Кручение (алгебра)

В абстрактной алгебре , торсионная относится к элементам конечного порядка в группе и элементы аннулируемых любого регулярного элемента из в кольце в модуле .

Определение [ править ]

Элемент т из модуля М над кольцом R называется торсионный элемент модуля , если существует регулярный элемент г кольца (элемент , который не является ни левым , ни правым делителем нуля ), аннулирующий м , т.е. г  m = 0. В области целостности ( коммутативном кольцебез делителей нуля), каждый ненулевой элемент является регулярным, поэтому элемент кручения модуля над областью целостности - это один, аннулируемый ненулевым элементом области целостности. Некоторые авторы используют это как определение элемента кручения, но это определение не работает для более общих колец.

Модуль M над кольцом R называется модулем кручения, если все его элементы являются элементами кручения, и модулем без кручения, если нуль является единственным элементом кручения. Если кольцо R является областью целостности , то множество всех элементов кручения образует подмодуль М , называется подмодуль кручения из М , иногда обозначается Т ( М ). Если R не коммутативен, T ( M ) может быть или не быть подмодулем. В ( Lam 2007 ) показано, что R является правым кольцом Оре тогда и только тогда, когда T ( M ) является подмодулемM для всех правых модулей R. Поскольку правые нётеровы области являются Ore, это покрывает случай, когда R - правая нётерова область (которая может не быть коммутативной).

В более общем плане , пусть М быть модулем над кольцом R и S быть мультипликативно замкнутое подмножество R . Элемент m из M называется S -кручением, если существует такой элемент s в S , что s аннулирует m , т. Е. S  m = 0. В частности, в качестве S можно взять множество регулярных элементов кольца R и восстановите определение выше.

Элемент г из группы G называется торсионный элемент из группы , если она имеет конечный порядок , то есть, если есть положительное целое число т таким образом, что г ^т = е , где е обозначает единичный элемент группы, а г ^м обозначает произведение m копий g . Группа называется торсионной (или периодической) группой, если все ее элементы являются элементами кручения, и группой без кручения, если единственный элемент кручения является единичным. Любойабелева группа может рассматриваться как модуль над кольцом Z из целых чисел , и в этом случае эти два понятия кручения совпадают.

Примеры [ править ]

1. Пусть М будет свободный модуль над любым кольцом R . Тогда из определений сразу следует, что M не имеет кручения (если кольцо R не является областью, то кручение рассматривается относительно множества S ненулевых делителей кольца R ). В частности, любая свободная абелева группа не имеет кручения и любое векторное пространство над полем К не имеет кручения , когда рассматривается как модуль над K .
2. В отличие от примера 1 любая конечная группа (абелева или нет) периодична и конечно порождена. Проблема Бернсайда спрашивает, должна ли, наоборот, любая конечно порожденная периодическая группа быть конечной. (В общем, ответ - «нет», даже если период фиксирован.)
3. Элементы кручения мультипликативной группы поля являются его корнями из единицы .
4. В модульной группе , Γ получается из группы SL (2, Z ) из двух двух целочисленных матриц с единичным детерминантом, факторизуя его центр, любой нетривиальный элемент кручения либо имеет порядок два и сопряжено с элементом S или имеет порядок три и сопряжен элементу ST . В этом случае элементы кручения не образуют подгруппу, например S  ·  ST = T , имеющую бесконечный порядок.
5. Абелева группа Q / Z , состоящая из рациональных чисел (mod 1), является периодической, т.е. каждый элемент имеет конечный порядок. Аналогично, модуль K ( t ) / K [ t ] над кольцом R  =  K [ t ] многочленов от одной переменной является чистым кручением. Оба этих примера можно обобщить следующим образом: если R - коммутативная область, а Q - ее поле частных, то Q / R - торсионный R -модуль.
6. Подгруппа кручения в ( R / Z , +) является ( Q / Z , +) , в то время как группы ( R , +) и ( Z , +) не имеют кручения. Фактор абелевой группы без кручения по подгруппе не имеет кручения в точности тогда, когда подгруппа является чистой подгруппой .
7. Рассмотрим линейный оператор L , действующий на конечномерном векторном пространстве V . Если рассматривать V как F [ L ] -модуль естественным образом, то (в результате многих вещей, либо просто в силу конечномерности, либо как следствие теоремы Кэли – Гамильтона ) V является кручением F [ L ] -модуль.

Случай главной идеальной области [ править ]

Предположим, что R - (коммутативная) область главных идеалов, а M - конечно-порожденный R -модуль . Тогда структурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов дает подробное описание модуля M с точностью до изоморфизма. В частности, он утверждает, что

${\ Displaystyle M \ simeq F \ oplus T (M),}$

где Р является свободным R - модуль конечного ранга ( в зависимости только от М ) и Т ( М ) является кручение подмодуль М . Как следствие, любой конечно порожденный модуль без кручения над R свободен. Это следствие не выполняется для более общих коммутативных областей, даже для R  =  K [ x , y ], кольца многочленов от двух переменных. Для неконечно порожденных модулей указанное выше прямое разложение неверно. Торсионная подгруппа абелевой группы не может быть ее прямым слагаемым.

Кручение и локализация [ править ]

Предположим, что R - коммутативная область, а M - R -модуль. Пусть Q является полем частных кольца R . Тогда можно рассматривать Q -модуль

${\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q,}$

полученный из М путем расширения скаляров . Поскольку Q - поле , модуль над Q - это векторное пространство , возможно, бесконечномерное. Существует канонический гомоморфизм абелевых групп из M в M _Q , и ядром этого гомоморфизма является в точности торсионный подмодуль T ( M ). В более общем смысле , если S является мультипликативно замкнутое подмножество кольца R , то мы можем рассмотреть локализацию в R - модуль M ,

${\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},}$

который представляет собой модуль над локализацией R _S . Существует каноническое отображение М в М _S , ядро которого является именно S кручение подмодуль М . Таким образом, торсионный подмодуль модуля M можно интерпретировать как набор элементов, которые «исчезают при локализации». Же интерпретация продолжает удерживать в некоммутативной настройке для колец , удовлетворяющих условию руды, или в более общем случае для любого правильного набора знаменателя S и правого R - модуля M .

Кручение в гомологической алгебре [ править ]

Понятие кручения играет важную роль в гомологической алгебре . Если M и N - два модуля над коммутативным кольцом R (например, две абелевы группы, когда R  =  Z ), то функторы Tor порождают семейство R -модулей Tor _i ( M , N ). S -кручения из R - модуля M канонически изоморфно Tor ^R ₁ ( М ,  R _S / R ) с помощью длинной точной последовательности Tor ^R_* : Короткая точная последовательность из R -модулей дает точную последовательность , следовательно , является ядром локализации карты М . Символ Tor, обозначающий функторы, отражает эту связь с алгебраическим кручением. Тот же результат верен для некоммутативных колец, пока множество S является правым множеством знаменателя .${\displaystyle 0\to R\to R_{S}\to R_{S}/R\to 0}$${\displaystyle 0\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)\to M\to M_{S}}$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{S}/R)}$

Абелевы многообразия [ править ]

Элементы кручения абелевого многообразия - это точки кручения или, в старой терминологии, точки деления . На эллиптических кривых они могут быть вычислены в терминах полиномов деления .

См. Также [ править ]

• Аналитическое кручение
• Арифметическая динамика
• Плоский модуль
• Локализация модуля
• Ранг абелевой группы
• Торсион Рэя – Зингера
• Абелева группа без кручения
• Теорема об универсальном коэффициенте

Ссылки [ править ]

• Эрнст Кунц, « Введение в коммутативную алгебру и алгебраическую геометрию », Birkhauser 1985, ISBN  0-8176-3065-1
• Ирвинг Каплански , « Бесконечные абелевы группы », Мичиганский университет, 1954.
• Michiel Hazewinkel (2001) [1994], "Торсионный подмодуль" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Лам, Цит Юэн (2007), Упражнения в модулях и кольцах , Проблемные книги по математике, Нью-Йорк: Springer, стр. Xviii + 412, DOI : 10.1007 / 978-0-387-48899-8 , ISBN 978-0-387-98850-4, MR  2278849