В математике ложная проективная плоскость (или поверхность Мамфорда ) - это одна из 50 комплексных алгебраических поверхностей, которые имеют те же числа Бетти, что и проективная плоскость , но не изоморфны ей. Такие объекты всегда являются алгебраическими поверхностями общего типа .
История [ править ]
Севери спросил, существует ли комплексная поверхность, гомеоморфная проективной плоскости, но не биголоморфная ей. Яу (1977) показал, что такой поверхности не существует, поэтому наиболее близким приближением к проективной плоскости, которое может быть, будет поверхность с такими же числами Бетти ( b 0 , b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) = ( 1,0,1,0,1) как проективную плоскость. Первый пример был найден Мамфордом (1979) с использованием p -адической униформизации.введен независимо Курихарой и Мустафиным. Мамфорд также заметил, что результат Яу вместе с теоремой Вейля о жесткости дискретных кокомпактных подгрупп в PU (1,2) означает, что существует только конечное число ложных проективных плоскостей. Исида и Като (1998) нашли еще два примера, используя аналогичные методы, а Кеум (2006) нашел пример с автоморфизмом 7-го порядка, бирациональным циклическому покрытию 7-й степени поверхности Долгачева . Прасад и Йунг (2007) , Прасад и Йунг (2010)нашли систематический способ классификации всех фальшивых проективных плоскостей, показав, что существует двадцать восемь классов, каждый из которых содержит по крайней мере пример фальшивой проективной плоскости с точностью до изометрии, и что может быть максимум пять других классов, которые были позже показано, что не существует. Проблема перечисления всех ложных проективных плоскостей сводится к перечислению всех подгрупп соответствующего индекса явно заданной решетки, связанной с каждым классом. Расширяя эти вычисления, Картрайт и Стегер (2010) показали, что двадцать восемь классов исчерпывают все возможности для ложных проективных плоскостей и что всего имеется 50 примеров, определенных с точностью до изометрии, или 100 поддельных проективных плоскостей с точностью до биголоморфизма.
Поверхность общего типа с теми же числами Бетти, что и минимальная поверхность не общего типа, должна иметь числа Бетти либо проективной плоскости P 2, либо квадрики P 1 × P 1 . Шавел (1978) построил некоторые «поддельные квадрики»: поверхности общего типа с теми же числами Бетти, что и квадрики. Поверхности Бовиля дают дополнительные примеры.
Многомерные аналоги фальшивых проективных поверхностей называются фальшивыми проективными пространствами .
Фундаментальная группа [ править ]
Как следствие работы Обена и Яу по решению гипотезы Калаби в случае отрицательной кривизны Риччи, см. Яу ( 1977 , 1978 ), любая фальшивая проективная плоскость является фактором комплексного единичного шара в 2 измерениях по дискретной подгруппе , которая является фундаментальной группой ложной проективной плоскости. Таким образом , эта фундаментальная группа должна быть кручения и кокомпактная дискретная подгруппа PU (2,1) из уравнений Эйлера-Пуанкаре характеристического 3. Klingler (2003) и Yeung (2004) показали , что эта фундаментальная группа должна также быть арифметической группой .Результаты Мостова о сильной жесткости подразумевают, что фундаментальная группа определяет ложную плоскость в строгом смысле, что любая компактная поверхность с той же фундаментальной группой должна быть ей изометрична.
Две ложные проективные плоскости определяются как принадлежащие к одному классу, если их фундаментальные группы содержатся в одной и той же максимальной арифметической подгруппе автоморфизмов единичного шара. Prasad & Yeung (2007) , Prasad & Yeung (2010) использовали формулу объема для арифметических групп из ( Prasad 1989 ), чтобы перечислить 28 непустых классов ложных проективных плоскостей и показать, что может быть не более пяти дополнительных классов, которые не являются ожидается, что будет существовать. (См. Приложение к документу, в котором классификация была уточнена и исправлены некоторые ошибки в исходной статье.) Cartwright & Steger (2010)проверил, что пяти дополнительных классов действительно не существует, и перечислил все возможности в пределах двадцати восьми классов. Существует ровно 50 ложных проективных плоскостей, классифицированных с точностью до изометрии, и, следовательно, 100 различных ложных проективных плоскостей, классифицированных с точностью до биголоморфизма.
Фундаментальная группа ложной проективной плоскости является арифметической подгруппой в PU (2,1). Напишите k для ассоциированного числового поля (полностью вещественное поле) и G для ассоциированной k -формы PU (2,1). Если l - квадратичное расширение поля k, над которым G - внутренняя форма, то l - полностью мнимое поле. Существует алгебра с делением D с центром l и степенью над l 3 или 1, с инволюцией второго рода, которая ограничивается нетривиальным автоморфизмом l над k , и нетривиальной эрмитовой формойна модуле над D размерности 1 или 3 такой, что G - специальная унитарная группа этой эрмитовой формы. (Как следствие Prasad & Yeung (2007) и работы Картрайта и Стегера, D имеет степень 3 над l, а модуль имеет размерность 1 над D. ) Существует одно реальное место k такое, что точки G образуют копия PU (2,1), а по всем остальным действительным точкам k они образуют компактную группу PU (3).
Из результата Prasad & Yeung (2007) группа автоморфизмов поддельной проективной плоскости является либо циклической группой порядка 1, 3 или 7, либо нециклической группой порядка 9, либо неабелевой группой порядка 21. Факторы ложных проективных плоскостей по этим группам изучались Кеумом (2008), а также Картрайтом и Стегером (2010) .
Список 50 фальшивых проективных плоскостей [ править ]
| k | л | Т | индекс | Поддельные проективные плоскости |
|---|---|---|---|---|
| Q | Q ( √ −1 ) | 5 | 3 | 3 фейковых самолета в 3-х классах |
| Q ( √ −2 ) | 3 | 3 | 3 фейковых самолета в 3-х классах | |
| Q ( √ −7 ) | 2 | 21 год | 7 фейковых самолетов в 2-х классах. Один из этих классов содержит примеры Мамфорда и Кеума. | |
| 2, 3 | 3 | 4 фейковых самолета в 2-х классах | ||
| 2, 5 | 1 | 2 фейковых самолета в 2-х классах | ||
| Q ( √ −15 ) | 2 | 3 | 10 фальшивых самолетов 4 классов, включая образцы, основанные Исидой и Като. | |
| Q ( √ −23 ) | 2 | 1 | 2 фейковых самолета в 2-х классах | |
| Q ( √ 2 ) | Q ( √ −7 + 4 √ 2 ) | 2 | 3 | 2 фейковых самолета в 2-х классах |
| Q ( √ 5 ) | Q ( √ 5 , ζ 3 ) | 2 | 9 | 7 фейковых самолетов в 2-х классах |
| Q ( √ 6 ) | Q ( √ 6 , ζ 3 ) | 2 или 2,3 | 1 или 3 или 9 | 5 фейковых самолетов в 3-х классах |
| Q ( √ 7 ) | Q ( √ 7 , ζ 4 ) | 2 или 3,3 | 21 или 3,3 | 5 фейковых самолетов в 3-х классах |
- k - вполне реальное поле.
- l - полностью мнимое квадратичное расширение k , а ζ 3 - кубический корень из 1.
- T - множество простых чисел числа k, в котором некоторая локальная подгруппа не является гиперспециальной.
- index - это индекс фундаментальной группы в определенной арифметической группе.
Ссылки [ править ]
- Картрайт, Дональд I .; Стегер, Тим (2010), «Перечисление 50 фальшивых проективных плоскостей», Comptes Rendus Mathématique , 348 (1): 11–13, DOI : 10.1016 / j.crma.2009.11.016
- Исида, Маса-Нори; Като, Fumiharu (1998), "Сильная теорема жесткости для неархимедовой униформизации", Тохоку математический журнал , вторая серия, 50 (4): 537-555, DOI : 10,2748 / TMJ / 1178224897 , MR 1653430
- Кеум, Чон Хэ (2006), «Поддельная проективная плоскость с автоморфизмом порядка 7», Топология , 45 (5): 919–927, arXiv : math / 0505339 , doi : 10.1016 / j.top.2006.06.006 , MR 2239523
- Кеум, Чон Хэ (2008), «Коэффициенты поддельных проективных плоскостей», Геометрия и топология , 12 (4): 2497–2515, arXiv : 0802.3435 , doi : 10.2140 / gt.2008.12.2497 , MR 2443971
- Клинглер, Бруно (2003), «Sur la жесткость определенных групп fondamentaux, l'arithméticité des réseaux hyperboliques complex, et les faux plan projectifs», Inventiones Mathematicae , 153 (1): 105–143, Bibcode : 2003InMat.153 .. 105K , DOI : 10.1007 / s00222-002-0283-2 , МР 1990668
- Куликов Вик. S .; Харламов В.М. О реальных конструкциях на жестких поверхностях // Российская академия наук. Известия. Серия Математическая , 66 (1): 133–152, arXiv : math / 0101098 , Bibcode : 2002IzMat..66..133K , doi : 10.1070 / IM2002v066n01ABEH000374 , MR 1917540
- Мамфорд, Дэвид (1979), "Алгебраическое поверхность с достаточным количеством K, (K 2 ) = 9, р г = д = 0" , Американский журнал математики , 101 (1): 233-244, DOI : 10,2307 / 2373947 , JSTOR 2373947 , MR 0527834
- Прасад Гопал (1989), "Объемы S-арифметических дробей полупростых групп" , публикации Mathématiques де l'IHES , 69 (69): 91-117, DOI : 10.1007 / BF02698841 , MR 1019962
- Прасад, Гопал; Йунг, Сай-Ки (2007), «Поддельные проективные плоскости», Inventiones Mathematicae , 168 (2): 321–370, arXiv : math / 0512115 , Bibcode : 2007InMat.168..321P , doi : 10.1007 / s00222-007- 0034-5 , Руководство MR 2289867
- Прасад, Гопал; Йунг, Сай-Ки (2010), «Дополнение к« Поддельным проективным плоскостям » », Inventiones Mathematicae , 182 (1): 213–227, arXiv : 0906.4932 , Bibcode : 2010InMat.182..213P , doi : 10.1007 / s00222- 010-0259-6 , Руководство по ремонту 2672284
- Реми, Р. (2007), Covolume des groupes S-arith meiques et faux plan projectifs, (d'apres Mumford, Prasad, Klingler, Yeung, Prasad-Yeung) (PDF) , Séminaire Bourbaki, 984 , заархивировано с оригинала ( PDF) от 09.06.2011 , дата обращения 08.05.2009.
- Шавель, Ир Х. (1978), «Класс алгебраических поверхностей общего типа , построенный из кватернионов алгебров» , Тихоокеанский журнал математики , 76 (1): 221-245, DOI : 10,2140 / pjm.1978.76.221 , МР 0572981
- Яу, Шинг Тунг (1977), «Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 74 (5): 1798–1799, Bibcode : 1977PNAS ... 74.1798 Y , DOI : 10.1073 / pnas.74.5.1798 , JSTOR 67110 , МР 0451180 , КУП 431004 , PMID 16592394
- Яу, Шинга Танг (1978), «О кривизны Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексного уравнения Монжа-Ампера я.», Коммуникации на чистой и прикладной математики , 31 (3): 339-411, DOI : 10.1002 / СРА .3160310304 , Руководство по ремонту 0480350
- Енг, Sai-Kee (2004), «Целостность и арифметичность ко-компактной решетка , соответствующей определенному сложным два-шариковой частных Пикар номер один» , Азиатский журнал математика , 8 (1): 107-129, DOI : 10,4310 /ajm.2004.v8.n1.a9 , MR 2128300
- Юнг, Сай-Ки (2010), "Классификация ложных проективных плоскостей" , Справочник по геометрическому анализу, № 2 , Adv. Лект. Математика. (ALM), 13 , Междунар. Press, Somerville, MA, стр. 391–431, MR 2761486
Внешние ссылки [ править ]
- Прасад, Гопал, Поддельные проективные пространства
