В математике , то биполярный теорема является теоремой в функциональном анализе , который характеризует биполярный (т.е. полярных поляр) множество. В выпуклом анализе , то биполярная теорема относится к необходимым и достаточным условиям для конуса равного его биполярным . Биполярную теорему можно рассматривать как частный случай теоремы Фенхеля – Моро . [1] : 76–77
Предварительные мероприятия
Предположим, что X - топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным сопряженным пространством и разреши для всех x ∈ X и. Выпуклая оболочка из множества A , обозначим через со ( А ), является наименьшим выпуклое множество , содержащее А . Выпуклая оболочка сбалансирован из множества А является наименьшим выпуклым сбалансированными множество , содержащее A .
Полярная подмножества A из X определяется как:
в то время как prepolar подмножества B из является:
- .
Биполярное подмножества A из X , часто обозначается через А ∘∘ есть множество
- .
Заявление в функциональном анализе
Позволять обозначим слабую топологию на X (т.е. самую слабую топологию TVS на X, делающую все линейные функционалы в непрерывный).
- Биполярная теорема : [2] Биполярность подмножества A в X равна -замыкание из выпуклого сбалансированного корпуса из A .
Утверждение в выпуклом анализе
- Биполярная теорема : [1] : 54 [3] Для любого непустого конуса A в некотором линейном пространстве X биполярное множество A ∘∘ задается следующим образом:
- .
Особый случай
Подмножество С из X непустое закрывается выпуклый конус тогда и только тогда , когда С ++ = С ∘∘ = С при С ++ = ( С + ) + , где + обозначает положительный двойной конус множества А . [3] [4] Или, в более общем смысле, если C - непустой выпуклый конус, то биполярный конус задается формулой
- С ∘∘ = cl ( C ).
Связь с теоремой Фенхеля – Моро.
Позволять
быть индикаторная функция для конуса C . Тогда выпукло сопряженное ,
- опорная функция для C , а. Следовательно, C = C ∘∘ тогда и только тогда, когда f = f ** . [1] : 54 [4]
Смотрите также
- Двойная система
- Теорема Фенхеля – Моро - обобщение биполярной теоремы.
- Полярный набор
Рекомендации
- ^ a b c Борвейн, Джонатан ; Льюис, Адриан (2006). Выпуклый анализ и нелинейная оптимизация: теория и примеры (2-е изд.). Springer. ISBN 9780387295701. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 225-273.
- ^ а б Бойд, Стивен П .; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация (pdf) . Издательство Кембриджского университета. С. 51–53. ISBN 9780521833783. Проверено 15 октября 2011 года . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ а б Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 121–125. ISBN 9780691015866. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
Библиография
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .