В математике , А дискретная подгруппа из топологической группы G является подгруппой Н таким образом, что существует открытое покрытие из G , в которой каждое открытое подмножество содержит ровно один элемент из Н ; Другими словами, то подпространство топологии из Н в G является дискретной топологией . Так , например, целые числа , Z , образуют дискретную подгруппу из действительных чисел , R (со стандартной метрической топологией ), но рациональные числа, Q , не надо. Дискретная группа является топологической группой G оснащен дискретной топологией .
Любой группе может быть задана дискретная топология. Поскольку каждое отображение из дискретного пространства непрерывно , топологические гомоморфизмы между дискретными группами - это в точности гомоморфизмы групп между основными группами. Следовательно, существует изоморфизм между категорией групп и категорией дискретных групп. Таким образом, дискретные группы можно отождествить с лежащими в их основе (нетопологическими) группами.
Бывают случаи, когда топологическая группа или группа Ли наделены дискретной топологией «против природы». Это происходит, например, в теории компактификации Бора и в теории групповых когомологий групп Ли.
Дискретная группа изометрий - это группа изометрий, такая что для каждой точки метрического пространства множество изображений точки под изометриями является дискретным множеством . Дискретная группа симметрии - это группа симметрии, которая является группой дискретной изометрии.
Характеристики
Поскольку топологические группы однородны , достаточно взглянуть только на одну точку, чтобы определить, является ли топологическая группа дискретной. В частности, топологическая группа дискретна тогда и только тогда, когда синглтон, содержащий единицу, является открытым множеством .
Дискретная группа - это то же самое, что и нульмерная группа Ли ( несчетные дискретные группы не имеют второго счета, поэтому авторы, которые требуют, чтобы группы Ли удовлетворяли этой аксиоме, не рассматривают эти группы как группы Ли). Компонент единицы дискретной группы - это просто тривиальная подгруппа, в то время как группа компонентов изоморфна самой группе.
Поскольку единственная хаусдорфова топология на конечном множестве является дискретной, конечная топологическая группа Хаусдорфа обязательно должна быть дискретной. Отсюда следует, что каждая конечная подгруппа хаусдорфовой группы дискретна.
Дискретная подгруппа Н из G является кокомпактным , если существует компактное подмножество К из G такие , что HK = G .
Дискретные нормальные подгруппы играют важную роль в теории накрывающих групп и локально изоморфных групп . Дискретная нормальная подгруппа связной группы G обязательно лежит в центре группы G и, следовательно, абелева .
Прочие свойства :
- каждая дискретная группа полностью отключена
- каждая подгруппа дискретной группы дискретна.
- каждый фактор дискретной группы дискретен.
- произведение конечного числа дискретных групп дискретно.
- дискретная группа компактна тогда и только тогда, когда она конечна.
- каждая дискретная группа локально компактна .
- каждая дискретная подгруппа хаусдорфовой группы замкнута.
- каждая дискретная подгруппа компактной хаусдорфовой группы конечна.
Примеры
- Фриз группа и обои группы являются дискретными подгруппами группы изометрий евклидовой плоскости. Группы обоев компактны, а группы Frieze - нет.
- Кристаллографической группы обычно означает кокомпактных, дискретная подгруппа изометрий некоторого евклидова пространства. Однако иногда кристаллографическая группа может быть кокомпактной дискретной подгруппой нильпотентной или разрешимой группы Ли .
- Каждая треугольная группа T является дискретной подгруппой группы изометрий сферы (когда T конечна), евклидовой плоскости (когда T имеет подгруппу Z + Z конечного индекса ) или гиперболической плоскости .
- Фуксовы группы по определению являются дискретными подгруппами группы изометрий гиперболической плоскости.
- Фуксова группа, которая сохраняет ориентацию и действует на модели верхней полуплоскости гиперболической плоскости, является дискретной подгруппой группы Ли PSL (2, R ), группы сохраняющих ориентацию изометрий модели верхней полуплоскости гиперболической плоскости. самолет.
- Фуксова группа иногда рассматривается как частный случай клейновой группы путем изометрического вложения гиперболической плоскости в трехмерное гиперболическое пространство и распространения действия группы на плоскости на все пространство.
- Модульная группа PSL (2, Z ) , как полагают , как дискретной подгруппы PSL (2, R ). Модулярная группа является решеткой в PSL (2, R ), но не кокомпактна.
- Клейновы группы по определению являются дискретными подгруппами группы изометрий гиперболического 3-пространства . К ним относятся квазифуксовы группы .
- Клейнова группа, которая сохраняет ориентацию и действует на модели верхнего полупространства гиперболического 3-пространства, является дискретной подгруппой группы Ли PSL (2, C ), группы сохраняющих ориентацию изометрий модели верхнего полупространства гиперболического 3-мерного пространства. -космос.
- Решетка в группе Ли является дискретной подгруппой такой , что мера Хаара фактор - пространства конечна.
Смотрите также
- кристаллографическая точечная группа
- подгруппа конгруэнции
- арифметическая группа
- геометрическая теория групп
- вычислительная теория групп
- свободно прерывистый
- бесплатный регулярный набор
Рекомендации
- "Дискретная группа преобразований" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- "Дискретная подгруппа" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]