В математике , то метрика Фубини-исследование является Кэлерова метрика на проективной гильбертовом пространстве , то есть на комплексном проективном пространстве СР п наделенного эрмитовой формы . Эта метрика была первоначально описана в 1904 и 1905 годах Гвидо Фубини и Эдуардом Штючем . [1] [2]
Эрмитова форма в (векторном пространстве) C п +1 определяет унитарную подгруппу U ( п + 1) в GL ( п + 1, С ). Метрика Фубини – Штуди определяется с точностью до гомотетии (общего масштабирования) инвариантностью относительно такого действия U ( n +1); таким образом, он однороден . Имея метрику Фубини – Штуди, CP n является симметричным пространством . Конкретная нормализация метрики зависит от приложения. В римановой геометрии используется нормализация, так что метрика Фубини – Штуди просто связана со стандартной метрикой на (2 n +1) -сфере. В алгебраической геометрии , один использует нормировки решений CP н а многообразие Ходжа .
Строительство
Метрика Фубини-исследование естественно возникает в фактор - пространстве построения комплексного проективного пространства .
В частности, можно определить CP n как пространство, состоящее из всех комплексных прямых в C n +1 , т. Е. Частное C n +1 \ {0} по отношению эквивалентности, связывающее вместе все комплексные кратные каждой точки. Это согласуется с фактором по диагональному групповому действию мультипликативной группы C * = C \ {0}:
Этот фактор реализует C n +1 \ {0} как комплексное линейное расслоение над базовым пространством CP n . (Фактически это так называемое тавтологическое расслоение над CP n .) Таким образом, точка CP n отождествляется с классом эквивалентности ( n +1) -наборов [ Z 0 , ..., Z n ] по модулю ненулевого комплекса масштабирование; Z я называюсь однородными координатами точки.
Более того, это частное можно реализовать в два этапа: поскольку умножение на ненулевой комплексный скаляр z = R e iθ можно однозначно рассматривать как композицию растяжения по модулю R с последующим вращением против часовой стрелки вокруг начала координат на угол, фактор C n +1 → CP n распадается на две части.
где стадия (а) представляет собой фактор по дилатации Z \ R Z для R ∈ R + , мультипликативной группы положительных действительных чисел , а стадия (б) представляет собой фактор по вращениям Z \ е iθ Z .
Результатом частного в (a) является реальная гиперсфера S 2 n +1, определяемая уравнением | Z | 2 = | Z 0 | 2 + ... + | Z n | 2 = 1. Фактор в (b) реализует CP n = S 2 n +1 / S 1 , где S 1 представляет группу поворотов. Этот фактор реализуется явно известного расслоения Хопфа S 1 → S 2 п +1 → CP п , волокна которых являются одними из больших кругов из.
Как метрическое частное
Когда факторное пространство берется из риманова многообразия (или метрического пространства в целом), необходимо позаботиться о том, чтобы фактор-пространство наделено правильно определенной метрикой . Например, если группа G действует на римановом многообразии ( X , g ), то для того, чтобы пространство орбит X / G обладало индуцированной метрикой,должны быть постоянными вдоль G -орбит в том смысле, что для любого элемента h ∈ G и пары векторных полеймы должны иметь g ( Xh , Yh ) = g ( X , Y ).
Стандартная эрмитова метрика на C n +1 задается в стандартном базисе формулой
реализацией которой является стандартная евклидова метрика на R 2 n +2 . Эта метрика не инвариантна относительно диагонального действия C * , поэтому мы не можем напрямую подтолкнуть ее к CP n в частном. Тем не менее, эта метрика является инвариантной относительно диагонального действия S 1 = U (1), группа вращений. Следовательно, шаг (b) в приведенной выше конструкции возможен после выполнения шага (a).
Метрика Фубини-исследование является метрикой , индуцированной на фактор CP п = S 2 п + 1 / S 1 , гденесет так называемую «круглую метрику», наделенную ограничением стандартной евклидовой метрики единичной гиперсферой.
В локальных аффинных координатах
Точке в CP n с однородными координатами [ Z 0 : ...: Z n ] соответствует единственный набор из n координат ( z 1 , ..., z n ) такой, что
при условии Z 0 ≠ 0; в частности, z j = Z j / Z 0 . ( Z 1 , ..., z n ) образуют аффинную систему координат для CP n в координатном фрагменте U 0 = { Z 0 0}. Можно разработать аффинную систему координат в любом из участков координат U i = { Z i ≠ 0}, разделив вместо этого на Z i очевидным образом. П +1 координат заплатки U я покрывают CP п , и можно дать метрический явно в терминах аффинных координат ( г 1 , ..., г п ) на U I . Производные координат определяют фреймголоморфного касательного расслоения к CP n , в терминах которого метрика Фубини – Штуди имеет эрмитовы компоненты
где | z | 2 = | z 1 | 2 + ... + | z n | 2 . То есть эрмитова матрица метрики Фубини – Штуди в этой системе отсчета имеет вид
Обратите внимание, что каждый элемент матрицы унитарно-инвариантен: диагональное действие оставит эту матрицу без изменений.
Соответственно, линейный элемент имеет вид
В этом последнем выражении для суммирования латинских индексов i , j в диапазоне от 1 до n используется соглашение о суммировании .
Метрика может быть получена из следующего кэлерова потенциала : [3]
в виде
Использование однородных координат
Выражение также возможно в обозначениях однородных координат , обычно используется для описания проективных многообразий из алгебраической геометрии : Z = [ Z 0 : ...: Z п ]. Формально, при условии соответствующей интерпретации задействованных выражений, можно
Здесь соглашение о суммировании используется для суммирования по греческим индексам α β в диапазоне от 0 до n , а в последнем равенстве используется стандартное обозначение для наклонной части тензора:
Теперь это выражение для d s 2, по- видимому, определяет тензор на тотальном пространстве тавтологического расслоения C n +1 \ {0}. Его следует правильно понимать как тензор на CP n , протягивая его назад вдоль голоморфного сечения σ тавтологического расслоения CP n . Затем остается убедиться, что значение отката не зависит от выбора сечения: это можно сделать прямым расчетом.
Кэлерова форма этой метрики
где являются операторами Dolbeault . Возврат этого явно не зависит от выбора голоморфного сечения. Журнал количества | Z | 2 - кэлеров потенциал (иногда называемый кэлеровым скаляром) CP n .
В обозначениях скобочных координат
В квантовой механике метрика Фубини – Штуди также известна как метрика Буреса . [4] Однако метрика Буреса обычно определяется в обозначении смешанных состояний , тогда как описание ниже написано в терминах чистого состояния . Действительная часть метрики (в четыре раза больше) метрики информации Фишера . [4]
Метрика Фубини – Штуди может быть записана с использованием обозначений скобок, обычно используемых в квантовой механике . Чтобы явно приравнять эти обозначения к однородным координатам, данным выше, пусть
где набор ортонормированных базисных векторов для гильбертова пространства , комплексные числа, и стандартное обозначение точки в проективном пространстве в однородных координатах . Тогда, учитывая два балла а также в пространстве расстояние (длина геодезической) между ними равно
или, что то же самое, в обозначениях проективного многообразия,
Здесь, является комплексно сопряженным из. Появление в знаменателе - напоминание о том, что и аналогично не были нормированы на единицу длины; таким образом, нормализация здесь сделана явной. В гильбертовом пространстве метрику можно довольно тривиально интерпретировать как угол между двумя векторами; поэтому его иногда называют квантовым углом . Угол является действительным и изменяется от 0 до.
Бесконечно малую форму этой метрики можно быстро получить, взяв , или, что эквивалентно, чтобы получить
В контексте квантовой механики , CP 1 называется сферой Блоха ; метрика Фубини – Штуди является естественной метрикой для геометризации квантовой механики. Многие особенности поведения квантовой механики, включая квантовую запутанность и фазовый эффект Берри , можно отнести к особенностям метрики Фубини – Штуди.
П = 1 случай
При n = 1 существует диффеоморфизмдан стереографической проекцией . Это приводит к "специальному" Хопфу расслоения S 1 → S 3 → S 2 . Когда метрика Фубини – Штуди записана в координатах на CP 1 , ее ограничение на вещественное касательное расслоение дает выражение обычной «круглой метрики» радиуса 1/2 (и гауссовой кривизны 4) на S 2 .
А именно, если z = x + i y - стандартная карта аффинных координат на сфере Римана CP 1 и x = r cos θ, y = r sin θ - полярные координаты на C , то обычное вычисление показывает
где - круглая метрика на единичной двумерной сфере. Здесь φ, θ - « сферические координаты математика » на S 2, исходящие из стереографической проекции r tan (φ / 2) = 1, tan θ = y / x . (Во многих справочниках по физике роли φ и θ меняются местами.)
Кэлерова форма является
Выбирая как vierbeins а также , форма Кэлера упрощается до
Применяя звезду Ходжа к форме Кэлера, получаем
подразумевая, что K является гармоническим .
П = 2 случая
Метрика Фубини – Штуди на комплексной проективной плоскости CP 2 была предложена как гравитационный инстантон , гравитационный аналог инстантона . [5] [3] Метрика, форма соединения и кривизна легко вычисляются после того, как установлены подходящие реальные четырехмерные координаты. Письмодля вещественных декартовых координат затем определяются одноформы полярных координат на 4-сфере ( кватернионная проективная линия ) как
В - стандартный левоинвариантный одноформный координатный репер на группе Ли ; то есть они подчиняются для циклический.
Соответствующие локальные аффинные координаты равны а также затем предоставить
с обычными сокращениями, которые а также .
Элемент строки, начинающийся с ранее заданного выражения, задается следующим образом:
В vierbeins можно сразу считывать из последнего выражения:
То есть в системе координат Вирбейна с использованием нижних индексов латинскими буквами метрический тензор является евклидовым:
Учитывая vierbein, можно вычислить спин-связь ; спиновая связность Леви-Чивиты - это единственная связность без кручения и ковариантно постоянная, а именно одноформная удовлетворяющее условию без кручения
и ковариантно постоянна, что для спиновых связей означает, что она антисимметрична по индексам Вирбейна:
Вышеупомянутое легко решается; можно получить
2-форма кривизны определяется как
и постоянно:
Тензор Риччи в veirbein индексов задается
где 2-форма кривизны была разложена как четырехкомпонентный тензор:
Результирующий тензор Риччи постоянен
так что полученное уравнение Эйнштейна
можно решить с помощью космологической постоянной .
Тензор Вейля для метрик Фубини-исследование в целом дается
Для случая n = 2 две формы
самодвойственны:
Свойства кривизны
В частном случае n = 1 метрика Фубини – Штуди имеет постоянную секционную кривизну, тождественно равную 4, в соответствии с эквивалентностью круглой метрики 2-сферы (которая при заданном радиусе R имеет секционную кривизну). Однако при n > 1 метрика Фубини – Штуди не имеет постоянной кривизны. Его поперечная кривизна вместо этого определяется уравнением [6]
где ортонормированный базис 2-плоскости а, J : Т СР п → Т СР п представляет собой комплексную структуру на CP п , и - метрика Фубини – Штуди.
Следствием этой формулы является то, что секционная кривизна удовлетворяет для всех 2-х плоскостей . Максимальная секционная кривизна (4) достигается на голоморфной 2-плоскости - такой, для которой J (σ) ⊂ σ - в то время как минимальная секционная кривизна (1) достигается на 2-плоскости, для которой J (σ) ортогонален σ. По этой причине часто говорят, что метрика Фубини – Штуди имеет «постоянную голоморфную секционную кривизну», равную 4.
Это делает CP n (нестрогим) четверть защемленным многообразием ; Знаменитая теорема показывает, что односвязное n -многообразие со строго четвертьпинжатным расположением должно быть гомеоморфно сфере.
Метрика Фубини – Штуди также является метрикой Эйнштейна в том смысле, что она пропорциональна своему собственному тензору Риччи : существует постоянная; такой, что для всех i , j мы имеем
Это означает, среди прочего, что метрика Фубини – Штуди остается неизменной с точностью до скалярного кратного при потоке Риччи . Это также делает CP n незаменимым в общей теории относительности , где он служит нетривиальным решением вакуумных уравнений поля Эйнштейна .
Космологическая постоянная для CP n задается через размерность пространства:
Метрика продукта
Общие понятия отделимости применимы к метрике Фубини – Штуди. Точнее, метрика сепарабельна на естественном произведении проективных пространств - вложении Сегре . То есть, еслиявляется сепарабельным состоянием , поэтому его можно записать как, то метрика - это сумма метрики на подпространствах:
где а также - метрики на подпространствах A и B соответственно .
Соединение и кривизна
Тот факт, что метрика может быть получена из потенциала Кэлера, означает, что символы Кристоффеля и тензоры кривизны содержат множество симметрий, и им можно придать особенно простую форму: [7] Символы Кристоффеля в локальных аффинных координатах являются дано
Тензор Римана также особенно прост:
Тензор Риччи является
Произношение
Распространенная ошибка произношения, которую делают носители английского языка, - это предположение, что Study произносится так же, как глагол to study . Поскольку на самом деле это немецкое имя, правильный способ произносить u в Study - то же самое, что и u в Fubini . С точки зрения фонетики: ʃtuːdi.
Смотрите также
- Нелинейная сигма-модель
- Теория Калуцы – Клейна
- Высота Аракелова
Рекомендации
- ^ Г. Фубини, "Sulle metriche defined da una forme Hermitiana", (1904) Atti del Reale Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti , 63 стр. 502–513
- ^ Этюд, Э. (1905). "Kürzeste Wege im komplexen Gebiet". Mathematische Annalen (на немецком языке). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 60 (3): 321–378. DOI : 10.1007 / bf01457616 . ISSN 0025-5831 .
- ^ а б Егучи, Тору; Гилки, Питер Б.; Хэнсон, Эндрю Дж. (1980). «Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия» . Отчеты по физике . Elsevier BV. 66 (6): 213–393. DOI : 10.1016 / 0370-1573 (80) 90130-1 . ISSN 0370-1573 .
- ^ a b Паоло Факки, Рави Кулкарни, В.И. Манько, Джузеппе Мармо, ЭКГ Сударшан, Франко Вентрилья « Классическая и квантовая информация Фишера в геометрической формулировке квантовой механики » (2010), Physics Letters A 374 pp. 4801. doi : 10.1016 / j.physleta.2010.10.005
- ^ Егучи, Тору; Фройнд, Питер ГО (1976-11-08). «Квантовая гравитация и топология мира». Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 37 (19): 1251–1254. DOI : 10.1103 / physrevlett.37.1251 . ISSN 0031-9007 .
- ^ Сакаи, Т. Риманова геометрия , Переводы математических монографий № 149 (1995), Американское математическое общество.
- ^ Andrew J. Hanson, Ji-PingSha, " Визуализируя поверхность К3 " (2006)
- Бессе, Артур Л. (1987), многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], т. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. Xii + 510, ISBN 978-3-540-15279-8
- Броды, округ Колумбия; Хьюстон, Л.П. (2001), «Геометрическая квантовая механика», журнал геометрии и физики , 38 : 19–53, arXiv : Quant-ph / 9906086 , Bibcode : 2001JGP .... 38 ... 19B , doi : 10.1016 / S0393-0440 (00) 00052-8
- Гриффитс, П .; Харрис, Дж. (1994), Принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Wiley Interscience, стр. 30–31, ISBN 0-471-05059-8
- Онищик, А.Л. (2001) [1994], "Метрика Фубини – Штуди" , Энциклопедия математики , EMS Press.