В математике , особенно в приложениях линейной алгебры к физике , обозначение Эйнштейна или соглашение о суммировании Эйнштейна - это условное обозначение, которое подразумевает суммирование по набору проиндексированных членов в формуле, что обеспечивает краткость обозначений. Как часть математики, это подмножество обозначений исчисления Риччи ; однако он часто используется в приложениях в физике, которые не различают касательные и котангенсные пространства. Он был введен в физику Альбертом Эйнштейном в 1916 году. [1]
Введение [ править ]
Заявление о соглашении [ править ]
Согласно этому соглашению, когда индексная переменная встречается дважды в одном термине и не определяется иначе (см. Свободные и связанные переменные ), это подразумевает суммирование этого члена по всем значениям индекса. Таким образом, если индексы могут варьироваться в пределах набора {1, 2, 3} ,
упрощено соглашением до:
Верхние индексы не являются показателями, а являются индексами координат, коэффициентов или базисных векторов . То есть в этом контексте x 2 следует понимать как второй компонент x, а не как квадрат x (иногда это может приводить к двусмысленности). Верхняя позиция индекса в x i обусловлена тем, что обычно индекс встречается один раз в верхней (надстрочный) и один раз в нижней (подстрочной) позиции в термине (см. § Приложение ниже). Как правило, ( x 1 x 2 x 3 ) будет эквивалентно традиционному( x y z ) .
В общей теории относительности принято считать, что
- греческий алфавит используется для пространственных и временных компонентов, где индексы принимать значения 0, 1, 2 или 3 (часто используемые буквы μ , ν , ... ),
- латинский алфавит используется только для пространственных компонент, где индексы принимают значения 1, 2 или 3 (часто используемые буквы являются я , J , ... ),
В общем, индексы могут варьироваться по любому набору индексации , включая бесконечный набор . Это не следует путать с типографически похожим соглашением, используемым для различения нотации тензорного индекса и тесно связанной, но отличной от базисно-независимой нотации абстрактного индекса .
Суммируемый индекс является индексом суммирования , в данном случае « i ». Он также называется фиктивным индексом, поскольку любой символ может заменить « i » без изменения значения выражения при условии, что он не конфликтует с индексными символами в том же термине.
Индекс, который не суммируется, является бесплатным индексом и должен появляться только один раз за термин. Если такой индекс действительно появляется, он обычно также появляется в терминах, принадлежащих той же сумме, за исключением специальных значений, таких как ноль.
Примером связанного индекса является «i» в выражении , которое эквивалентно . Обратите внимание, что даже когда «i» появляется дважды в правой части уравнения, неявное суммирование не применяется.
Заявление [ править ]
Обозначения Эйнштейна можно применять несколько иначе. Как правило, каждый индекс встречается один раз в верхнем (верхний индекс) и один раз в нижнем (нижний) позициях в термине; однако это соглашение может применяться в более общем смысле к любым повторяющимся индексам в пределах термина. [2] При работе с ковариантными и контравариантными векторами, где позиция индекса также указывает тип вектора, обычно применяется первый случай; ковариантный вектор может быть сжат только с контравариантным вектором, соответствующим суммированию произведений коэффициентов. С другой стороны, когда есть фиксированный базис координат (или когда не рассматриваются координатные векторы), можно выбрать использование только индексов; см. § Верхние и нижние индексы по сравнению только с нижними индексами ниже.
Векторные представления [ править ]
Верхние и нижние индексы вместо только нижних индексов [ править ]
С точкой зрения Контравариантного Вектора ,
- верхние индексы представляют собой компоненты контравариантных векторов ( векторов ),
- нижние индексы представляют собой компоненты ковариантных векторов ( ковекторов ).
Они преобразуются контравариантно или ковариантно, соответственно, относительно изменения базиса.
Признавая этот факт, в следующих обозначениях используется один и тот же символ как для вектора или ковектора, так и для его компонентов , как в:
где v - вектор, а v i - его компоненты (не i- й ковектор v ), w - ковектор, а w i - его компоненты. Элементы базисного вектора - это каждый вектор-столбец, а базисные элементы ковектора - это ковекторы каждой строки. (См. Также абстрактное описание; двойственность ниже и примеры )
При наличии невырожденной формы (изоморфизм V → V ∗ , например, риманова метрика или метрика Минковского ) индексы можно повышать и понижать .
Базис дает такую форму (через двойственный базис ), поэтому при работе с ℝ n с евклидовой метрикой и фиксированным ортонормированным базисом можно работать только с индексами.
Однако, если изменить координаты, способ изменения коэффициентов зависит от дисперсии объекта, и нельзя игнорировать различие; см. ковариацию и контравариантность векторов .
Мнемоника [ править ]
В приведенном выше примере векторы представлены как матрицы размера n × 1 (векторы-столбцы), а ковекторы представлены как матрицы 1 × n (ковекторы строк).
При использовании соглашения о векторе столбца:
- « Up на индексы идут вверх вниз, л Ауэр индексы идут л EFT направо.»
- « Ко вариантные тензоры - это векторы- строки , у которых есть индексы, расположенные ниже ( co-row-below )».
- Ковекторы - это векторы-строки:
- Контравариантные векторы - это векторы-столбцы:
Описание аннотации [ править ]
Достоинство обозначений Эйнштейна в том, что они представляют инвариантные величины с помощью простых обозначений.
В физике скаляр инвариантен относительно преобразований базиса . В частности, скаляр Лоренца инвариантен относительно преобразования Лоренца. Отдельных терминов в сумме нет. При изменении базиса компоненты вектора изменяются линейным преобразованием, описываемым матрицей. Это привело Эйнштейна к предложению соглашения о том, что повторяющиеся индексы подразумевают, что суммирование должно производиться.
Что касается ковекторов, то они меняются обратной матрицей. Это сделано для того, чтобы гарантировать, что линейная функция, связанная с ковектором, сумма, указанная выше, одинакова, независимо от того, каков базис.
Ценность соглашения Эйнштейна в том, что оно применяется к другим векторным пространствам, построенным из V с использованием тензорного произведения и двойственности . Например, V ⊗ V , тензорное произведение V на себя, имеет базис, состоящий из тензоров вида e ij = e i ⊗ e j . Любой тензор T в V ⊗ V можно записать как:
- .
V * , двойственное к V , имеет базис e 1 , e 2 , ..., e n, который подчиняется правилу
где δ - символ Кронекера . Как
координаты строки / столбца на матрице соответствуют верхним / нижним индексам на тензорном произведении.
Общие операции в этой нотации [ править ]
В обозначениях Эйнштейна обычная ссылка на элемент A mn для m- й строки и n- го столбца матрицы A становится A m n . Тогда мы можем записать следующие операции в обозначениях Эйнштейна следующим образом.
Внутренний продукт (отсюда и векторный скалярный продукт ) [ править ]
Используя ортогональный базис , внутренний продукт представляет собой сумму соответствующих компонентов, умноженных вместе:
Это также можно вычислить, умножив ковектор на вектор.
Векторное произведение [ править ]
Опять же, используя ортогональный базис (в 3-х измерениях), перекрестное произведение по сути включает суммирование по перестановкам компонентов:
где
ε ijk - символ Леви-Чивиты , а δ il - обобщенная дельта Кронекера . Исходя из этого определения ε , между ε i jk и ε ijk нет разницы, кроме положения индексов.
Умножение матрицы на вектор [ править ]
Произведение матрицы A ij на вектор-столбец v j :
эквивалентно
Это частный случай умножения матриц.
Умножение матриц [ править ]
Матричное произведение двух матриц Ij и B JK является:
эквивалентно
След [ править ]
Для квадратной матрицы A i j след представляет собой сумму диагональных элементов, следовательно, сумму по общему индексу A i i .
Внешний продукт [ править ]
Внешнее произведение вектора-столбца u i на вектор-строку v j дает матрицу A размера m × n :
Поскольку i и j представляют два разных индекса, суммирование не производится, и индексы не удаляются при умножении.
Повышение и понижение индексов [ править ]
Учитывая тензор, можно поднять индекс или понизить индекс договаривающегося тензора с метрическим тензором , г μν . Например, возьмем тензор T α β , можно поднять индекс:
Или можно понизить индекс:
См. Также [ править ]
- Тензор
- Обозначение абстрактного индекса
- Обозначение Бра – Кет
- Графическое обозначение Пенроуза
- Символ Леви-Чивита
- Обозначение ДеВитта
Заметки [ править ]
- Это касается только числовых индексов. Для абстрактных индексов ситуация обратная . Затем сами векторы несут верхние абстрактные индексы, а ковекторы - нижние абстрактные индексы, как в примере во введении к этой статье. Элементы базиса векторов могут иметь нижний числовой индекс и верхний абстрактный индекс.
Ссылки [ править ]
- ^ Эйнштейн, Альберт (1916). «Основы общей теории относительности» . Annalen der Physik . Bibcode : 1916AnP ... 354..769E . DOI : 10.1002 / andp.19163540702 . Архивировано из оригинального ( PDF ) 29 августа 2006 года . Проверено 3 сентября 2006 .
- ^ «Суммирование Эйнштейна» . Wolfram Mathworld . Проверено 13 апреля 2011 года .
Библиография [ править ]
- Купцов, Л.П. (2001) [1994], "Правило Эйнштейна" , Энциклопедия математики , EMS Press.
Внешние ссылки [ править ]
В Викибуке Общая теория относительности есть страница по теме: Обозначение суммирования Эйнштейна. |
- Роулингс, Стив (01.02.2007). «Лекция 10 - Конвенция Эйнштейна о суммировании и тождества векторов» . Оксфордский университет. Архивировано из оригинала на 2017-01-06 . Проверено 2 июля 2008 .
- «Понимание einsum NumPy» . Переполнение стека .