В математике , подмножество C из реального или комплексного векторного пространства называются абсолютно выпуклыми или disked если оно выпукло и сбалансировано (некоторые люди используют термин «круг» вместо «уравновешиваются»), в этом случае он называется диск . Disked оболочка или абсолютная выпуклая оболочка множества есть пересечение всех дисков , содержащих этот набор.
Определение
Если является подмножеством реального или комплексного векторного пространства затем мы звоним диск и сказать , чтоявляется дисковым , абсолютно выпуклым и выпуклым уравновешенным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
- является выпуклой и сбалансированным ;
- для любых скаляров а также если тогда ;
- для всех скаляров а также если тогда ;
- для любых скаляров если тогда ;
- для любых скаляров если тогда ;
Напомним, что наименьшее выпуклое (соответственно сбалансированное ) подмножествосодержащий набор называется выпуклой оболочкой (соответственно сбалансированной оболочкой) этого набора и обозначается (соотв. ).
Точно так же мы определяем дисковую оболочку , абсолютно выпуклую оболочку или выпуклую сбалансированную оболочку множестваопределяется как наименьший диск (относительно включения подмножества ), содержащий[1] Дисковый корпус будем обозначать или же и он равен каждому из следующих наборов:
- который является выпуклой оболочкой сбалансированного корпуса из; таким образом,;
- Однако обратите внимание, что в целом даже в конечных размерах ,
- пересечение всех дисков, содержащих
- где являются элементами нижележащего поля .
Достаточные условия
- Пересечение произвольного числа абсолютно выпуклых множеств снова абсолютно выпукло; однако объединения абсолютно выпуклых множеств больше не обязательно должны быть абсолютно выпуклыми.
- если это диск в тогда поглощает если и только если [2]
Характеристики
- Если является поглощающей диск в векторном пространстве тогда существует поглощающий диск в такой, что [3]
- Выпуклый уравновешенный корпус содержит выпуклую оболочку и сбалансированный корпус
- Абсолютно выпуклая оболочка ограниченного множества в топологическом векторном пространстве снова ограничена.
- Если ограниченный диск в ТВС и если является последовательность в тогда частичные суммы являются Коши , где для всех [4]
- В частности, если дополнительно является последовательно полным подмножеством тогда эта серия сходится в в какой-то момент
Примеры
Хотя выпуклый уравновешенный корпус это не обязательно совпадает с уравновешенной оболочки выпуклой оболочки[1] Например, где позволять быть реальным векторным пространством и разреши потом является строгим подмножеством это даже не выпукло. В частности, этот пример также показывает, что сбалансированная оболочка выпуклого множества не обязательно является выпуклой. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что равен замкнутому квадрату в с вершинами а также пока представляет собой замкнутое подмножество в форме "песочных часов ", пересекающее-ось в начале координат и представляет собой объединение двух треугольников: один, вершины которого являются началом координат вместе с и другой треугольник, вершины которого являются началом координат вместе с
Смотрите также
- Поглощающий набор - набор, который можно «надуть», чтобы в конечном итоге всегда включать любую заданную точку в пространстве.
- Сбалансированный набор - Construct в функциональном анализе
- Ограниченное множество (топологическое векторное пространство)
- Выпуклый набор - в геометрии набор, который пересекает каждую линию в один линейный сегмент.
- Звездный домен
- Симметричный набор
- Вектор (геометрический) , для векторов в физике
- Векторное поле - присвоение вектора каждой точке в подмножестве евклидова пространства.
Рекомендации
- ^ a b Trèves 2006 , стр. 68.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 67-113.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 149-153.
- ^ Narici & Бекенштейн 2011 , стр. 471.
Библиография
- Робертсон, AP; WJ Робертсон (1964). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике. 53 . Издательство Кембриджского университета . С. 4–6.
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Шефер, HH (1999). Топологические векторные пространства . Springer-Verlag Press . п. 39.
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .