Двойной конус и полярный конус - это тесно связанные понятия в области выпуклого анализа , раздела математики .
Двойной конус
В векторном пространстве
Двойной конус С * из подмножества C в линейном пространстве X над переАльсом , например евклидовом пространства R п , с сопряженным пространством X * является множество
где является парой двойственности между X и X * , т. е..
C * всегда выпуклый конус , даже если C не является ни выпуклым, ни конусом .
В топологическом векторном пространстве
Если X - топологическое векторное пространство над действительными или комплексными числами, то двойственный конус подмножества C ⊆ X - это следующий набор непрерывных линейных функционалов на X :
- , [1]
который является полярной множества - С . [1] Независимо от того, что такое C ,будет выпуклым конусом. Если C ⊆ {0}, то.
В гильбертовом пространстве (внутренний двойственный конус)
С другой стороны, многие авторы определяют двойственный конус в контексте реального гильбертова пространства (например, R n, снабженного евклидовым внутренним произведением) как то, что иногда называют внутренним двойным конусом .
Используя это последнее определение для C * , мы получаем, что, когда C - конус, выполняются следующие свойства: [2]
- Ненулевой вектор y находится в C * тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:
- у является нормальным в происхождении гиперплоскости , которая поддерживает C .
- y и C лежат на одной стороне этой поддерживающей гиперплоскости.
- C * является замкнутым и выпуклым.
- подразумевает .
- Если C имеет непустую внутренность, то C * является заостренным , т.е. C * не содержит строк в полном объеме.
- Если C - конус и замыкание C остроконечное, то C * имеет непустую внутренность.
- C ** - это замыкание наименьшего выпуклого конуса, содержащего C (следствие теоремы об отделении гиперплоскостей )
Самодвойственные конусы
Конус С в векторном пространстве X называется автодуальным , если Х может быть оснащены внутренним произведением ⟨⋅, ⋅⟩ таким образом, что внутренний двойственный конус относительно этого скалярного произведения равно C . [3] Те авторы, которые определяют двойственный конус как внутренний двойственный конус в реальном гильбертовом пространстве, обычно говорят, что конус самодвойственный, если он равен своему внутреннему двойственному конусу. Это немного отличается от приведенного выше определения, которое допускает изменение внутреннего продукта. Например, приведенное выше определение делает конус в R n с эллипсоидальным основанием самодуальным, потому что внутренний продукт может быть изменен, чтобы сделать основание сферическим, а конус со сферическим основанием в R n равен его внутреннему двойственному.
Неотрицательное ортант из R н и пространство всех положительных полуопределенных матриц самодвойственно, так же как конуса с эллипсоидальным основанием (часто называемые «сферические конусами», «Лоренц конусы» или иногда «мороженое» шишки). То же самое и со всеми конусами в R 3 , основанием которых является выпуклая оболочка правильного многоугольника с нечетным числом вершин. Менее правильным примером является конус в R 3 , основанием которого является «дом»: выпуклая оболочка квадрата и точка вне квадрата, образующая равносторонний треугольник (соответствующей высоты) с одной из сторон квадрата.
Полярный конус
Для множества C в X , то полярный конус из C является множество [4]
Видно, что полярный конус равен отрицательному элементу двойственного конуса, т.е. C o = - C * .
Для замкнутого выпуклого конуса С в X , полярный конус эквивалентно полярного множества для C . [5]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b Schaefer & Wolff 1999 , стр. 215–222.
- ^ Бойд, Стивен П .; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (pdf) . Издательство Кембриджского университета. С. 51–53. ISBN 978-0-521-83378-3. Проверено 15 октября 2011 года .
- ^ Iochum, Бруно, "шишки autopolairesдр algèbres де Джордан", Springer, 1984.
- ^ Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 121–122. ISBN 978-0-691-01586-6.
- ^ Алипрантис, CD; Граница, KC (2007). Бесконечный анализ измерений: Путеводитель автостопом (3-е изд.). Springer. п. 215. DOI : 10.1007 / 3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0.
Библиография
- Болтянский В.Г . ; Мартини, H .; Солтан, П. (1997). Экскурсии в комбинаторную геометрию . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-61341-2.
- Goh, CJ; Ян, XQ (2002). Двойственность в оптимизации и вариационные неравенства . Лондон; Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-415-27479-6.
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Рамм, AG (2000). Шивакумар, ПН; Штраус, А.В. (ред.). Теория операторов и ее приложения . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1990-9.
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .