В алгебре , А модуль кручения является модулем над кольцом таким образом, что нуль является единственным элементом уничтожены путем регулярного элемента (не нулевой делитель ) кольца. Другими словами, модуль не имеет кручения, если его подмодуль кручения сведен к нулевому элементу.
В областях целостности регулярными элементами кольца являются его ненулевые элементы, поэтому в этом случае модуль без кручения - это такой модуль, что нуль является единственным элементом, аннулируемым некоторым ненулевым элементом кольца. Некоторые авторы работают только над областями целостности и используют это условие как определение модуля без кручения, но это не работает хорошо для более общих колец, поскольку, если кольцо содержит делители нуля, то единственный модуль, удовлетворяющий этому условию, - это нулевой модуль. модуль .
Примеры модулей без кручения
Над коммутативным кольцом R с тотальным кольцом частных K модуль M не имеет кручения тогда и только тогда, когда Tor 1 ( K / R , M ) равен нулю. Следовательно, плоские модули , и в частности свободные и проективные модули, не имеют кручения, но обратное не обязательно. Примером модуля без кручения, который не является плоским, является идеал ( x , y ) кольца многочленов k [ x , y ] над полем k , интерпретируемый как модуль над k [ x , y ].
Любой модуль без кручения является модулем без кручения, но обратное неверно, поскольку Q является Z -модулем без кручения, который не является модулем без кручения.
Конструкция модулей без кручения
В нётеровой области целостности модули без кручения - это модули, у которых единственный ассоциированный простой номер равен нулю. В более общем смысле, над нётеровым коммутативным кольцом модули без кручения - это те модули, все ассоциированные простые числа которых содержатся в ассоциированных простых числах кольца.
Над нётеровой целозамкнутой областью любой конечно-порожденный модуль без кручения имеет такой свободный подмодуль, что фактор по нему изоморфен идеалу кольца.
Над дедекиндовской областью конечно порожденный модуль не имеет кручения тогда и только тогда, когда он проективен, но, вообще говоря, не свободен. Любой такой модуль изоморфен сумме конечно порожденного свободного модуля и идеала, и класс идеала определяется модулем однозначно.
В области главных идеалов конечно порожденные модули не имеют кручения тогда и только тогда, когда они свободны.
Крышки без кручения
Над области целостности, каждый модуль М имеет кручение крышки F → M от кручения модуля F на М , со свойствами , что любое другое кручением отображения модуля на M факторы через F , и любой эндоморфизм из F над М представляет собой автоморфизм из F . Такое покрытие M без кручения единственно с точностью до изоморфизма. Крышки без кручения тесно связаны с плоскими крышками .
Квазикогерентные пучки без кручения
Квазикогерентный пучок F над схемой X представляет собой пучок из-модули такие, что для любой открытой аффинной подсхемы U = Spec ( R ) ограничение F | U будет связан с каким - то модулем М над R . Пучок F называется без кручения, если все эти модули M не имеют кручения над соответствующими кольцами. В качестве альтернативы F не имеет кручения тогда и только тогда, когда у него нет локальных торсионных участков. [1]
Смотрите также
- Кручение (алгебра)
- абелева группа без кручения
- абелева группа без кручения ранга 1 ; теория классификации существует для этого класса.
Рекомендации
- "Модуль без кручения" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Матлис, Эбен (1972), модули без кручения , The University of Chicago Press, Chicago-London, MR 0344237
- Авторы проекта Stacks, проект Stacks