В римановой геометрии теорема о сфере , также известная как теорема о четверти сжатой сфере , сильно ограничивает топологию многообразий, допускающих метрики с определенной границей кривизны. Точная формулировка теоремы заключается в следующем. Если М является полным , односвязны , п - мерное риманово многообразие с секционной кривизны принимает значения в интервале , то М является гомеоморфными к п -сферы. (Чтобы быть точным, мы имеем в виду, что секционная кривизна каждой касательной 2-плоскости в каждой точке должна лежать внутри .) Другой способ сформулировать результат состоит в том, что если M не гомеоморфно сфере, то невозможно наложить метрику на M с кривизной на четверть пика.
![(1,4]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5874b482e7e0a5777f6837be39bbe60f8d3ff80c)
Обратите внимание, что вывод неверен, если изгибы секций могут принимать значения в закрытом интервале . Стандартный контрпример - комплексное проективное пространство с метрикой Фубини – Штуди ; секционная кривизна этой метрики принимает значения от 1 до 4, включая конечные точки. Среди симметрических пространств первого ранга можно найти и другие контрпримеры .
![[1,4]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d586411d3b36b42d74ece1ec4e191d4fe1fc83da)
Теорема о дифференцируемой сфере [ править ]
Первоначальное доказательство теоремы о сфере не приводило к заключению, что M обязательно диффеоморфно n- сфере. Эта сложность связана с тем, что сферы в более высоких измерениях допускают гладкие структуры , которые не являются диффеоморфными. (Для получения дополнительной информации см. Статью об экзотических сферах .) Однако в 2007 году Саймон Брендл и Ричард Шон использовали поток Риччи, чтобы доказать, что с приведенными выше гипотезами M обязательно диффеоморфно n-сфера со стандартной гладкой структурой. Более того, в доказательстве Брендла и Шона используется только более слабое предположение поточечного, а не глобального защемления. Этот результат известен как теорема о дифференцируемой сфере .
История теоремы о сфере [ править ]
Хайнц Хопф предположил, что односвязное многообразие с защемленной секционной кривизной является сферой. [ необходимая цитата ] В 1951 году Гарри Раух показал, что односвязное многообразие с кривизной в [3 / 4,1] гомеоморфно сфере. [ необходимая цитата ] В 1960 году Марсель Бергер и Вильгельм Клингенберг доказали топологическую версию теоремы о сфере с оптимальной константой защемления. [ необходима цитата ]
Ссылки [ править ]
- Брендл, Саймон (2010). Поток Риччи и теорема о сфере . Аспирантура по математике. 111 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . DOI : 10,1090 / г / м2 / 111 . ISBN 0-8218-4938-7. Руководство по ремонту 2583938 .
- Брендл, Саймон; Шен, Ричард (2009). «Коллекторы с кривизной на 1/4 ножки представляют собой пространственные формы». Журнал Американского математического общества . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode : 2009JAMS ... 22..287B . DOI : 10.1090 / s0894-0347-08-00613-9 . Руководство по ремонту 2449060 .
- Брендл, Саймон; Шен, Ричард (2011). «Кривизна, теоремы о сфере и поток Риччи». Бюллетень Американского математического общества . 48 (1): 1–32. arXiv : 1001.2278 . DOI : 10,1090 / s0273-0979-2010-01312-4 . Руководство по ремонту 2738904 .
