Абелевы группы без кручения ранга 1

Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом . Пожалуйста, помогите улучшить статью , предоставив читателю больше контекста . ( Май 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Бесконечно порожденные абелевы группы имеют очень сложную структуру и гораздо менее изучены, чем конечно порожденные абелевы группы . Даже абелевы группы без кручения значительно более разнообразны по своим характеристикам, чем векторные пространства . Абелевы группы без кручения ранга 1 гораздо более податливы, чем группы более высокого ранга, и существует удовлетворительная классификация, даже несмотря на то, что существует бесчисленное количество классов изоморфизмов.

Определение

Абелева группа без кручения ранга 1 - это абелева группа, в которой каждый элемент, кроме единицы, имеет бесконечный порядок, и для любых двух неединичных элементов a и b между ними существует нетривиальная связь по целым числам:

${\ displaystyle na + mb = 0 \;}$

Классификация абелевых групп без кручения ранга 1

Для любого неидентификационного элемента a в такой группе и любого простого числа p может быть или не быть другого элемента a _{p ^n,} такого что:

${\ displaystyle p ^ {n} a_ {p ^ {n}} = a \;}$

Если такой элемент существует для каждого n , мы говорим, что p -корневой тип элемента a равен бесконечности , в противном случае, если n является наибольшим неотрицательным целым числом, которое существует такой элемент, мы говорим, что p -корневым типом элемента a является n .

Мы называем последовательность p -корневых типов элемента a для всех простых чисел корневым типом элемента a :

${\ Displaystyle T (а) = \ {t_ {2}, t_ {3}, t_ {5}, \ ldots \} \;}$.

Если b - еще один неединичный элемент группы, то между a и b существует нетривиальная связь :

${\ displaystyle na + mb = 0 \;}$

где можно взять п и т быть взаимно просты .

Вследствие этого корневой тип b отличается от корневого типа a только конечной разностью при конечном числе индексов (соответствующих тем простым числам, которые делят либо n, либо m ).

Мы называем класс ко-конечной эквивалентности корневого типа множеством корневых типов, которые отличаются от него конечной разностью при конечном числе индексов.

Класс ко-конечной эквивалентности типа нетождественного элемента является корректно определенным инвариантом абелевой группы без кручения ранга 1. Мы называем этот инвариант типом абелевой группы без кручения ранга 1.

Если две абелевы группы без кручения ранга 1 имеют один и тот же тип, можно показать, что они изоморфны. Следовательно, существует биекция между типами абелевых групп без кручения ранга 1 и их классами изоморфизма, обеспечивающая полную классификацию.

использованная литература

• Райнхольд Баер (1937). «Абелевы группы без элементов конечного порядка» . Математический журнал герцога . 3 (1): 68–122. DOI : 10.1215 / S0012-7094-37-00308-9 .
• Филипп А. Гриффит (1970). Теория бесконечных абелевых групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-30870-7. Глава VII.