Евклидово расстояние

Использование теоремы Пифагора для вычисления двумерного евклидова расстояния

В математике , то евклидово расстояние между двумя точками в евклидовом пространстве есть длина отрезка между двумя точками. Его можно вычислить из декартовых координат точек с помощью теоремы Пифагора , поэтому иногда его называют расстоянием Пифагора . Эти имена пришли от древнегреческих математиков Евклида и Пифагора , хотя Евклид не представлял расстояния в виде чисел, и связь теоремы Пифагора с вычислением расстояний не проводилась до 18 века.

Расстояние между двумя объектами, которые не являются точками, обычно определяется как наименьшее расстояние между парами точек от двух объектов. Формулы известны для вычисления расстояний между различными типами объектов, например расстояния от точки до линии . В высшей математике понятие расстояния было обобщено на абстрактные метрические пространства , и изучались другие расстояния, кроме евклидова. В некоторых приложениях статистики и оптимизации вместо самого расстояния используется квадрат евклидова расстояния.

Формулы расстояния [ править ]

Одно измерение [ править ]

Расстояние между любыми двумя точками на реальной прямой - это абсолютная величина числовой разности их координат. Таким образом, если и являются двумя точками на реальной прямой, то расстояние между ними определяется по формуле: ^[1] ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

{\ Displaystyle d (p, q) = | pq |.}

Более сложная формула, дающая то же значение, но более легко обобщающая на более высокие измерения: ^[1]

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(pq) ^ {2}}}.}

В этой формуле возведение в квадрат и извлечение квадратного корня оставляет любое положительное число неизменным, но заменяет любое отрицательное число его абсолютным значением. ^[1]

Два измерения [ править ]

На евклидовой плоскости пусть точка имеет декартовы координаты, а точка имеет координаты . Тогда расстояние между и определяется по формуле: ^[2] ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle (q_ {1}, q_ {2})}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

{\ displaystyle d (p, q) = {\ sqrt {(q_ {1} -p_ {1}) ^ {2} + (q_ {2} -p_ {2}) ^ {2}}}.}

Это можно увидеть, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику с горизонтальной и вертикальной сторонами, имеющим отрезок прямой от до в качестве гипотенузы. Две квадратные формулы внутри квадратного корня дают площади квадратов на горизонтальной и вертикальной сторонах, а внешний квадратный корень преобразует площадь квадрата на гипотенузе в длину гипотенузы. ^[3]

{\ displaystyle p}

{\ displaystyle q}

Также возможно вычислить расстояние для точек, заданных полярными координатами . Если полярные координаты are и полярные координаты are , то расстояние до них равно ^[2] ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle (г, \ тета)}$ ${\ displaystyle q}$ $(s,\psi )$

d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.

Когда и выражаются как комплексные числа на комплексной плоскости , можно использовать ту же формулу для одномерных точек, выраженных как действительные числа: ^[4] $p$ $q$

d(p,q)=|p-q|.

Высшие измерения [ править ]

Вывод формулы -мерного евклидова расстояния путем многократного применения теоремы Пифагора

n

В трех измерениях для точек, заданных их декартовыми координатами, расстояние равно

d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.

В общем, для точек, заданных декартовыми координатами в -мерном евклидовом пространстве, расстояние равно ^[5]

n

d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.

Объекты, отличные от точек [ править ]

Для пар объектов, которые не являются обеими точками, расстояние проще всего определить как наименьшее расстояние между любыми двумя точками от двух объектов, хотя также обычно используются более сложные обобщения от точек к множествам, такие как расстояние Хаусдорфа . ^[6] Формулы для вычисления расстояний между разными типами объектов включают:

Расстояние от точки до линии , в евклидовой плоскости ^[7]
Расстояние от точки до плоскости в трехмерном евклидовом пространстве ^[7]
Расстояние между двумя линиями в трехмерном евклидовом пространстве ^[8]

Свойства [ править ]

Евклидово расстояние является прототипом пример расстояния в метрическом пространстве , ^[9] и подчиняется все определяющие свойства метрического пространства: ^[10]

Это симметричное , а это означает , что для всех точек и , . То есть (в отличие от расстояния по дороге с улицами с односторонним движением) расстояние между двумя точками не зависит от того, какая из двух точек является началом, а какая - пунктом назначения. ^[10] $p$ $q$ $d(p,q)=d(q,p)$
Он положительный , что означает, что расстояние между каждыми двумя разными точками является положительным числом , а расстояние от любой точки до самой себя равно нулю. ^[10]
Он подчиняется неравенству треугольника : на каждые три очка , и , . Интуитивно понятно, что путешествие из пункта в другое не может быть короче, чем путешествие напрямую из пункта назначения . ^[10] $p$ $q$ $r$ $d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)$ $p$ $r$ $q$ $p$ $r$

Еще одно свойство, неравенство Птолемея , касается евклидовых расстояний между четырьмя точками , , , и . В нем говорится, что $p$ $q$ $r$ $s$

d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).

Для точек на плоскости это можно перефразировать как утверждение, что для каждого четырехугольника произведения противоположных сторон четырехугольника в сумме составляют, по крайней мере, такое же большое число, как произведение его диагоналей. Однако неравенство Птолемея в более общем смысле применяется к точкам в евклидовых пространствах любой размерности, независимо от того, как они расположены. ^[11] Евклидова дистанционная геометрия изучает свойства евклидова расстояния, такие как неравенство Птолемея, и их применение при проверке того, исходят ли заданные наборы расстояний из точек в евклидовом пространстве. ^[12]

Квадратное евклидово расстояние [ править ]

Параболоида , график квадрат евклидова расстояния от начала координат

Во многих приложениях, и в частности при сравнении расстояний, может быть удобнее опускать конечный квадратный корень при вычислении евклидовых расстояний. Значение, полученное в результате этого упущения, является квадратом евклидова расстояния и называется квадратом евклидова расстояния . ^[13] Уравнение можно выразить в виде суммы квадратов :

d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.

Помимо применения для сравнения расстояний, квадрат евклидова расстояния имеет центральное значение в статистике , где он используется в методе наименьших квадратов , стандартном методе подгонки статистических оценок к данным путем минимизации среднего квадрата расстояний между наблюдаемыми и оценочными значениями. . ^[14] Сложение квадратов расстояний друг к другу, как это делается при аппроксимации методом наименьших квадратов, соответствует операции над (неквадратными) расстояниями, называемой сложением Пифагора . ^[15] В кластерном анализе квадраты расстояний могут использоваться для усиления эффекта больших расстояний. ^[13]

Квадрат евклидова расстояния не образует метрическое пространство, так как не удовлетворяет неравенству треугольника. ^[16] Однако это гладкая, строго выпуклая функция двух точек, в отличие от расстояния, которое не является гладким (около пар равных точек) и выпуклым, но не строго выпуклым. Таким образом, квадрат расстояния является предпочтительным в теории оптимизации , поскольку он позволяет использовать выпуклый анализ . Поскольку возведение в квадрат является монотонной функцией неотрицательных значений, минимизация квадрата расстояния эквивалентна минимизации евклидова расстояния, поэтому задача оптимизации эквивалентна с точки зрения любого из них, но ее легче решить, используя квадрат расстояния. ^[17]

Совокупность всех квадратов расстояний между парами точек из конечного набора может храниться в матрице евклидовых расстояний и использоваться в этой форме в геометрии расстояний. ^[18]

Обобщения [ править ]

В более продвинутых областях математики, когда евклидово пространство рассматривается как векторное пространство , его расстояние связано с нормой, называемой евклидовой нормой , определяемой как расстояние каждого вектора от начала координат . Одно из важных свойств этой нормы по сравнению с другими нормами состоит в том, что она остается неизменной при произвольных поворотах пространства вокруг начала координат. ^[19] По теореме Дворецкого каждое конечномерное нормированное векторное пространство имеет многомерное подпространство, на котором норма приблизительно евклидова; евклидова норма - единственная норма с этим свойством. ^[20] Его можно расширить до бесконечномерных векторных пространств какL 2 норма или L ² расстояние. ^[21]

Другие распространенные расстояния в евклидовых пространствах и векторных пространствах низкой размерности включают: ^[22]

Расстояние Чебышева , которое измеряет расстояние с учетом только наиболее значимого измерения.
Манхэттенское расстояние , которое измеряет расстояние только по направлениям, выровненным по осям.
Расстояние Минковского - обобщение, объединяющее евклидово расстояние, манхэттенское расстояние и расстояние Чебышева.

Для точек на поверхности в трех измерениях евклидово расстояние следует отличать от геодезического расстояния, длины кратчайшей кривой, которая принадлежит поверхности. В частности, для измерения расстояний большого круга на Земле или других сферических или почти сферических поверхностях, расстояния, которые использовались, включают расстояние гаверсинуса, дающее расстояния большого круга между двумя точками на сфере от их долготы и широты, а также формулы Винсенти. также известное как «расстояние Винсента» для обозначения расстояния на сфероиде. ^[23]

История [ править ]

Евклидово расстояние - это расстояние в евклидовом пространстве ; обе концепции названы в честь древнегреческого математика Евклида , элементы которого стали стандартным учебником по геометрии на многие века. ^[24] Концепции длины и расстояния широко распространены в разных культурах, их можно отнести к самым ранним сохранившимся «протолитным» бюрократическим документам из Шумера в четвертом тысячелетии до нашей эры (задолго до Евклида) ^[25], и предполагается, что они возникли у детей раньше. чем связанные понятия скорости и времени. ^[26]Но понятие расстояния, как числа, определяемого двумя точками, на самом деле не встречается в « Элементах » Евклида . Вместо этого Евклид приближается к этой концепции неявно, через конгруэнтность отрезков прямой, через сравнение длин отрезков и через концепцию пропорциональности . ^[27]

Теорема Пифагора также древний, но это может занять только его центральную роль в измерении расстояний после изобретения декартовых координат по Рене Декарт в 1637 году формула для расстояния сама была впервые опубликована в 1731 Клеро . ^[28] Из-за этой формулы евклидово расстояние также иногда называют пифагоровым расстоянием. ^[29] Хотя точные измерения больших расстояний на поверхности земли, которые не являются евклидовыми, снова изучались во многих культурах с древних времен (см. Историю геодезии) идея о том, что евклидово расстояние может быть не единственным способом измерения расстояний между точками в математических пространствах, пришла еще позже, с формулировкой неевклидовой геометрии XIX века . ^[30] Определение евклидовой нормы и евклидова расстояния для геометрий более трех измерений также впервые появилось в 19 веке в работе Огюстена-Луи Коши . ^[31]

См. Также [ править ]

Евклидова топология

Ссылки [ править ]

^ a b c Смит, Карл (2013), Precalculus: функциональный подход к построению графиков и решению проблем , Jones & Bartlett Publishers, стр. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7
^ a b Коэн, Дэвид (2004), Precalculus: проблемно-ориентированный подход (6-е изд.), Cengage Learning, стр. 698, ISBN 978-0-534-40212-9
^ Aufmann, Ричард Н .; Баркер, Вернон С.; Нация, Ричард Д. (2007), Тригонометрия в колледже (6-е изд.), Cengage Learning, стр. 17, ISBN 978-1-111-80864-8
^ Андрееску, Титу; Андрица, Дорин (2014), «3.1.1 Расстояние между двумя точками», Комплексные числа от A до ... Z (2-е изд.), Birkhäuser, стр. 57–58, ISBN 978-0-8176-8415-0
^ Табак, Джон (2014), Геометрия: язык пространства и формы , Факты о математической библиотеке файлов, Издание информационной базы, стр. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0
^ Ó Searcóid, Mícheál (2006), «2.7 Расстояния от множеств до множеств», Метрические пространства , Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, pp. 29–30, ISBN 978-1-84628-627-8
^ a b Ballantine, JP; Джерберт, АР (апрель 1952 г.), «Расстояние от линии или плоскости до точки», Примечания в классе, American Mathematical Monthly , 59 (4): 242–243, DOI : 10.2307 / 2306514 , JSTOR 2306514
^ Белл, Роберт JT (1914), «49. Кратчайшее расстояние между двумя линиями» , Элементарный трактат о координатной геометрии трех измерений (2-е изд.), Macmillan, стр. 57–61
^ Иванов, Олег А. (2013), Easy as π ?: Введение в высшую математику , Springer, стр. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1
^ a b c d Стрихарц, Роберт С. (2000), Путь анализа , Jones & Bartlett Learning, стр. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0
↑ Адам, Джон А. (2017), «Глава 2. Введение в« физику »лучей» , « Лучи, волны и рассеяние: разделы классической математической физики» , Принстонская серия по прикладной математике, Princeton University Press, стр. 26 –27, DOI : 10.1515 / 9781400885404-004 , ISBN 978-1-4008-8540-4
^ Либерти, Лев; Лавор, Карлайл (2017), Евклидова дистанционная геометрия: Введение , Тексты для студентов Springer по математике и технологиям, Springer, стр. xi, ISBN 978-3-319-60792-4
^ a b Спенсер, Нил Х. (2013), «5.4.5 Евклидовы расстояния в квадрате» , Основы многомерного анализа данных , CRC Press, стр. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2
^ Рэндольф, Карен А .; Майерс, Лаура Л. (2013), Базовая статистика в многомерном анализе , Карманное руководство по методам исследования социальной работы, Oxford University Press, стр. 116, ISBN 978-0-19-976404-4
^ Moler, Клив и Дональд Morrison (1983), "Замена квадратных корней с помощью Пифагора сумм" (PDF) , IBM Журнал исследований и разработок , 27 (6): 577-581, CiteSeerX 10.1.1.90.5651 , DOI : 10,1147 / р.276.0577
^ Mielke, Пол В .; Берри, Кеннет Дж. (2000), «Методы перестановки на основе Евклидова расстояния в науке об атмосфере», у Брауна, Тимоти Дж .; Мильке, Пол В. мл. (Ред.), Статистический анализ и визуализация данных в атмосферных науках , Springer, стр. 7–27, DOI : 10.1007 / 978-1-4757-6581-6_2
Перейти ↑ Kaplan, Wilfred (2011), Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality , Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, 51 , John Wiley & Sons, p. 61, ISBN 978-1-118-03104-9
^ Альфаких, Абдо Ю. (2018), Евклидовы матрицы расстояний и их приложения в теории жесткости , Springer, стр. 51, ISBN 978-3-319-97846-8
↑ Копейкин Сергей; Ефроимский, Михаил; Каплан, Джордж (2011), Релятивистская небесная механика Солнечной системы , John Wiley & Sons, стр. 106, ISBN 978-3-527-63457-6
^ Матушек, Иржи (2002), Лекции по дискретной геометрии , Тексты для выпускников по математике , Springer, стр. 349, ISBN 978-0-387-95373-1
^ Ciarlet, Philippe G. (2013), Линейный и нелинейный функциональный анализ с приложениями , Общество промышленной и прикладной математики, стр. 173, ISBN 978-1-61197-258-0
^ Кламрот, Катрин (2002), «Раздел 1.1: Нормы и метрики», Проблемы размещения одного объекта с барьерами , Серия Springer в исследовании операций, Springer, стр. 4–6, doi : 10.1007 / 0-387-22707-5_1
^ Паниграхи, Нараян (2014), «12.2.4 Формула Хаверсина и 12.2.5 Формула Винсенти», Вычисления в географических информационных системах , CRC Press, стр. 212–214, ISBN 978-1-4822-2314-9
^ Чжан, Цзинь (2007), Визуализация для поиска информации , Springer, ISBN 978-3-540-75148-9
^ Høyrup, Jens (2018), "Месопотамские математики" (PDF) , в Джонс, Александр; Тауб, Либа (ред.), Кембриджская история науки, том 1: Древняя наука , издательство Кембриджского университета, стр. 58–72.
^ Акредоло, Курт; Schmid, Жанин (1981), "Понимание относительных скоростей, расстояний и длительностей движения", психологии развития , 17 (4): 490-493, DOI : 10,1037 / 0012-1649.17.4.490
^ Хендерсон, Дэвид У. (2002), «Обзор геометрии: Евклид и Beyond Робин Хартшорна» , Бюллетень Американского математического общества , 39 : 563-571, DOI : 10,1090 / S0273-0979-02-00949-7
^ Маор, Эли (2019), Теорема Пифагора: 4000-летняя история , Princeton University Press, стр. 133–134, ISBN 978-0-691-19688-6
^ Ранкин, Уильям С .; Маркли, Роберт П .; Эванс, Селби Х. (март 1970), "Пифагора расстояние и судить сходство схематических стимулов", Восприятие & Психофизика , 7 (2): 103-107, DOI : 10,3758 / bf03210143 , S2CID 144797925
^ Милнор, Джон (1982), "гиперболической геометрии: первые 150 лет", Бюллетень Американского математического общества , 6 (1): 9-24, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1982-14958-8 , MR 0634431
Перейти ↑ Ratcliffe, John G. (2019), Foundations of Hyperbolic Manifolds , Graduate Texts in Mathematics , 149 (3 ed.), Springer, p. 32, ISBN 978-3-030-31597-9

[smith-1] Смит, Карл (2013), Precalculus: функциональный подход к построению графиков и решению проблем , Jones & Bartlett Publishers, стр. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7

[cohen-2] Коэн, Дэвид (2004), Precalculus: проблемно-ориентированный подход (6-е изд.), Cengage Learning, стр. 698, ISBN 978-0-534-40212-9

[3] Aufmann, Ричард Н .; Баркер, Вернон С.; Нация, Ричард Д. (2007), Тригонометрия в колледже (6-е изд.), Cengage Learning, стр. 17, ISBN 978-1-111-80864-8

[4] Андрееску, Титу; Андрица, Дорин (2014), «3.1.1 Расстояние между двумя точками», Комплексные числа от A до ... Z (2-е изд.), Birkhäuser, стр. 57–58, ISBN 978-0-8176-8415-0

[5] Табак, Джон (2014), Геометрия: язык пространства и формы , Факты о математической библиотеке файлов, Издание информационной базы, стр. 150, ISBN 978-0-8160-6876-0

[6] Ó Searcóid, Mícheál (2006), «2.7 Расстояния от множеств до множеств», Метрические пространства , Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer, pp. 29–30, ISBN 978-1-84628-627-8

[baljer-7] Ballantine, JP; Джерберт, АР (апрель 1952 г.), «Расстояние от линии или плоскости до точки», Примечания в классе, American Mathematical Monthly , 59 (4): 242–243, DOI : 10.2307 / 2306514 , JSTOR 2306514

[8] Белл, Роберт JT (1914), «49. Кратчайшее расстояние между двумя линиями» , Элементарный трактат о координатной геометрии трех измерений (2-е изд.), Macmillan, стр. 57–61

[9] Иванов, Олег А. (2013), Easy as π ?: Введение в высшую математику , Springer, стр. 140, ISBN 978-1-4612-0553-1

[strichartz-10] Стрихарц, Роберт С. (2000), Путь анализа , Jones & Bartlett Learning, стр. 357, ISBN 978-0-7637-1497-0

[11] Адам, Джон А. (2017), «Глава 2. Введение в« физику »лучей» , « Лучи, волны и рассеяние: разделы классической математической физики» , Принстонская серия по прикладной математике, Princeton University Press, стр. 26 –27, DOI : 10.1515 / 9781400885404-004 , ISBN 978-1-4008-8540-4

[12] Либерти, Лев; Лавор, Карлайл (2017), Евклидова дистанционная геометрия: Введение , Тексты для студентов Springer по математике и технологиям, Springer, стр. xi, ISBN 978-3-319-60792-4

[spencer-13] Спенсер, Нил Х. (2013), «5.4.5 Евклидовы расстояния в квадрате» , Основы многомерного анализа данных , CRC Press, стр. 95, ISBN 978-1-4665-8479-2

[14] Рэндольф, Карен А .; Майерс, Лаура Л. (2013), Базовая статистика в многомерном анализе , Карманное руководство по методам исследования социальной работы, Oxford University Press, стр. 116, ISBN 978-0-19-976404-4

[15] Moler, Клив и Дональд Morrison (1983), "Замена квадратных корней с помощью Пифагора сумм" (PDF) , IBM Журнал исследований и разработок , 27 (6): 577-581, CiteSeerX 10.1.1.90.5651 , DOI : 10,1147 / р.276.0577

[16] Mielke, Пол В .; Берри, Кеннет Дж. (2000), «Методы перестановки на основе Евклидова расстояния в науке об атмосфере», у Брауна, Тимоти Дж .; Мильке, Пол В. мл. (Ред.), Статистический анализ и визуализация данных в атмосферных науках , Springer, стр. 7–27, DOI : 10.1007 / 978-1-4757-6581-6_2

[17] Перейти ↑ Kaplan, Wilfred (2011), Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality , Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization, 51 , John Wiley & Sons, p. 61, ISBN 978-1-118-03104-9

[18] Альфаких, Абдо Ю. (2018), Евклидовы матрицы расстояний и их приложения в теории жесткости , Springer, стр. 51, ISBN 978-3-319-97846-8

[19] Копейкин Сергей; Ефроимский, Михаил; Каплан, Джордж (2011), Релятивистская небесная механика Солнечной системы , John Wiley & Sons, стр. 106, ISBN 978-3-527-63457-6

[20] Матушек, Иржи (2002), Лекции по дискретной геометрии , Тексты для выпускников по математике , Springer, стр. 349, ISBN 978-0-387-95373-1

[21] Ciarlet, Philippe G. (2013), Линейный и нелинейный функциональный анализ с приложениями , Общество промышленной и прикладной математики, стр. 173, ISBN 978-1-61197-258-0

[22] Кламрот, Катрин (2002), «Раздел 1.1: Нормы и метрики», Проблемы размещения одного объекта с барьерами , Серия Springer в исследовании операций, Springer, стр. 4–6, doi : 10.1007 / 0-387-22707-5_1

[23] Паниграхи, Нараян (2014), «12.2.4 Формула Хаверсина и 12.2.5 Формула Винсенти», Вычисления в географических информационных системах , CRC Press, стр. 212–214, ISBN 978-1-4822-2314-9

[24] Чжан, Цзинь (2007), Визуализация для поиска информации , Springer, ISBN 978-3-540-75148-9

[25] Høyrup, Jens (2018), "Месопотамские математики" (PDF) , в Джонс, Александр; Тауб, Либа (ред.), Кембриджская история науки, том 1: Древняя наука , издательство Кембриджского университета, стр. 58–72.

[26] Акредоло, Курт; Schmid, Жанин (1981), "Понимание относительных скоростей, расстояний и длительностей движения", психологии развития , 17 (4): 490-493, DOI : 10,1037 / 0012-1649.17.4.490

[27] Хендерсон, Дэвид У. (2002), «Обзор геометрии: Евклид и Beyond Робин Хартшорна» , Бюллетень Американского математического общества , 39 : 563-571, DOI : 10,1090 / S0273-0979-02-00949-7

[28] Маор, Эли (2019), Теорема Пифагора: 4000-летняя история , Princeton University Press, стр. 133–134, ISBN 978-0-691-19688-6

[29] Ранкин, Уильям С .; Маркли, Роберт П .; Эванс, Селби Х. (март 1970), "Пифагора расстояние и судить сходство схематических стимулов", Восприятие & Психофизика , 7 (2): 103-107, DOI : 10,3758 / bf03210143 , S2CID 144797925

[30] Милнор, Джон (1982), "гиперболической геометрии: первые 150 лет", Бюллетень Американского математического общества , 6 (1): 9-24, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1982-14958-8 , MR 0634431

[31] Перейти ↑ Ratcliffe, John G. (2019), Foundations of Hyperbolic Manifolds , Graduate Texts in Mathematics , 149 (3 ed.), Springer, p. 32, ISBN 978-3-030-31597-9

[1]