В абстрактной алгебре , А нетерово модуль является модулем , который удовлетворяет возрастающую цепочка состояние на своих подмодулях , где подмодули частично упорядочены по включению .
Исторически Гильберт был первым математиком, который работал со свойствами конечно порожденных подмодулей. Он доказал важную теорему, известную как теорема Гильберта о базисе, которая гласит, что любой идеал в многомерном кольце многочленов произвольного поля конечно порожден . Однако отель назван в честь Эмми Нётер, которая первой обнаружила истинное значение этого места.
Характеристики и свойства
В присутствии аксиомы выбора , [ править ] Два других характеризации возможны:
- Любое непустое множество S подмодулей модуля имеет максимальный элемент (относительно включения множества ). Это называется условием максимума .
- Все подмодули модуля конечно порождены .
Если M - модуль, а K - подмодуль, то M нётерово тогда и только тогда, когда K и M / K нётеровы. Это контрастирует с общей ситуацией с конечно порожденными модулями: подмодуль конечно порожденного модуля не обязательно должен быть конечно порожденным.
Примеры
- Эти целые числа , рассматриваемые как модуль над кольцом целых чисел, является нётеровым модулем.
- Если R = M n ( F ) - полное кольцо матриц над полем, а M = M n 1 ( F ) - набор векторов-столбцов над F , то M можно превратить в модуль, используя умножение матриц на элементы R слева от элементов М . Это нетеровский модуль.
- Любой модуль, конечный как множество, является нётеровым.
- Любой конечно порожденный правый модуль над нётеровым справа кольцом является нётеровым модулем.
Использование в других структурах
Правое нётерово кольцо R по определению является нётеровым правым R- модулем над самим собой, использующим умножение справа. Точно так же кольцо называется нётеровым слева кольцом, если R нётерово, рассматриваемое как левый R- модуль. Когда R - коммутативное кольцо, прилагательные слева-направо можно опустить, поскольку они не нужны. Кроме того, если R является нётерским с обеих сторон, его принято называть нётерским, а не «левым и правым нётерским».
Условие Нётера также может быть определено для бимодульных структур: нётеров бимодуль - это бимодуль, ч.у. подбимодулей которого удовлетворяет условию возрастающей цепи. Поскольку суббимодуль R - S- бимодуля M является, в частности, левым R-модулем, если M, рассматриваемый как левый R- модуль, был нётеровым, то M автоматически является нётеровым бимодулем. Однако может случиться так, что бимодуль будет нётеровым, а его левая или правая структуры не будут нётеровыми.
Смотрите также
Рекомендации
- Коммутативная алгебра Эйзенбуда с точки зрения алгебраической геометрии , Springer-Verlag, 1995.