В абстрактной алгебре , элемент из кольца R называется влево делитель нуля , если существует ненулевой х в R такой , что ах = 0 , [1] или , что эквивалентно , если отображение из R в R , который посылает х к ах не инъективный . [a] Аналогично элемент a кольца называется правым делителем нуля, если существует ненулевое y в R такое, что ya = 0 . Это частный случай делимости на кольца. Элемент, который является левым или правым делителем нуля, просто называется делителем нуля . [2] Элемент a, который является как левым, так и правым делителем нуля, называется двусторонним делителем нуля (ненулевой x такой, что ax = 0, может отличаться от ненулевого y такого, что ya = 0 ). Если кольцо коммутативно , то левый и правый делители нуля совпадают.
Элемент кольца, не являющийся левым делителем нуля, называется регулярным слева или сокращаемым слева . Точно так же элемент кольца, который не является правым делителем нуля, называется правым регулярным или правым сокращаемым . Элемент кольца , который слева и справа досрочный, и является , следовательно , не является делителем нуля, называется регулярным или сократимым , [3] или ненулевой делителем . Дивизор нуля, который не равен нулю, называется ненулевым делителем нуля или нетривиальным делителем нуля . Ненулевое кольцо без нетривиальных делителей нуля называется областью .
Примеры
- На ринге, класс остатка является делителем нуля, поскольку .
- Единственный делитель нуля кольца из целых чисел является.
- Нильпотентное элемент ненулевого кольца всегда двусторонний делитель нуля.
- Идемпотент кольца всегда является двусторонним делителем нуля, так как .
- Кольцоматрицы над полем имеют ненулевые делители нуля, если. Примеры делителей нуля в кольцематрицы (над любым ненулевым кольцом ) показаны здесь:
- .
- Прямое произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевое делителей нуля. Например, в с каждым ненулевой, , так является делителем нуля.
- Позволять быть полем ибыть группой . Предположим, что имеет элемент конечного порядка . Тогда в групповом кольце надо , причем ни один из множителей не равен нулю, поэтому является ненулевым делителем нуля в .
Односторонний делитель нуля
- Рассмотрим кольцо (формальных) матриц с участием а также . потом а также . Если, тогда является левым делителем нуля тогда и только тогда, когда чётно, так как , и он является правым делителем нуля тогда и только тогда, когда есть даже по аналогичным причинам. Если любой из является , то это двусторонний делитель нуля.
- Вот еще один пример кольца с элементом, который является делителем нуля только с одной стороны. Позволять- множество всех последовательностей целых чисел. За кольцо возьмем все аддитивные карты из к , с поточечным сложением и композицией в качестве кольцевых операций. (То есть наше кольцо, кольцо эндоморфизмов аддитивной группы.) Три примера элементов этого кольца - сдвиг вправо. , левый сдвиг , а карта проекции на первый фактор. Все три из этих аддитивных карт не равны нулю, и композиты а также оба равны нулю, поэтому является левым делителем нуля и является правым делителем нуля в кольце аддитивных отображений из к . Тем не мение, не является правым делителем нуля и не является левым делителем нуля: композиция это личность. является двусторонним делителем нуля, поскольку , пока не в каком направлении.
Не примеры
- Кольцо целых чисел по модулю простого числа , не имеет отличные от 0. делителей нуля Поскольку каждый ненулевой элемент представляет собой блок , это кольцо является конечным полем .
- В более общем смысле, у телесного кольца нет делителей нуля, кроме 0.
- Ненулевым коммутативное кольцо которого только нулевой делитель равен 0, называется областью целостности .
Характеристики
- В кольце п матрицу с размерностью п матриц над полем , левые и правые делители нуля совпадают; это в точности особые матрицы . В кольце п матрицы с размерностью п матриц над областью целостности , то делители нуля в точности матрица с определителем нулем .
- Левый или правый делители нуля никогда не могут быть единицами , потому что если a обратимо и ax = 0 для некоторого ненулевого x , то 0 = a −1 0 = a −1 ax = x , противоречие.
- Элемент может быть отменен на той стороне, на которой он является обычным. То есть, если a - левое регулярное, из ax = ay следует, что x = y , и то же самое для правого регулярного.
Ноль как делитель нуля
Нет необходимости в отдельном соглашении для случая a = 0 , потому что определение применимо и в этом случае:
- Если R - кольцо, отличное от нулевого кольца , то 0 является (двусторонним) делителем нуля, потому что любой ненулевой элемент x удовлетворяет 0 x = 0 = x 0 .
- Если R - нулевое кольцо , в котором 0 = 1 , то 0 не является делителем нуля, потому что нет ненулевого элемента, который при умножении на 0 дает 0 .
Некоторые ссылки включают или исключают 0 в качестве делителя нуля во всех кольцах по соглашению, но тогда они страдают от необходимости вводить исключения в такие утверждения, как следующие:
- В коммутативном кольце R , множество ненулевых делителей является мультипликативным множеством в R . (Это, в свою очередь, важно для определения полного факторкольца .) То же самое верно для множества не делителей нуля слева и множества не делителей нуля вправо в произвольном кольце, коммутативном или нет.
- В коммутативном нётеровом кольце R , множество делителей нуля является объединением ассоциированных простых идеалов из R .
Делитель нуля на модуле
Пусть R коммутативное кольцо, пусть М быть R - модуль , и пусть быть элементом R . Один говорит , что является M -регулярна если «умножение на » картеинъективно, и что a - делитель нуля на M в противном случае. [4] Множество M -регулярных элементов является мультипликативным множеством в R . [4]
Специализация определений « M -регулярного» и «делителя нуля на M » на случай M = R восстанавливает определения «регулярного» и «делителя нуля», данные ранее в этой статье.
Смотрите также
- Собственность нулевого продукта
- Глоссарий коммутативной алгебры (точный делитель нуля)
- График делителей нуля
Заметки
- ^ Поскольку отображение не инъективно, мы имеем ax = ay , в котором x отличается от y , и, следовательно, a ( x - y ) = 0 .
Рекомендации
- ↑ Н. Бурбаки (1989), Алгебра I, главы 1–3 , Springer-Verlag, p. 98
- ^ Чарльз Лански (2005), Концепции абстрактной алгебры , American Mathematical Soc., Стр. 342
- ^ Николя Бурбаки (1998). Алгебра я . Springer Science + Business Media . п. 15.
- ^ а б Хидеюки Мацумура (1980), Коммутативная алгебра, 2-е издание , The Benjamin / Cummings Publishing Company, Inc., стр. 12
дальнейшее чтение
- "Делитель нуля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Мишель Хазевинкель ; Надежда Губарени; Надежда Михайловна Губарени; Владимир Васильевич Кириченко. (2004), Алгебры, кольца и модули , т. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
|volume=
есть дополнительный текст ( справка ) - Вайсштейн, Эрик В. «Делитель нуля» . MathWorld .