Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Относительно условия Оре в теории графов см . Теорему Оре .

В математике , особенно в области алгебры, известной как теория колец , условие Оре - это условие, введенное Ойстейном Оре в связи с вопросом о расширении за пределы коммутативных колец построения поля дробей или, в более общем смысле, локализации кольца. . Правый остаток руды для мультипликативного подмножества S из в кольце R является то , что для более ∈ R и ˙s ∈ S , пересечение AS ∩sR ≠ ∅ . Область (некоммутативная),для которой набор ненулевых элементов удовлетворяет правому условию Оре, называется правой областью Оре . Левый случай определяется аналогично. [1]

Общая идея [ править ]

Цель состоит в том, чтобы построить правое кольцо частных R [ S -1 ] относительно мультипликативной подмножества S . Другими словами, мы хотим работать с элементами вида как -1 и имеют кольцевую структуру на множестве R [ S -1 ]. Проблема в том, что нет очевидной интерпретации произведения ( как −1 ) ( bt −1 ); действительно, нам нужен способ «переместить» s −1 за b . Это означает, что нам нужно иметь возможность переписать s −1 b как произведение b 1с 1 −1 . [2] Предположим, что s −1 b = b 1 s 1 −1, затем умножая слева на s и справа на s 1 , получаем bs 1 = sb 1 . Следовательно, мы видим необходимость для данных a и s существования a 1 и s 1 с s 1 ≠ 0 и таких, что as 1 = sa 1 .

Заявление [ править ]

Поскольку хорошо известно, что каждая область целостности является подкольцом поля дробей (посредством вложения) таким образом, что каждый элемент имеет вид rs −1 с ненулевым s , естественно спросить, может ли та же конструкция возьмем некоммутативную область и свяжем тело (некоммутативное поле) с тем же свойством. Оказывается, иногда ответ - «нет», то есть есть области, в которых нет аналогичного «правого деления дробей».

Для каждой рудной правой области R , существует единственный ( с точностью до естественной R -изоморфизма) разделения кольца D , содержащий R в качестве подкольца таким образом, что каждый элемент из D имеет вид RS -1 для г в R , и с нулем в R . Такое разделение кольцо D называется кольцом правых фракций из R и R называется правильный порядок в D . Понятие кольца левых дробей и левого порядкаопределяются аналогично, причем элементы D имеют вид s −1 r .

Важно помнить, что определение R как правого порядка в D включает условие, что D должен полностью состоять из элементов вида rs −1 . Любая область, удовлетворяющая одному из условий Оре, может считаться подкольцом телесного кольца, однако это не означает автоматически, что R является левым порядком в D , поскольку возможно, что D имеет элемент, который не имеет формы s −1 r . Таким образом, R может быть правым, а не левым доменом Оре. Интуитивно, условие того, что все элементы D имеют вид rs −1говорит , что R является «большой» R подмодуль D . На самом деле условие обеспечивает R R является существенным подмодулем в D R . Наконец, есть даже пример домена в теле кольца, который не удовлетворяет ни одному условию Оре (см. Примеры ниже).

Другой естественный вопрос: "Когда подкольцо телесного кольца является правильной рудой?" Одна характеристика состоит в том, что подкольцо R тела D является правой областью Оре тогда и только тогда, когда D является плоским левым R -модулем ( Лам 2007 , пример 10.20).

Другая, более строгая версия условий Оре обычно дается для случая, когда R не является областью, а именно, что должно быть общее кратное

c = au = bv

с u , v не делителями нуля . В этом случае теорема Оре гарантирует существование надкольца, называемого (правым или левым) классическим кольцом частных .

Примеры [ править ]

Коммутативных домены автоматически Рудные домены, так как для ненулевого и Ь , аб отлична от нуля в А.Р. П уш . Правые нётеровы области, такие как правые области главных идеалов , также известны как правые области Оре. В более общем плане Альфред Голди доказал, что область R является правой Ore тогда и только тогда, когда R R имеет конечную равномерную размерность . Также верно, что правые области Безу являются правыми областями Оре.

Подобласть тела , которое не является правым или левым Ore: Если F является любым полем, и является свободным Моноидом на два символах х и у , то Моноид кольцо не удовлетворяет ни одному условию Ора, но это свободный идеал кольцо и, таким образом, действительно подкольцо телесного кольца ( Cohn 1995 , Cor 4.5.9).

Мультипликативные наборы [ править ]

Условие Оре может быть обобщено на другие мультипликативные подмножества и представлено в виде учебника в ( Lam 1999 , §10) и ( Lam 2007 , §10). Подмножество S кольца R называется множеством правого знаменателя, если оно удовлетворяет следующим трем условиям для любых a , b в R и s , t в S :

  1. ст в S ; (Множество S является мультипликативно замкнутым .)
  2. aS ∩ sR не пусто; (Множество S является правой перестановочна .)
  3. Если sa = 0 , то в S есть некоторый u с au = 0 ; (Множество S является правой обратимым .)

Если S - множество правых знаменателей, то можно построить кольцо правых дробей RS −1 аналогично коммутативному случаю. Если S берется как набор регулярных элементов (те элементы a в R такие, что если b в R отличен от нуля, то ab и ba отличны от нуля), то правильное условие Оре - это просто требование, чтобы S был правым множеством знаменателя .

В этой более общей ситуации сохраняются многие свойства коммутативной локализации. Если S является правильный набор знаменатель для кольца R , то левый R -модуль RS -1 является плоским . Кроме того, если M - правый R -модуль, то S -кручение tor S ( M ) = { m в M  : ms = 0 для некоторого s в S } является R -подмодулем, изоморфным Tor 1 ( M , RS−1 ) , а модуль M ⊗ R RS −1 естественно изоморфен модулю MS −1, состоящему из «дробей», как в коммутативном случае.

Заметки [ править ]

  1. Перейти ↑ Cohn, PM (1991). «Глава 9.1». Алгебра . Vol. 3 (2-е изд.). п. 351.
  2. ^ Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) . п. 13 . Проверено 9 мая 2012 года .

Ссылки [ править ]

  • Кон, PM (1991), Алгебра , т. 3 (2-е изд.), Чичестер: John Wiley & Sons, стр. Xii + 474, ISBN 0-471-92840-2, MR  1098018 , Zbl  0719.00002
  • Кон, PM (1961), "О вложении колец в тела", Proc. Лондонская математика. Soc. , 11 : 511-530, DOI : 10,1112 / PLMS / s3-11.1.511 , MR  0136632 , ZBL  +0104,03203
  • Кон, PM (1995), Тело, Теория общих тел , Энциклопедия математики и ее приложений, 57 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-43217-0, Zbl  0840,16001
  • Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике, 189 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Zbl  0911,16001
  • Лам, Цит-Юэн (2007), Упражнения в модулях и кольцах , Сборники задач по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98850-4, Руководство по ремонту  2278849 , Zbl  1121.16001
  • Стенстрём, Бо (1971), Кольца и модули частных , Лекционные заметки по математике, 237 , Берлин: Springer-Verlag , стр. Vii + 136, doi : 10.1007 / BFb0059904 , ISBN 978-3-540-05690-4, Руководство по ремонту  0325663 , Zbl  0229.16003

Внешние ссылки [ править ]

  • Страница PlanetMath о состоянии руды
  • Страница PlanetMath о теореме Оре
  • Страница PlanetMath о классическом кольце частных