Единый модуль

В абстрактной алгебре модуль называется равномерным модулем, если пересечение любых двух ненулевых подмодулей не равно нулю. Это эквивалентно тому, что любой ненулевой подмодуль M является существенным подмодулем . Кольцо можно назвать правым (левым) равномерным кольцом, если оно однородно как правый (левый) модуль над собой.

Альфред Голди использовал понятие однородных модулей, чтобы построить меру размерности для модулей, теперь известную как однородное измерение (или измерение Голди ) модуля. Равномерная размерность обобщает некоторые, но не все аспекты понятия размерности векторного пространства . Конечная равномерная размерность была ключевым предположением для нескольких теорем Голди, включая теорему Голди , которая характеризует, какие кольца являются правыми порядками в полупростом кольце . Модули конечной равномерной размерности являются обобщением как артиновых модулей, так и нётеровых модулей .

В литературе равномерная размерность также называется просто размерностью модуля или рангом модуля . Не следует путать единообразную размерность со связанным понятием пониженного ранга модуля , также из-за Голди .

Свойства и примеры унифицированных модулей [ править ]

Быть унифицированным модулем обычно не позволяют прямые продукты или факторные модули. Прямая сумма двух ненулевых равномерных модулей всегда содержит два подмодуля с нулевым пересечением, а именно два исходных модуля слагаемых. Если N ₁ и N ₂ являются собственными подмодулями однородного модуля M и ни один из подмодулей не содержит другого, то не может быть равномерным, поскольку ${\ Displaystyle M / (N_ {1} \ cap N_ {2})}$

{\ displaystyle N_ {1} / (N_ {1} \ cap N_ {2}) \ cap N_ {2} / (N_ {1} \ cap N_ {2}) = \ {0 \}.}

Однорядные модули единообразны, а однородные модули обязательно непосредственно неразложимы. Любая коммутативная область является равномерным кольцом, так как если a и b ненулевые элементы двух идеалов, то произведение ab является ненулевым элементом в пересечении идеалов.

Единый размер модуля [ править ]

Следующая теорема позволяет определять размерность модулей с помощью равномерных подмодулей. Это модульная версия теоремы о векторном пространстве:

Теорема: Если U _я и V _J являются членами конечного набора однородных подмодулей модуля М такое , что и оба являются существенными подмодулями из М , то п = т . ${\ Displaystyle \ oplus _ {я = 1} ^ {п} U_ {я}}$ ${\ Displaystyle \ oplus _ {я = 1} ^ {m} V_ {я}}$

Равномерной размерности из модуля M , обозначается u.dim ( M ), определяется как п , если существует конечное множество однородных подмодулей U _я таким образом, что является одним из важнейших подмодуль М . Предыдущая теорема гарантирует, что это n правильно определено. Если такого конечного набора подмодулей не существует, то u.dim ( M ) определяется как ∞. Говоря об однородном размере кольца, необходимо указать, измеряется ли u.dim ( R _R ) или, скорее, u.dim ( _R R ). На противоположных сторонах кольца могут быть два разных одинаковых размера. ${\ Displaystyle \ oplus _ {я = 1} ^ {п} U_ {я}}$

Если N является подмодулем М , то u.dim ( N ) ≤ u.dim ( М ) с равенством именно тогда , когда N является одним из важнейших подмодуль М . В частности, M и его инъективная оболочка E ( M ) всегда имеют одинаковую равномерную размерность. Также верно, что u.dim ( M ) = n тогда и только тогда, когда E ( M ) является прямой суммой n неразложимых инъективных модулей .

Можно показать, что u.dim ( M ) = ∞ тогда и только тогда, когда M содержит бесконечную прямую сумму ненулевых подмодулей. Таким образом, если M нётерово или артиново, M имеет конечную равномерную размерность. Если M имеет конечную композиционную длину k , то u.dim ( M ) ≤ k с равенством именно тогда, когда M - полупростой модуль . ( Лам 1999 )

Стандартный результат состоит в том, что правая нётерова область является правой областью Оре . Фактически, мы можем восстановить этот результат из другой теоремы, приписываемой Голди, которая утверждает, что следующие три условия эквивалентны для области D :

D правая руда
u.dim ( D _D ) = 1
u.dim ( D _D ) <∞

Полые модули и одинаковые размеры [ править ]

Двойное понятие равномерного модуля является то , что из полого модуля : модуль М называется полым , если при N ₁ и N ₂ являются подмодулями М такими , что , то либо N ₁ = М или N ₂ = М . Точно так же можно сказать, что каждый собственный подмодуль M является лишним подмодулем . ${\ displaystyle N_ {1} + N_ {2} = M}$

Эти модули также допускают аналог однородного измерения, называемый согласованным измерением , корангом , полым измерением или двойным измерением Голди . Исследования полых модулей и согласованной размерности проводились в ( Fleury 1974 ) , ( Reiter 1981 ) , ( Takeuchi 1976 ) , ( Varadarajan 1979 ) и ( Miyashita 1966 ) . Читателя предупреждают, что Флери исследовал различные способы дуализации измерения Голди. Варианты полого измерения Варадараджана, Такеучи и Рейтера, возможно, являются более естественными. Гжещук и Пучиловский в (Grzeszczuk & Puczylowski 1984 ) дали определение равномерной размерности для модульных решеток, так что полая размерность модуля была равномерной размерностью его двойственной решетки подмодулей.

Всегда бывает, что конечно когорожденный модуль имеет конечную равномерную размерность. Возникает вопрос: имеет ли конечно порожденный модуль конечную полую размерность? Ответ оказывается не: это было показано в ( Sarath & Варадарайано 1979 ) , что если модуль М имеет конечную полую размерность, то М / J ( М ) представляет собой полупрост , артины модуль . Существует много колец с единицей, для которых R / J ( R ) не является полупростым артиновым, и для такого кольца R , R сам конечно порожден, но имеет бесконечную полую размерность.

Сарат и Варадараджан показали позже, что М / J ( М ) является полупрост артинов также достаточно для М , чтобы иметь конечное измерение при условии , полые J ( M ) является излишним подмодуль М . ^[1] Это показывает, что кольца R конечной полой размерности как левый или правый R -модуль являются в точности полулокальными кольцами .

Дополнительным следствием результата Варадараджана является то, что R _R имеет конечную полую размерность именно тогда, когда _R R имеет конечную полую размерность . Это контрастирует со случаем конечной однородной размерности, поскольку известно, что кольцо может иметь конечную однородную размерность с одной стороны и бесконечную однородную размерность с другой.

Учебники [ править ]

Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту 1653294

Первоисточники [ править ]

^ Тот же результат можно найти в ( Reiter 1981 )и ( Hanna & Shamsuddin 1984 )

Флери, Патрик (1974), "Замечание о дуализирующего размерности Голди", канадский математический вестник , 17 : 511-517, DOI : 10,4153 / CMB-1974-090-0

Goldie, AW (1958), "Структура первичных колец в условиях возрастающей цепи", Proc. Лондонская математика. Soc. , Серия 3, 8 : 589-608, DOI : 10,1112 / PLMS / s3-8.4.589 , ISSN 0024-6115 , MR 0103206

Goldie, AW (1960), "Полупервичные кольца с условием максимума", Proc. Лондонская математика. Soc. , Серия 3, 10 : 201-220, DOI : 10,1112 / PLMS / s3-10.1.201 , ISSN 0024-6115 , MR 0111766

Grezeszcuk, P; Puczylowski, Е (1984), "О Goldie и двойной размерности Goldie", Журнал теоретической и прикладной алгебры , 31 : 47-55, DOI : 10,1016 / 0022-4049 (84) 90075-6

Ханна, А .; Шамсуддин А. (1984), Двойственность в категории модулей: приложения , Рейнхард Фишер, ISBN 978-3889270177

Мияшита, Ю. (1966), "Квазипроективные модули, совершенные модули и теорема для модулярных решеток", J. Fac. Sci. Hokkaido Ser. I , 19 : 86–110, MR 0213390

Рейтер, Э. (1981), "Двойственное к условию возрастающей цепи Голди на прямых суммах подмодулей", Бюлл. Calcutta Math. Soc. , 73 : 55–63

Сарат Б .; Варадараджан, К. (1979), "Двойная Голди измерение II" Коммуникация в алгебре , 7 (17): 1885-1899, DOI : 10,1080 / 00927877908822434

Такеучи, Т. (1976), "О коконечен-мерных модулей.", Хоккайдо Журнал математики , 5 (1): 1-43, DOI : 10,14492 / hokmj / 1381758746 , ISSN 0385-4035 , МР 0213390

Варадараджан К. (1979), "Двойное измерение Голди", Comm. Алгебра , 7 (6): 565-610, DOI : 10,1080 / 00927877908822364 , ISSN 0092-7872 , МР 0524269

[1] Тот же результат можно найти в ( Reiter 1981 )и ( Hanna & Shamsuddin 1984 )