр. 141, WH Freeman and Company
- ↑ Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра , стр. 119
- ^ Энциклопедия математики Мировая линия
- ↑ Картан Эли (1981) [1938], Теория спиноров , Нью-Йорк: Dover Publications , стр. 17, ISBN 978-0-486-64070-9, MR 0631850 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Пит Л. Кларк, Квадратичные формы Глава I: Witts теории из университета Майами в Coral Gables, штат Флорида .
- О. Тимоти О'Мира (1963,2000) Введение в квадратичные формы , стр. 94