В математике , особенно в алгебре , инъективная оболочка (или инъективная оболочка ) модуля является как наименьшим инъективным модулем, содержащим его, так и самым большим его существенным расширением . Инъективные оболочки были впервые описаны в ( Eckmann & Schopf 1953 ).
Модуль E называется инъективной оболочкой модуля M , если E является существенным расширением M и E инъективен . Здесь базовое кольцо — это кольцо с единицей, хотя, возможно, и некоммутативное.
В некоторых случаях, когда R — подкольцо самоинъективного кольца S , инъективная оболочка R также будет иметь кольцевую структуру. [2] Например, взяв S за полное матричное кольцо над полем и взяв R за любое кольцо, содержащее каждую матрицу, которая равна нулю во всех столбцах, кроме последнего, инъективная оболочка правого R -модуля R есть S . Например, в качестве R можно взять кольцо всех верхних треугольных матриц. Однако не всегда инъективная оболочка кольца имеет кольцевую структуру, как показывает пример в ( Osofsky 1964 ).
Большой класс колец, которые имеют кольцевые структуры на своих инъективных оболочках, — неособые кольца . [3] В частности, для области целостности инъективная оболочка кольца (рассматриваемого как модуль над собой) является полем частных . Инъективные оболочки неособых колец представляют собой аналог кольца частных для некоммутативных колец, где отсутствие условия Оре может препятствовать формированию классического кольца частных . Этот тип «кольца частных» (как называются эти более общие «поля дробей») впервые был использован в ( Utumi, 1956 ), а связь с инъективными оболочками была обнаружена в ( Lambek, 1963 ).).
R - модуль M имеет конечную равномерную размерность (= конечный ранг ) n тогда и только тогда, когда инъективная оболочка M является конечной прямой суммой n неразложимых подмодулей .
В более общем случае пусть C — абелева категория . Объект E является инъективной оболочкой объекта M , если M → E является существенным расширением и E является инъективным объектом .