Проективное покрытие
В разделе абстрактной математики, называемом теорией категорий , проективное покрытие объекта X в некотором смысле является наилучшей аппроксимацией X проективным объектом P. Проективные покрытия двойственны инъективным оболочкам .
Позвольте быть категорией и X объектом в . Проективное накрытие — это пара ( P , p ), где P — проективный объект в и p — лишний эпиморфизм в Hom( P , X ).
Если R — кольцо, то в категории R - модулей лишний эпиморфизм — это такой эпиморфизм , что ядро p является лишним подмодулем P .
Проективные накрытия и их лишние эпиморфизмы, если они существуют, единственны с точностью до изоморфизма . Однако изоморфизм не обязательно должен быть уникальным, поскольку проективное свойство не является полноценным универсальным свойством .
Главный эффект наличия у p лишнего ядра заключается в следующем: если N — любой собственный подмодуль P , то . [1] Неформально говоря, это показывает, что лишнее ядро заставляет P оптимально покрывать M , то есть ни один подмодуль P не будет достаточным. Это не зависит от проективности P : это верно для всех лишних эпиморфизмов.
Если ( P , p ) — проективное покрытие M и P' — другой проективный модуль с эпиморфизмом , то существует расщепляемый эпиморфизм α из P' в P такой, что
