Моноидное кольцо

В абстрактной алгебре , Моноид кольцо представляет собой кольцо построено из кольца и моноида , так же , как группа кольцо строится из кольца и группы .

Определение [ править ]

Пусть R - кольцо и G - моноид. Моноид кольцо или моноид алгебра из G над R , обозначается R [ G ] или RG , есть множество формальных сумм , где для каждого и т _г = 0 для всех , кроме конечного числа г , оборудованных с коэффициентом-накрест Кроме того, и умножение в которой элементы R коммутируют с элементами G . Более формально R [ G ] - это набор функций φ: G${\ displaystyle \ sum _ {g \ in G} r_ {g} g}$${\ displaystyle r_ {g} \ in R}$${\displaystyle g\in G}$→ R такое, что { g  : φ ( g ) ≠ 0 } конечно, снабжено сложением функций и умножением, определяемым формулой

${\displaystyle (\phi \psi )(g)=\sum _{k\ell =g}\phi (k)\psi (\ell )}$.

Если G является группой , то R [ G ] также называется кольцом группы из G над R .

Универсальное свойство [ править ]

Для R и G существует гомоморфизм колец α: R → R [ G ], переводящий каждое r в r 1 (где 1 - единичный элемент группы G ), и гомоморфизм моноидов β: G → R [ G ] (где последнее рассматривается как моноид при умножении), переводя каждый g в 1 g (где 1 - мультипликативная единица R ). Имеем, что α ( r ) коммутирует с β ( g ) для всех rв R и г в G .

Универсальное свойство моноидного кольца утверждает, что для кольца S , гомоморфизма колец α ': R → S и гомоморфизма моноида β': G → S в мультипликативный моноид кольца S , такие что α '( r ) коммутирует с β '( g ) для всех r в R и g в G существует единственный гомоморфизм колец γ: R [ G ] → S, такой, что составление α и β с γ дает α' и β '.

Дополнение [ править ]

Увеличение является кольцевой гомоморфизм η : R [ G ] → R определяется

${\displaystyle \eta \left(\sum _{g\in G}r_{g}g\right)=\sum _{g\in G}r_{g}.}$

Ядро из п называется увеличение идеал . Это свободный R - модуль с базой , состоящей из 1 -  г для всех г в G не равно 1.

Примеры [ править ]

С учетом кольцом R и (аддитивный) моноидом натуральных чисел N (или { х ^п } просматривался мультипликативно), получает кольцо R [{ х ^п }] =: R [ х ] из многочленов над R . Моноид N ⁿ (с добавлением) дает кольцо многочленов с n переменными: R [ N ⁿ ] =: R [ X ₁ , ..., X _n ].

Обобщение [ править ]

Если G - полугруппа , та же конструкция дает полугрупповое кольцо R [ G ].

См. Также [ править ]

• Свободная алгебра
• Серия Puiseux

Ссылки [ править ]

• Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . 211 (Rev. 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-95385-X.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Р. Гилмер. Коммутативные полугрупповые кольца . Издательство Чикагского университета, Чикаго – Лондон, 1984 г.