В проективной геометрии , то круговые точки на бесконечности (также называемые циклические точки или изотропные точки ) являются две специальные точки на бесконечности в комплексной проективной плоскости , которые содержатся в комплексификацией каждого реального круга .
Координаты
Точка комплексной проективной плоскости может быть описана в терминах однородных координат , представляющих собой тройку комплексных чисел ( x : y : z ) , где две тройки описывают одну и ту же точку плоскости, когда координаты одной тройки совпадают с те из другого, за исключением того, что они умножены на тот же ненулевой множитель. В этой системе бесконечно удаленные точки могут быть выбраны как те, у которых координата z равна нулю. Две бесконечно удаленные круглые точки - это две из них, обычно рассматриваемые как точки с однородными координатами.
- (1: i: 0) и (1: −i: 0) .
Сложные круги
Вещественный круг, определяемый его центральной точкой ( x 0 , y 0 ) и радиусом r (все три из которых являются действительными числами ), может быть описан как набор реальных решений уравнения
Преобразование этого в однородное уравнение и взятие набора всех решений комплексных чисел дает комплексификацию круга. Две круговые точки получили свое название, потому что они лежат в основе каждого реального круга. В более общем смысле обе точки удовлетворяют однородным уравнениям типа
Случай, когда все коэффициенты действительны, дает уравнение общей окружности ( действительной проективной плоскости ). Обычно алгебраическая кривая , проходящая через эти две точки, называется круговой .
Дополнительные свойства
Круговые точки на бесконечности - это бесконечно удаленные точки изотропных линий . [1] Они инвариантны относительно сдвигов и поворотов плоскости.
Понятие угла может быть определено с помощью точек окружности, натурального логарифма и перекрестного отношения : [2]
- Угол между двумя линиями - это некоторое кратное логарифму поперечного отношения карандаша, образованного двумя линиями и линиями, соединяющими их пересечение с точками окружности.
Соммервилл настраивает две линии в начале координат как Обозначая круговые точки как ω и ω ′, он получает поперечное отношение
- чтобы
Рекомендации
- ^ CE Springer (1964) Геометрия и анализ проективных пространств , стр. 141, WH Freeman and Company
- ^ Дункан Соммервилл (1914) Элементы неевклидовой геометрии , страница 157, ссылка изИсторического математического собрания Мичиганского университета
- Пьер Самуэль (1988) Проективная геометрия , Springer, раздел 1.6;
- Семпл и Колен (1952) Алгебраическая проективная геометрия , Оксфорд, раздел II-8.