Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( май 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
В теории групп , разделе математики , порядок группы - это ее мощность , то есть количество элементов в ее множестве. Если группа рассматривается мультипликативная, то порядок элемента а группы, иногда также называют длительность периода или периода из , является наименьшим положительным целым числом т таким образом, что т = е , где е обозначает единичный элемент группы и м обозначает произведение т копий а . Если такого m не существует, говорят , что a имеет бесконечный порядок.
Порядок группы G обозначается ord ( G ) или | G |, а порядок элемента a обозначается ord ( a ) или | а |, Порядок элемента а равен порядку его циклической подгруппы ⟨ ⟩ = { в к для к целое число}, подгруппа генерируемой с помощью . Таким образом, | а | = | ⟨ ⟩ |.
Теорема Лагранжа утверждает, что для любой подгруппы H группы G порядок подгруппы делит порядок группы: | H | является делителем | G |. В частности, порядок | а | любого элемента является делителем | G |,
Пример [ править ]
Симметричная группа S 3 имеет следующую таблицу умножения .
• е s т ты v ш е е s т ты v ш s s е v ш т ты т т ты е s ш v ты ты т ш v е s v v ш s е ты т ш ш v ты т s е
В этой группе шесть элементов, поэтому ord (S 3 ) = 6 . По определению порядок тождества e равен единице, поскольку e 1 = e . Каждый из s , t и w квадратов к e , поэтому эти элементы группы имеют второй порядок: | s | = | т | = | w | = 2 . Наконец, u и v имеют порядок 3, поскольку u 3 = vu = e и v 3 = uv = e.
Порядок и структура [ править ]
Порядок группы G и порядки ее элементов дают много информации о структуре группы. Грубо говоря, чем сложнее факторизация | G |, тем более сложная структура G .
Для | G | = 1, группа тривиальна . В любой группе только единичный элемент a = e имеет ord ( a) = 1. Если каждый неединичный элемент в G равен своему обратному (так что a 2 = e ), то ord ( a ) = 2; это означает , G является абелевой так . Обратное неверно; например, (аддитивная) циклическая группа Z 6 целых чисел по модулю 6 абелева, но число 2 имеет порядок 3:
- .
Связь между двумя понятиями порядка следующая: если мы напишем
для подгруппы , генерируемого с помощью , то
Для любого целого k имеем
- a k = e тогда и только тогда, когда ord ( a ) делит k .
В общем, порядок любой подгруппы G делит порядок G . Точнее: если H - подгруппа группы G , то
- Ord ( G ) / Ord ( Н ) = [ G : Н ], где [ G : Н ] называется индексом из H в G , целое число. Это теорема Лагранжа . (Это, однако, верно только тогда, когда G имеет конечный порядок. Если ord ( G ) = ∞, фактор ord ( G ) / ord ( H ) не имеет смысла.)
Как непосредственное следствие вышесказанного, мы видим, что порядок каждого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметричной группе, показанной выше, где ord (S 3 ) = 6, порядок элементов равен 1, 2 или 3.
Следующее частичное обратное верно для конечных групп : если d делит порядок группы G и d - простое число , то в G существует элемент порядка d (это иногда называют теоремой Коши ). Утверждение не выполняется для составных порядков, например, четырехгруппа Клейна не имеет элемента четвертого порядка). Это можно показать индуктивным доказательством . [1] Следствия теоремы включают: порядок группы G является степенью простого числа p тогда и только тогда, когда ord () есть некоторая степень р для любого а в G . [2]
Если a имеет бесконечный порядок, то все ненулевые степени a также имеют бесконечный порядок. Если a имеет конечный порядок, у нас есть следующая формула для порядка степеней a :
- ord ( a k ) = ord ( a ) / gcd (ord ( a ), k ) [3]
для каждого целого k . В частности, a и обратный к нему a −1 имеют одинаковый порядок.
В любой группе
Не существует общей формулы, связывающей порядок продукта ab с порядками a и b . Фактически, возможно, что и a, и b имеют конечный порядок, в то время как ab имеет бесконечный порядок, или что и a, и b имеют бесконечный порядок, в то время как ab имеет конечный порядок. Примером первого является a ( x ) = 2− x , b ( x ) = 1− x с ab ( x ) = x −1 в группе . Примером последнего являетсяa ( x ) = x +1, b ( x ) = x −1, где ab ( x ) = x . Если ab = ba , по крайней мере можно сказать, что ord ( ab ) делит lcm (ord ( a ), ord ( b )). Как следствие, можно доказать, что в конечной абелевой группе, если m обозначает максимум всех порядков элементов группы, то порядок каждого элемента делит m .
Подсчет по порядку элементов [ править ]
Предположим, что G - конечная группа порядка n , а d - делитель n . Число d- элементов порядка в G кратно φ ( d ) (возможно, нулю), где φ - функция Эйлера , дающая количество натуральных чисел не больше d и взаимно простых с ней. Например, в случае S 3 φ (3) = 2, и у нас есть ровно два элемента порядка 3. Теорема не дает полезной информации об элементах порядка 2, потому что φ (2) = 1, и только ограниченной полезности для составного d, такого как d= 6, так как φ (6) = 2, и в S 3 есть нулевые элементы порядка 6 .
Относительно гомоморфизмов [ править ]
Групповые гомоморфизмы стремятся уменьшить порядки элементов: если f : G → H - гомоморфизм и a - элемент конечного порядка в G , то ord ( f ( a )) делит ord ( a ). Если F является инъективным , то Ord ( F ( )) = Ord ( ). Это часто может быть использовано для доказательства отсутствия (инъективных) гомоморфизмов между двумя конкретно заданными группами. (Например, не может быть нетривиального гомоморфизма h : S 3 → Z 5, потому что каждое число, кроме нуля в Z 5, имеет порядок 5, который не делит порядки 1, 2 и 3 элементов в S 3. ) Дальнейшее следствие состоит в том, что сопряженные элементы имеют одинаковый порядок.
Уравнение класса [ править ]
Важным результатом, касающимся заказов, является уравнение классов ; он связывает порядок конечной группы G с порядком ее центра Z ( G ) и размерами ее нетривиальных классов сопряженности :
где d i - размеры нетривиальных классов сопряженности; это собственные делители | G | больше единицы, и они также равны индексам централизаторов в G представителей нетривиальных классов сопряженности. Например, центр S 3 - это просто тривиальная группа с единственным элементом e , а уравнение гласит | S 3 | = 1 + 2 + 3.
См. Также [ править ]
- Подгруппа кручения
- Теорема Лагранжа (теория групп)
Заметки [ править ]
- ^ Конрад, Кейт. «Доказательство теоремы Коши» (PDF) . Проверено 14 мая 2011 года . Cite journal requires
|journal=
(help) - ^ Конрад, Кейт. «Следствия теоремы Коши» (PDF) . Проверено 14 мая 2011 года . Cite journal requires
|journal=
(help) - ^ Dummit, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра , ISBN 978-0471433347 , стр. 57
Ссылки [ править ]
- Даммит, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра, ISBN 978-0471433347 , стр. 20, 54–59, 90
- Артин, Майкл. Алгебра, ISBN 0-13-004763-5 , стр. 46–47