Конечно порожденная абелева группа

В абстрактной алгебре , абелева группа называется конечно порожденным , если существует конечное число элементов в таких , что каждый в можно записать в виде для некоторых целых чисел . В этом случае мы говорим , что множество является порождающим множеством из того или иного генерации .${\ Displaystyle (G, +)}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {s}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle x = n_ {1} x_ {1} + n_ {2} x_ {2} + \ cdots + n_ {s} x_ {s}}$ ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{s}}$${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{s}\}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ ${\displaystyle G}$

Каждая конечная абелева группа конечно порождена. Конечно порожденные абелевы группы можно полностью классифицировать.

Примеры

• Эти целые числа , являются конечно порожденной абелевой группой.${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$
• Эти целые числа по модулю${\displaystyle n}$ , является конечным (следовательно , конечно порожденным) абелева группой.${\displaystyle \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+\right)}$
• Любая прямая сумма конечного числа конечно порожденных абелевых групп снова является конечно порожденной абелевой группой.
• Каждая решетка образует конечно порожденную свободную абелеву группу .

Других примеров нет (с точностью до изоморфизма). В частности, группа из рациональных чисел не является конечно порожденным: ^[1] , если рациональные числа, выбрать натуральное число , взаимно простое для всех знаменателей; то не может быть сгенерирован . Группа ненулевых рациональных чисел также не конечно порождена. Группы действительных чисел при сложении и ненулевых действительных чисел при умножении также не являются конечно порожденными. ^{[1] [2]}${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+\right)}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ^{*},\cdot \right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ,+\right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{*},\cdot \right)}$

Классификация

Фундаментальная теорема конечно порожденных абелевых групп можно сформулировать двумя способами, обобщающие две формы основной теоремы конечных абелевых групп . Теорема в обеих формах, в свою очередь, обобщает структурную теорему для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов , которая, в свою очередь, допускает дальнейшие обобщения.

Первичное разложение

Первичные состояния препаративных разложения , что каждая конечно порожденная абелева группа G изоморфна прямой сумме из первичных циклических групп и бесконечных циклических групп . Первичная циклическая группа - это группа, порядок которой является степенью простого числа . То есть каждая конечно порожденная абелева группа изоморфна группе вида

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{q_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{q_{t}},}$

где n ≥ 0 - ранг , а числа q ₁ , ..., q _t - степени (не обязательно различных) простых чисел. В частности, G конечна тогда и только тогда, когда n = 0. Значения n , q ₁ , ..., q _t (с точностью до перестановки индексов) однозначно определяются G , то есть существует один и только один способ представить G как такое разложение.

Доказательство этого утверждения использует базисную теорему для конечной абелевой группы : каждая конечная абелева группой является прямой суммой из первичных циклических групп . Обозначим торсионную подгруппу группы G как tG . Тогда G / Tg является кручения абелева группа и , следовательно , она свободна абелева. tG - прямое слагаемое группы G , что означает, что существует подгруппа F группы G st , где . Тогда F также является свободным абелевым. Поскольку tG конечно порожден и каждый элемент${\displaystyle G=tG\oplus F}$${\displaystyle F\cong G/tG}$tG имеет конечный порядок, tG конечно. По теореме о базисе для конечной абелевой группы tG можно записать как прямую сумму примарных циклических групп.

Разложение инвариантного фактора

Мы также можем записать любую конечно порожденную абелеву группу G в виде прямой суммы вида

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}},}$

где k ₁ делит k ₂ , что делит k _3, и так далее до k _u . Снова ранг n и инвариантные множители k ₁ , ..., k _u однозначно определяются G (здесь с единственным порядком). Ранг и последовательность инвариантных факторов определяют группу с точностью до изоморфизма.

Эквивалентность

Эти утверждения эквивалентны в результате китайской теоремы об остатках , что означает , что , если и только если J и K являются взаимно простыми .${\displaystyle \mathbb {Z} _{jk}\cong \mathbb {Z} _{j}\oplus \mathbb {Z} _{k}}$

История

История фундаментальной теоремы и ее авторитет усложняются тем фактом, что она была доказана, когда теория групп еще не была хорошо известна, и поэтому ранние формы, в то время как по существу современные результат и доказательство, часто формулируются для конкретного случая. Вкратце, ранняя форма конечного случая была доказана в ( Gauss 1801 ) , конечный случай был доказан в ( Kronecker 1870 ) и сформулирован в теоретико-групповых терминах в ( Frobenius & Stickelberger 1878 ) . Конечно представлены случай , решается с помощью нормальной формы Смита , и , следовательно , часто приписывает к ( Smith 1861 ), ^[3] , хотя конечно порожденным harv error: no target: CITEREFGauss1801 (help) harv error: no target: CITEREFKronecker1870 (help) harv error: no target: CITEREFFrobeniusStickelberger1878 (help)случай иногда вместо этого приписывают ( Poincaré 1900 ) ; подробности следуют. harv error: no target: CITEREFPoincaré1900 (help)

Теоретик групп Ласло Фукс утверждает: ^[3]

Что касается основной теоремы о конечных абелевых группах, то неясно, как далеко во времени нужно вернуться, чтобы проследить ее происхождение. ... потребовалось много времени, чтобы сформулировать и доказать основную теорему в ее нынешнем виде ...

Фундаментальная теорема для конечных абелевых групп была доказана Леопольдом Кронекером в ( Kronecker 1870 ) с использованием теоретико-группового доказательства ^[4], хотя и без формулировки его в теоретико-групповых терминах; ^[5] современное изложение доказательства Кронекера дано в ( Stillwell 2012 ), 5.2.2 Теорема Кронекера, 176–177 . Это обобщило более ранний результат Карла Фридриха Гаусса из Disquisitiones Arithmeticae (1801), который классифицировал квадратичные формы; Кронекер процитировал этот результат Гаусса. Теорема была сформулирована и доказана на языке групп Фердинандом Георгом Фробениусом и harv error: no target: CITEREFKronecker1870 (help)Людвиг Штикельбергер в 1878 году. ^{[6] [7]} Другая теоретико-групповая формулировка была дана учеником Кронекера Ойгеном Нетто в 1882 году. ^{[8] [9]}

Фундаментальная теорема для конечно представленных абелевых групп была доказана Генри Джоном Стивеном Смитом в ( Smith 1861 ), ^[3], поскольку целочисленные матрицы соответствуют конечным представлениям абелевых групп (это обобщается на конечно представленные модули над областью главных идеалов), а Смит нормальная форма соответствует классификации конечно определенных абелевых групп.

Фундаментальная теорема для конечно порожденных абелевых групп была доказана Анри Пуанкаре в ( Пуанкаре, 1900 ) с использованием матричного доказательства (которое обобщается на области главных идеалов). Это было сделано в контексте вычисления гомологии комплекса, в частности числа Бетти и коэффициентов кручения размерности комплекса, где число Бетти соответствует рангу свободной части, а коэффициенты кручения соответствуют части кручения. . ^[4] harv error: no target: CITEREFPoincaré1900 (help)

Доказательство Кронекера было обобщено на конечно порожденные абелевы группы Эмми Нётер в ( Noether 1926 ) . ^[4] harv error: no target: CITEREFNoether1926 (help)

Следствия

Иными словами, основная теорема утверждает, что конечно порожденная абелева группа является прямой суммой свободной абелевой группы конечного ранга и конечной абелевой группы, каждая из которых уникальна с точностью до изоморфизма. Конечная абелева группа только кручение подгруппа из G . Ранг G определяется как ранг части G без кручения ; это просто число n в приведенных выше формулах.

Следствие к основной теоремы является то , что каждая конечно порожденная кручения абелева группа является свободной абелевой. Конечно порожденное условие здесь существенно: является без кручения, но не свободным абелевым.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Каждая подгруппа и фактор-группа конечно порожденной абелевой группы снова конечно порожденная абелева. Конечно порожденные абелевы группы вместе с гомоморфизмами групп образуют абелеву категорию, которая является подкатегорией Серра в категории абелевых групп .

Неконечно порожденные абелевы группы

Отметим, что не всякая абелева группа конечного ранга конечно порождена; группа ранга 1 - это один контрпример, а группа ранга 0, заданная прямой суммой счетного бесконечного числа копий, - еще один.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Смотрите также

• Теорема Жордана – Гёльдера является неабелевым обобщением

Примечания

использованная литература