Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлен из подмодуля лишний )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , в частности , модуль теории , дано кольцо R и R - модули M с подмодуля N , модуль М называется быть существенным расширением из N (или N называется собой существенный подмодуль или большой подмодуль из М ) , если для каждого подмодуля H из M ,

подразумевает, что

Как специальный случай, существенный левый идеал из R является левым идеалом , который имеет важное значение как подмодуль левого модуля R R . Левый идеал имеет ненулевое пересечение с любым ненулевым левым идеалом R . Аналогично, и существенный правый идеал именно существенный подмодуль правого R модуль R R .

Обычные обозначения для существенных расширений включают следующие два выражения:

( Лам 1999 ) и ( Андерсон и Фуллер 1992 )

Двойное понятие существенного подмодуля является то , что лишним субмодулем (или небольшого субмодуля ). Подмодуль Н является излишним , если для любого другого подмодуль H ,

подразумевает это .

Обычные обозначения для лишних подмодулей включают:

( Лам 1999 ) и ( Андерсон и Фуллер 1992 )

Свойства [ править ]

Вот некоторые элементарные свойства существенных расширений, указанные в введенных выше обозначениях. Пусть M - модуль, а K , N и H - подмодули в M с K N

  • Ясно, что M является существенным подмодулем в M , и нулевой подмодуль ненулевого модуля никогда не является существенным.
  • тогда и только тогда, когда и
  • тогда и только тогда, когда и

Используя лемму Цорна, то можно доказать еще один полезный факт: Для любого подмодуля N из M , существует подмодуль С такой , что

.

Кроме того, модуль без надлежащего существенного расширения (то есть, если модуль существенен в другом модуле, то он равен этому модулю) является инъективным модулем . Тогда можно доказать , что каждый модуль M имеет максимальный существенное расширение E ( M ), называется инъективная оболочкой из М . Инъективная оболочка обязательно является инъективным модулем и единственна с точностью до изоморфизма. Инъективная оболочка также минимальна в том смысле, что любой другой инъективный модуль, содержащий M, содержит копию E ( M ).

Многие свойства сводятся к лишним подмодулям, но не все. Пусть снова М быть модулем и К , Н и Н подмодули M с K N .

  • Нулевой подмодуль всегда является лишним, а ненулевой модуль M никогда не бывает лишним сам по себе.
  • тогда и только тогда, когда и
  • тогда и только тогда, когда и .

Поскольку каждый модуль может быть отображен через мономорфизм , образ которого существенен в инъективном модуле (его инъективной оболочке), можно спросить, верно ли двойственное утверждение, т.е. для каждого модуля M существует проективный модуль P и эпиморфизм из P на M, чье ядро лишнее? (Такое P называется проективным покрытием ). Ответ « Нет » в целом, а также специальный класс колец, правые модули имеют все проективные покрытия является классом правых совершенных колец .

Одна из форм леммы Накаяма является то , что J ( R ) М является излишним подмодуль М , когда М является конечно-порожденный модуль над R .

Обобщение [ править ]

Это определение можно обобщить на произвольное абелевой категории С . Существенное расширение является мономорфизмом у  : М → Е такое , что для любого ненулевого подобъектом сек  : N → E , на волокна продукта N × Е M ≠ 0.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]