Торическая разновидность

В алгебраической геометрии , в торическом многообразии или тор , вложение представляет собой алгебраическое многообразие , содержащее алгебраический тор в качестве открытого плотного подмножества , таким образом, что действие тора на себе распространяется на все многообразие. Некоторые авторы также требуют, чтобы это было нормально . Торические многообразия составляют важный и богатый класс примеров в алгебраической геометрии, которые часто служат полигоном для проверки теорем. Геометрия торического многообразия полностью определяется комбинаторикойсвязанного с ним вентилятора, что часто делает вычисления намного более удобными. Для определенного специального, но все же достаточно общего класса торических многообразий эта информация также закодирована в многограннике, что создает мощную связь предмета с выпуклой геометрией. Знакомые примеры торических многообразий - аффинное пространство , проективные пространства, произведения проективных пространств и расслоения над проективным пространством .

Торические многообразия из торов [ править ]

Первоначальной мотивацией к изучению торических многообразий было изучение вложений торов. Для алгебраического тора T группа характеров Hom ( T , C ^x ) образует решетку. Учитывая набор точек A , подмножество этой решетки, каждая точка определяет отображение в C и, таким образом, набор определяет отображение в C ^{| A |} . Взяв замыкание Зарисского образа такой карты, мы получаем аффинное многообразие. Если набор точек решетки Aпорождает решетку характеров, это многообразие является вложением тора. Подобным образом можно создать параметризованное проективное торическое многообразие, взяв проективное замыкание вышеупомянутого отображения, рассматривая его как отображение в аффинный участок проективного пространства.

Заметим, что для проективного торического многообразия мы можем исследовать его геометрию с помощью однопараметрических подгрупп. Каждая однопараметрическая подгруппа, определяемая точкой в ​​решетке, двойственной решетке характеров, является выколотой кривой внутри проективного торического многообразия. Поскольку многообразие компактно, эта проколотая кривая имеет единственную предельную точку. Таким образом, разбивая решетку однопараметрических подгрупп по предельным точкам выколотых кривых, мы получаем решетчатый веер - набор полиэдральных рациональных конусов. Конусы наибольшей размерности точно соответствуют неподвижным точкам тора, пределам этих проколотых кривых.

Торическое многообразие веера [ править ]

Предположим, что N - свободная абелева группа конечного ранга . Сильно выпуклый рациональный многогранный конус в N - это выпуклый конус (действительного векторного пространства N ) с вершиной в начале координат, порожденный конечным числом векторов из N , который не содержит прямой, проходящей через начало координат. Для краткости они будут называться «конусами».

Для каждого конуса сг его аффинного торического многообразия U _σ является спектр полугруппы алгебры от двойного конуса .

Вентилятор представляет собой набор конусов замкнут относительно пересечения и лица.

Торическое многообразие веера задается путем склеивания аффинных торических многообразий его конусов путем отождествления U _σ с открытым подмногообразием в U _τ, если σ является гранью τ. Наоборот, каждому вееру сильно выпуклых рациональных конусов соответствует торическое многообразие.

Веер, связанный с торической разновидностью, обобщает некоторые важные данные о разновидности. Например, сорт гладкий , если каждый конус в его вентиляторе может быть получен с помощью подмножества основы для свободной абелевой группы N .

Морфизмы торических многообразий [ править ]

Предположим, что Δ ₁ и Δ ₂ - вееры в решетках N ₁ и N ₂ . Если f - линейное отображение из N ₁ в N ₂ такое, что образ каждого конуса из Δ ₁ содержится в конусе из Δ ₂ , то f индуцирует морфизм f _* между соответствующими торическими многообразиями. Это отображение f _* является собственным тогда и только тогда, когда прообраз | Δ ₂ | при отображении f равно | Δ ₁|, где | Δ | - основное пространство веера Δ, заданное объединением его конусов.

Разрешение особенностей [ править ]

Торическое многообразие неособо, если его конусы максимальной размерности порождены базисом решетки. Отсюда следует, что каждое торическое многообразие имеет разрешение особенностей, заданное другим торическим многообразием, которое можно построить, разбивая максимальные конусы на конусы неособых торических многообразий.

Торическое многообразие выпуклого многогранника [ править ]

Веер рационального выпуклого многогранника в N состоит из конусов над его собственными гранями. Торическое многообразие многогранника - это торическое многообразие его веера. Разновидность этой конструкции принять рациональный многогранник в двойственной N и принять торическое разнообразие ее полярного множество в N .

Торическое многообразие отображается в многогранник, двойственный к N , слои которого являются топологическими торами. Например, комплексная проективная плоскость CP ² может быть представлена ​​тремя комплексными координатами, удовлетворяющими

${\ Displaystyle | z_ {1} | ^ {2} + | z_ {2} | ^ {2} + | z_ {3} | ^ {2} = 1, \, \!}$

где сумма была выбрана для учета реальной части масштабирования проективной карты, а координаты, кроме того, должны быть идентифицированы следующим действием U (1) :

${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}) \ приблизительно e ^ {i \ phi} (z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}). \, \!}$

Подход торической геометрии состоит в том, чтобы написать

${\displaystyle (x,y,z)=(|z_{1}|^{2},|z_{2}|^{2},|z_{3}|^{2}).\,\!}$

Координаты неотрицательны, и они параметризуют треугольник, потому что${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle x+y+z=1;\,\!}$

это,

${\displaystyle \quad z=1-x-y.\,\!}$

Треугольник является торическим основанием комплексной проективной плоскости. Общий слой представляет собой двумерный тор, параметризованный фазами ; фаза может быть выбрана действительной и положительной по симметрии.${\displaystyle z_{1},z_{2}}$${\displaystyle z_{3}}$${\displaystyle U(1)}$

Однако двумерный тор вырождается в три разных окружности на границе треугольника, то есть в или или потому, что фаза становится несущественной, соответственно.${\displaystyle x=0}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$

Точная ориентация кругов внутри тора обычно обозначается наклоном отрезков прямых (в данном случае сторон треугольника).

Связь с зеркальной симметрией [ править ]

Идея торических многообразий полезна для зеркальной симметрии, потому что интерпретация некоторых данных веера как данных многогранника приводит к геометрическому построению зеркальных многообразий.

Ссылки [ править ]

• Кокс, Дэвид (2003), "Что такое торическое разнообразие?" , Разделы алгебраической геометрии и геометрического моделирования , Contemp. Math., 334 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 203–223, MR  2039974
• Кокс, Дэвид А .; Литтл, Джон Б.; Шенк, Хэл, торические разновидности
• Данилов В.И. Геометрия торических многообразий (1978), Академия Наук СССР I Московское математическое общество. Успехи математических наук , 33 (2): 85–134, doi : 10.1070 / RM1978v033n02ABEH002305 , ISSN  0042-1316 , MR  0495499
• Фултон, Уильям (1993), Введение в торические многообразия , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00049-7
• Kempf, G .; Кнудсен, Финн Фэй; Мамфорд, Дэвид ; Сен-Донат Б. (1973), Тороидальные вложения. I , Конспект лекций по математике, 339 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0070318 , ISBN 978-3-540-06432-9, Руководство по ремонту  0335518
• Миллер, Эзра (2008), "Что такое ... торическое разнообразие?" (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 55 (5): 586–587, ISSN  0002-9920 , MR  2404030
• Ода, Тадао (1988), Выпуклые тела и алгебраическая геометрия , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 15 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-17600-8, Руководство по ремонту  0922894

Внешние ссылки [ править ]

• Домашняя страница Д.А. Кокса с несколькими лекциями о торических многообразиях

См. Также [ править ]

• Лемма Гордана
• Торический идеал
• Торический стек (примерно это получается заменой шага взятия частного GIT на частный стек )
• Тороидальное вложение