Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( май 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В математике , то комплексная проективная плоскость , обычно обозначается P 2 ( C ), является двумерным комплексное проективное пространство . Это комплексное многообразие комплексной размерности 2, описываемое тремя комплексными координатами
где, однако, идентифицируются тройки, отличающиеся общим масштабированием:
То есть это однородные координаты в традиционном смысле проективной геометрии .
Топология [ править ]
В числе Бетти комплексной проективной плоскости
- 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....
Средняя размерность 2 объясняется классом гомологии комплексной проективной прямой или сферы Римана , лежащей на плоскости. Нетривиальные гомотопические группы комплексной проективной плоскости равны . Фундаментальная группа тривиальна, а все другие высшие гомотопические группы принадлежат 5-сфере, то есть кручению.
Алгебраическая геометрия [ править ]
В бирациональной геометрии комплексная рациональная поверхность - это любая алгебраическая поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости. Известно, что любое неособое рациональное многообразие получается из плоскости последовательностью раздувающих преобразований и обратных им («раздува») кривых, которые должны быть очень определенного типа. Как частный случай, неособая комплексная квадрика в P 3 получается из плоскости путем раздувания двух точек до кривых и последующего сдувания прямой через эти две точки; Обратное к этому преобразованию можно увидеть, взяв точку P на квадрике Q, Взорвать его, и проецирование на общую плоскость в P 3 , рисуя линии через P .
Группа бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости - это группа Кремоны .
Дифференциальная геометрия [ править ]
Как риманово многообразие, комплексная проективная плоскость представляет собой 4-мерное многообразие, секционная кривизна которого является четвертьпинкованной, но не строго. То есть он достигает обеих границ и, таким образом, избегает быть сферой, как в противном случае потребовала бы теорема о сфере . Соперничающие нормализации заключаются в том, что кривизна должна быть уменьшена между 1/4 и 1; в качестве альтернативы, от 1 до 4. Что касается первой нормализации, вложенная поверхность, определяемая комплексной проективной линией, имеет гауссову кривизну 1. Что касается последней нормализации, вложенная реальная проективная плоскость имеет гауссову кривизну 1.
Явная демонстрация тензоров Римана и Риччи дается в подразделе n = 2 статьи о метрике Фубини-Штуди .
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- CE Springer (1964) Геометрия и анализ проективных пространств , страницы 140–3, WH Freeman and Company .