Плоский модуль

---

В алгебре плоский модуль над кольцом R — это R - модуль M , такой, что тензорное произведение над R на M сохраняет точные последовательности . Модуль является точно плоским , если произведение тензора на последовательность дает точную последовательность тогда и только тогда, когда исходная последовательность точна.

Плоскостность была введена Жан-Пьером Серром  ( 1956 ) в его статье «Геометрия алгебраическая и аналитическая геометрия» . См. также плоский морфизм .

Модуль M над кольцом R называется плоским , если выполнено следующее условие: для всякого инъективного линейного отображения R -модулей отображение${\ displaystyle \ varphi: K \ to L}$

также инъективно, где отображение, индуцированное${\ Displaystyle \ varphi \ otimes _ {R} M}$${\ Displaystyle к \ otimes м \ mapsto \ varphi (k) \ otimes м.}$

Для этого определения достаточно ограничить вложения включениями конечно порожденных идеалов в R .${\ Displaystyle \ варфи}$

Эквивалентно, R -модуль M является плоским, если тензорное произведение с M является точным функтором ; то есть, если для каждой короткой точной последовательности R -модулей последовательность также точна. (Это эквивалентное определение, поскольку тензорное произведение является точным справа функтором .)${\ Displaystyle 0 \ стрелка вправо К \ стрелка вправо L \ стрелка вправо J \ стрелка вправо 0,}$${\ Displaystyle 0 \ стрелка вправо К \ otimes _ {R} М \ стрелка вправо L \ otimes _ {R} М \ стрелка вправо J \ otimes _ {R} М \ стрелка вправо 0}$

---