В математике , особенно в гомологической алгебре , точный функтор - это функтор, который сохраняет короткие точные последовательности . Точные функторы удобны для алгебраических вычислений, потому что их можно напрямую применять к представлениям объектов. Большая часть работы в гомологической алгебре предназначена для работы с функторами, которые не могут быть точными, но которые все еще можно контролировать.
Определения
Пусть P и Q - абелевы категории , и пусть F : P → Q - ковариантный аддитивный функтор (так что, в частности, F (0) = 0 ). Мы говорим, что F - точный функтор, если всякий раз, когда
является короткая точная последовательность в P , то
является короткой точной последовательностью в Q . (Карты часто опускаются и подразумеваются, и говорят: «если 0 → A → B → C → 0 точно, то 0 → F (A) → F (B) → F (C) → 0 также точно» .)
Далее, мы говорим, что F является
- точно слева, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, то 0 → F (A) → F (B) → F (C) точно;
- точно вправо, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, то F (A) → F (B) → F (C) → 0 точно;
- наполовину точный, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 является точным, то F (A) → F (B) → F (C) является точным. Это отличается от понятия топологического полуточного функтора .
Если G - контравариантный аддитивный функтор из P в Q , мы аналогичным образом определяем G как
- точным, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, то 0 → G (C) → G (B) → G (A) → 0 точно;
- точно слева, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, то 0 → G (C) → G (B) → G (A) точно;
- точно справа, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 является точным, то G (C) → G (B) → G (A) → 0 является точным;
- наполовину точный, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 является точным, то G (C) → G (B) → G (A) является точным.
Не всегда необходимо начинать с короткой точной последовательности 0 → A → B → C → 0, чтобы сохранить некоторую точность. Следующие определения эквивалентны приведенным выше:
- F является точным тогда и только тогда, когда A → B → C точный влечет F (A) → F (B) → F (C) точный;
- F является точным слева тогда и только тогда, когда 0 → A → B → C точный влечет 0 → F (A) → F (B) → F (C) точный (т.е. если « F превращает ядра в ядра»);
- F является точным справа тогда и только тогда, когда A → B → C → 0 точный влечет F (A) → F (B) → F (C) → 0 точный (т.е. если « F превращает коядра в коядра»);
- G является точен слева тогда и только тогда , когда → B → C → 0 точный означает 0 → G (C) → G (B) → G (A) точно (т.е. если " G оказывается коядра в ядрах");
- G является правым точным тогда и только тогда , когда 0 → → B → C точном означает G (C) → G (B) → G (A) → 0 точного (т.е. если " G превращает ядра Into коядер").
Примеры
Всякая эквивалентность или двойственность абелевых категорий точна.
Самыми основными примерами точных слева функторов являются функторы Hom: если A - абелева категория и A - объект из A , то F A ( X ) = Hom A ( A , X ) определяет ковариантный точный слева функтор из A в категории Ab из абелевых групп . [1] Функтор F точно тогда и только тогда , когда является проективным . [2] Функтор G A ( X ) = Hom A ( X , A ) является контравариантным точным слева функтором; [3] точно тогда и только тогда , когда является инъективны . [4]
Если k - поле, а V - векторное пространство над k , мы пишем V * = Hom k ( V , k ) (это обычно называется двойственным пространством ). Это дает контравариантный точный функтор из категории k -векторных пространств в себя. (Точность следует из сказанного выше: k - инъективный k -модуль. В качестве альтернативы можно утверждать, что каждая короткая точная последовательность k -векторных пространств расщепляется , и любой аддитивный функтор превращает расщепленные последовательности в расщепляемые последовательности.)
Если X является топологическим пространством , мы можем рассмотреть абелеву категорию всех пучков абелевых групп на X . Ковариантный функтор, который ставит в соответствие каждому пучку F группу глобальных сечений F ( X ), точен слева.
Если R представляет собой кольцо и Т является правым R - модуль , мы можем определить функтор H T из абелевой категории всех левых R - модулей к Ab , используя тензорное произведение над R : H T ( X ) = T ⊗ X . Это ковариантный точный справа функтор; это точно , если и только если Т является плоским . Другими словами, если дана точная последовательность A → B → C → 0 левых R- модулей, последовательность абелевых групп T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 точна.
Например, это квартира -модуль. Следовательно, тензор с как -модуль - точный функтор. Доказательство. Достаточно показать, что если i - инъективное отображение-модули , то соответствующее отображение тензорных произведений инъективно. Можно показать, что если и только если является элементом кручения или . У данных тензорных произведений есть только чистые тензоры. Поэтому достаточно показать, что если чистый тензорнаходится в ядре, то он равен нулю. Предположим, что- ненулевой элемент ядра. Потом,торсионный. С инъективен, торсионный. Следовательно,, противоречие. Следовательно, также инъективен.
В общем, если T не является плоским, то тензорное произведение не остается точным. Например, рассмотрим короткую точную последовательность-модули . Tensoring over с участием дает последовательность, которая уже не является точной, поскольку не имеет скручивания и, следовательно, не является плоским.
Если A - абелева категория, а C - произвольная малая категория , мы можем рассматривать категорию функторов A C, состоящую из всех функторов из C в A ; это абелева. Если X является данным объектом С , то мы получим функтор Х X от A C к A по оценке функторов на X . Этот функтор E X точен.
Хотя тензор не может быть точным слева, можно показать, что тензор является точным справа функтором:
Теорема: Пусть A, B, C и P - R- модули для коммутативного кольца R, имеющего мультипликативную единицу. Позволять
быть короткая точная последовательность из R модулей, то
- также короткая точная последовательность из R модулей. (Поскольку R коммутативно, эта последовательность является последовательностью модулей R, а не просто абелевых групп). Здесь мы определяем: .
Отсюда можно сделать полезное следствие: если I - идеал в R, а P такой же, как указано выше, то
Доказательство: :, где f - включение, а g - проекция, - точная последовательность R модулей. Из вышесказанного мы получаем, что:также короткая точная последовательность из R модулей. По точности,, поскольку f - включение. Теперь рассмотрим гомоморфизм R- модулей иззаданный R, линейно продолжающий отображение, определенное на чистых тензорах: подразумевает, что . Итак, ядро этого отображения не может содержать никаких ненулевых чистых тензоров. состоит только из чистых тензоров: Для . Итак, эта карта инъективна. Это явно на. Так,. По аналогии,. Следствие доказано.
В качестве другого приложения мы покажем это для, где и n - наибольшая степень деления m на 2 . Докажем частный случай: m = 12 .
Доказательство: рассмотрим чистый тензор. . Также для. Это показывает, что. Сдача, A, B, C, P являются модулями R = Z обычным действием умножения и удовлетворяют условиям основной теоремы. По точности, вытекающей из теоремы, и из упомянутого выше замечания получаем, что. Последнее сравнение следует рассуждением, аналогичным тому, которое использовалось при доказательстве следствия, показывающего, что.
Свойства и теоремы
Функтор точен тогда и только тогда, когда он точен как слева, так и справа.
Ковариантный (не обязательно аддитивный) функтор остается точным тогда и только тогда, когда он превращает конечные пределы в пределы; ковариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он превращает конечные копределы в копределы; контравариантный функтор остается точным тогда и только тогда, когда он превращает конечные копределы в пределы; Контравариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он превращает конечные пределы в копределы.
Степень, в которой точный левый функтор не может быть точным, может быть измерена с помощью его правых производных функторов ; степень, в которой точный правый функтор не может быть точным, может быть измерена с помощью его левых производных функторов .
Левый и правый функторы вездесущи в основном из следующего факта: если функтор F является левым сопряженным к G , то F является точным справа и G остается точным.
Обобщения
В SGA4 , том I, раздел 1, понятие левых (правых) точных функторов определено для общих категорий, а не только для абелевых. Определение следующее:
- Пусть C - категория с конечными проективными (соответственно индуктивными) пределами . Тогда функтор из C в другую категорию C ′ точен слева (соответственно справа), если он коммутирует с конечными проективными (соответственно индуктивными) пределами.
Несмотря на свою абстракцию, это общее определение имеет полезные последствия. Например, в разделе 1.8, Гротендик доказывает , что функтор про представим тогда и только тогда , когда он остается точным, в некоторых мягких условиях на категорию C .
Точные функторы между точными категориями Квиллена обобщают точные функторы между абелевыми категориями, обсуждаемыми здесь.
Регулярные функторы между регулярными категориями иногда называют точными функторами и обобщают точные функторы, обсуждаемые здесь.
Заметки
Рекомендации
- Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7.