Инъективный корпус

В математике , особенно в алгебре , инъективная оболочка (или инъективная оболочка ) модуля - это и самый маленький инъективный модуль, содержащий его, и самое большое его существенное расширение . Впервые инъективные оболочки были описаны в ( Eckmann & Schopf 1953 ).

Определение [ править ]

Модуль E называется инъективным корпусом модуль М , если Е является существенным расширением из М , и Е является инъективным . Здесь базовое кольцо - это кольцо с единицей, хотя, возможно, и некоммутативное.

Примеры [ править ]

• Инъективный модуль - это его собственная инъективная оболочка.
• Инъективная оболочка области целостности - это ее поле частных ( Лам, 1999 , пример 3.35).
• Инъективная оболочка циклической p -группы (как Z -модуль) является группой Прюфера ( Лам 1999 , пример 3.36)
• Инъективная оболочка R / рад ( R ) является Хомы _к ( R , K ), где R представляет собой конечномерен к - алгебра с радикалом Джекобсона рад ( R ), ( Lam +1999 , пример 3.41).
• Простой модуль обязательно является цоколь его инъективного корпуса.
• Инъективная оболочка поля частных дискретного оценочного кольца, где is . ^[1]${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}}, к)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} = х \ cdot R}$${\ Displaystyle R_ {x} / R}$
• В частности, инъективная оболочка in - это модуль .${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle (\ mathbb {C} [[t]], (t), \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ((т)) / \ mathbb {C} [[t]]}$

Свойства [ править ]

• Инъективная оболочка M единственна с точностью до изоморфизмов, которые тождественны на M , однако изоморфизм не обязательно единственен. Это связано с тем, что свойство расширения карты инъективной оболочки не является полноценным универсальным свойством . Благодаря этой уникальности корпус можно обозначить как E ( M ).
• Инъективная оболочка E ( M ) является максимальным существенным расширением из М в том смысле , что если M ⊆ E ( M ) ⊊ B для модуля B , то M не является существенным подмодуль B .
• Инъективная оболочка Е ( М ) является минимальным инъективны модуль , содержащий М в том смысле , что если М ⊆ B для инъективного модуля B , то Е ( М ) является (изоморфно) подмодуль B .
• Если N - существенный подмодуль в M , то E ( N ) = E ( M ).
• Каждый модуль M имеет инъективную оболочку. Конструкция инъективной оболочки в терминах гомоморфизмов Hom ( I , M ), где I пробегает идеалы R , дана Флейшером (1968) .
• Двойственное понятие проективного покрытия вовсе не всегда существует для модуля, однако плоская крышка существует для каждого модуля.

Структура кольца [ править ]

В некоторых случаях для R - подкольца самоинъективного кольца S , инъективная оболочка R также будет иметь кольцевую структуру. ^[2] Например, если взять S за полное кольцо матриц над полем и взять R за любое кольцо, содержащее каждую матрицу, которая равна нулю во всех столбцах, кроме последнего, инъективной оболочкой правого R -модуля R будет S . Например, в качестве R можно взять кольцо всех верхнетреугольных матриц. Однако не всегда инъективная оболочка кольца имеет кольцевую структуру, как показывает пример ( Osofsky 1964 ).

Большой класс колец, которые действительно имеют кольцевую структуру на их инъективных оболочках, - это неособые кольца . ^[3] В частности, для области целостности инъективная оболочка кольца (рассматриваемого как модуль над собой) является полем частных . Инъективные оболочки неособых колец представляют собой аналог кольца частных для некоммутативных колец, где отсутствие условия Оре может препятствовать формированию классического кольца частных . Этот тип «кольца частных» (так называются эти более общие «поля дробей») был впервые предложен в ( Utumi 1956 ), а связь с инъективными оболочками была признана в ( Lambek 1963).).

Единое измерение и инъективные модули [ править ]

R модуль М имеет конечную однородную размерность (= конечный ранг ) п тогда и только тогда , когда инъективная оболочка М является конечной прямой суммой п неразложимых подмодулей .

Обобщение [ править ]

В более общем смысле, пусть C - абелева категория . Объект E является инъективной оболочкой из объекта M , если M → E является существенным расширением и Е является инъективным объектом .

Если C является локально малым , удовлетворяет Гротендик аксиома AB5 и имеет достаточно много инъективных , то каждый объект в C имеет инъективный корпус (эти три условия в категории модулей над кольцом). ^[4] Каждый объект в категории Гротендика имеет инъективную оболочку.

См. Также [ править ]

• Плоская крышка , двойственная концепция инъективных оболочек.
• Рациональная оболочка : это аналог инъективной оболочки при рассмотрении максимального рационального расширения .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Eckmann, B .; Шепф, А. (1953), "Убер injektive Moduln", Archiv дер Mathematik , 4 (2): 75-78, DOI : 10.1007 / BF01899665 , ISSN  0003-9268 , МР  0055978
• Флейшер, Исидор (1968), "Новая конструкция инъективного корпуса", Канад. Математика. Бык. , 11 : 19–21, DOI : 10.4153 / CMB-1968-002-3 , MR  0229680
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту  1653294
• Ламбека, Йоахим (1963), "О кольце Утого в частных" , Canadian Journal математики , 15 : 363-370, DOI : 10,4153 / CJM-1963-041-4 , ISSN  0008-414X , МР  0147509
• Матлиса, Эбен (1958), "Инъективные модули над нетеровскими кольцами" , Тихоокеанский журнал математика , 8 : 511-528, DOI : 10,2140 / pjm.1958.8.511 , ISSN  0030-8730 , MR  0099360^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• Мацумура, Х. Теория коммутативных колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том 8.
• Митчелл, Барри (1965). Теория категорий . Чистая и прикладная математика. 17 . Академическая пресса. ISBN 978-0-124-99250-4. Руководство по ремонту  0202787 .
• Osofsky, BL (1964), "О кольцевых свойств инъективных оболочек", Канадский математический вестник , 7 : 405-413, DOI : 10,4153 / КМФ-1964-039-3 , ISSN  0008-4395 , МР  0166227
• Утуми, Юзо (1956), "О кольцах частных", Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN  0030-6126 , MR  0078966

Внешние ссылки [ править ]

• инъективная оболочка (статья PlanetMath)
• Страница PlanetMath о модулях конечного ранга